книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
..pdf
|
§ i. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ |
151 |
|
Или записываемое иногда просто как |
|
|
|
dXt = a(t, X)dB(t) + p(f, X)dt. |
(1.1)' |
||
Тонная формулировка состоит в следующем. |
|
||
О п р е д е л е н и е |
1.2. Пусть заданы |
а = (a }(t, w)) ^ |
зфа,г и ^ = |
* (P'(f, |
Под решением*) |
уравнения (1.1) |
мы подра |
зумеваем d-мерный непрерывный случайный процесс X = (X (t)) fSs0, определенный на вероятностлом пространстве (£2, ST, Р) с потоком о-алгебр (^Г()оо> такой, что
(I)существует r-мерное (@~i) -броуновское движение**) В =
=(B(t)) с В ( 0 ) = 0 п. п.;
(II)X = (X (t)) — d-Mepiraii непрерывный процесс, согласован
ный с |
|
|
|
т. е. X — такое |
отображение |
со е |
|
£2 <-* X (со) е |
W d, |
||||||||
что для каждого t е |
[о, оо) 0по |
t/$t(Wrf) -измеримо; |
|
|
|
||||||||||||
(III) |
семейства |
согласованных |
|
процессов |
Ф](£, со) и |
\|?'(f, |
со), |
||||||||||
определенных равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ф] (t, со) = a} (t, X (со)) |
п |
|
Wl(t, со) = |
ji*(t, X (со)), |
|
|
|
||||||||
принадлежат соответственно пространствам***) |
|
2 ?2°с и |
|
|
где |
||||||||||||
2£i00 — множество |
|
всех |
измеримых |
(^"^-согласованных |
процессов |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
Aij'lf таии\, |
что для каждого t~^0 |
|
[|4f (к, <o)lds<;oo п. н.****); |
|
|||||||||||||
(IV) |
с вероятностью |
единица |
о |
|
|
X2(t), ..., |
|
|
|||||||||
X(t) = (X'(t), |
Xd(t)) |
||||||||||||||||
и B(t) — (B'(t), |
B2(t), ..., Br(t)) |
удовлетворяют |
|
равенствам |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f |
t |
j a] (s, X) dBj (s) + |
t |
|
|
|
|
|
|
||||
X 5 (t) - |
X 1 (0) = |
£ |
|
J p1 (8, X)ds, |
i = 1, 2, |
. . . , d, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
( 1. 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где интеграл |
no |
dB3(s) |
является |
стохастическим |
интегралом |
Ито, |
|||||||||||
определенным в § 1 главы II. |
|
|
|
|
(1.2) |
называется |
мар- |
||||||||||
Первый член в правой части уравнения |
|||||||||||||||||
типгалъным членом, а второй — сносом. |
|
|
|
движения |
|||||||||||||
Чтобы |
подчеркнуть |
особую |
роль |
(^^-броуновского |
|||||||||||||
В = (В (t)) в |
определении 1.2, |
мы |
называем |
Х = ( Х ( £ ) ) |
решением |
||||||||||||
(1.1) |
с |
броуновским |
движением |
В = (B(t)); |
иногда |
саму |
пару |
||||||||||
(X, В) |
будем называть решением |
(1.1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
*) Определяемое здесь «решение» иногда называется «слабым решени |
|||||||||||||||||
ем». (Примеч. ред.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
**) |
См. § 7 главы I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
***) |
См. определение 1.6 главы II. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
*♦**) |
Y, ¥ ' |
е |
5 ^ ос отождествляются, если j* |V (s, w) — V' (s, со) |ds = о |
||||||||||||||
для каждого f > |
0 п. н. |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|||
З а м е ч а н и е |
1.1. Условие |
(III) |
определения 1.2 удовлетворя |
||
ется, если а и р ограничены*), |
или |
в более общем случае, если |
|||
sup{lla(£, |
iy)ll + |
llp(f, и?)II; t |
[О, Г], 1Ы1Г |
М) < °° |
|
для каждых Г и 1 > 0 , |
где |
|
|
|
|
[М1г = max |
\\w(t)\\ и IIаI = |
1 / |
2 2 UjJ2. |
a e =Rd <g>Rr. |
|
0<t<T |
|
|
Y |
|
|
Важнейший тип стохастических дифференциальных уравнений, который в основном и изучается в данной книге, определяется сле дующим образом.
О п р е д е л е н и е 1.3. Пусть a(t, х) = oj(t, х) — борелевская функция (t, х )е= [0, оо)X R*-*■ R** ® R**, а b{t,х )*={V(t,х)) — борелев
ская функция |
(t, х) ^ [0, оо)Х R1-► R". Тогда для a (t, |
w) |
и 0(f, w), |
||
определенных |
равенствами a (t, w) — a(t, |
w(l)) |
и |
£(f, |
w) = |
— b(t, w(t)), |
очевидно, имеем a<=sld'r, f e |
'. В |
таком |
случае |
стохастическое дифференциальное уравнение (1.1) называется
уравнением марковского типа и имеет следующий вид: |
|
dX(t) = a(t,X(t))dB(t)+b(t,X(t))dt, |
(1.3) |
или, покомпонентно, |
|
dXl (t) = 2 ol (*, X (t)) dBk(t) + V (t, X (0) dt, i = 1, 2, |
. . . , <** (1.3)' |
h=i |
|
Если, кроме того, о и b не зависят от f и являются функциями только от х е R'1, то уравнение (1.1) называется уравнением мар ковского типа с коэффициентами, не зависящими от времени (или однородным во времени) .
Заметим, что при о = 0 уравнение марковского типа превра щается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (динамическую систему) Xt = b(t, Xt). Таким образом, стохастиче ское дифференциальное уравнение обобщает понятие обыкновен ного дифференциального уравнения путем добавления эффекта
случайных флуктуаций. |
определений, |
касающихся |
един |
||||
Теперь мы дадим |
несколько |
||||||
ственности решений. Для заданных а е |
г и |
(5 |
<= Md- ‘ рассмот |
||||
рим стохастическое дифференциальное |
уравнение |
(1.1). Предпола |
|||||
гаем, что существует по крайней мере |
одно решение (1.1). |
усло |
|||||
О п р е д е л е н и е |
1.4. Будем |
говорить, |
что |
выполняется |
|||
вие единственности решений для уравнения |
(1.1), если для любых |
двух решений**) X и X' с одинаковыми начальными распределе-
*) То есть ограничены все компоненты аир.
•*) Они могут быть определены на разных вероятностных пространствах.
|
|
g 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ |
|
|
153 |
|
Пиями *) па |
R* |
совпадают |
законы распределения |
процессов |
X и |
|
X' па пространстве Wd. |
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е |
1.2. Вышеприведенное определение эквивалентно |
|||||
следующему: |
условие единственности решений выполняется |
для |
||||
уравнения (1.1), если для любых двух решений X |
и X’ |
уравнения |
||||
(1.1) таких, |
что X (0) = х |
п. н. и X' (0) = х п.н. |
для |
некоторого |
х е R*, совпадают законы распределения па пространстве \Vd про цессов X и X'. В эквивалентности нетрудно будет убедиться, если
заметим |
следующее |
обстоятельство: |
если |
X — решение уравнения |
||||||||
(1.1) па |
пространстве |
(Q, |
Р) |
с |
потоком |
|
о, |
то, |
поло |
|||
жив **) |
Р“ = Р(*|£Г0), |
будем |
иметь, |
что для |
почти |
всех |
фиксиро |
|||||
ванных (о X — решение |
(1.1) |
на пространстве |
(Q, |
Рш с |
пото |
|||||||
ком ( Г , ) (>0 такое, |
что Х(0) = Х(0, |
со) |
(см. |
следствие |
теоре |
|||||||
мы 1-3.2). |
определенная в |
определении |
1.4, |
иногда |
назы |
|||||||
Единственность, |
вается «единственностью по распределению». С другой стороны, если мы рассматриваем стохастические дифференциальные уравне ния как средство определения выборочных траекторий случайного процесса is виде функционалов от броуновских траекторий, то сле дующее определение должно быть более естественно.
О п р е д е л е н и е 1.5 (нотраекторпая единственность). Будем говорить, что выполняется условие потраекторной единственности
решений для |
уравнения |
(1.1), |
если для любых двух решений X |
|||||||
и |
X ', определен и ых на |
одном |
вероятностном пространстве (Q, |
|||||||
Р) |
с одним и тем же потоком |
(&~t) и одним и тем же г-мерным |
||||||||
(^■()-броуповским |
движением, |
из |
равенства Х (0 )= Х '(0 ) |
п.н. сле |
||||||
дует, что X(t)~ X' (t) для всех t > |
Он. н. |
|
|
более |
||||||
|
З а м е ч а н и е |
1.3. Можно |
рассмотреть также следующее |
|||||||
узкое определение потраекторной единственности. |
|
|
||||||||
|
Говорят, что выполняется условие потраекторпой единственно |
|||||||||
сти (в узком |
смысле), |
если |
для |
любых |
двух решепий |
X и |
X ' с |
|||
Х(0) = Х'(0) |
п. н., которые |
определены |
на одном и том |
же |
веро-у |
|||||
ятностном пространстве |
(Q, |
|
Р) с потоками (&~,) и (9№t) |
соот |
ветственно, с одним и тем же броуновским движением B(t), явля
ющимся одновременно |
и (<Ж()-броуновским движением, име |
|
ем X (t) = X' (I) |
для всех 1 > |
0 п. п. |
Так как не |
обязательно |
верпо, что B(t) является (ЗГt \/3{?,)- |
броуновским движением, то эквивалентность этого узкого опреде ления и определения 1.5 нетривиальна. Однако эту эквивалентность можно получить в качестве простого следствия нижеследующей теоремы 1.1.
*) Закон распределения X (0) решения X уравпения (1.1) называется на чальным законом или начальным распределением решепия.
**) Через Р( ■ \9~о) обозначается регулярная условпая вероятность. Лю бое решепие (X, В) всегда может быть реализовано па стандартном измеримом пространстве (Q, Ф~) без изменения закона распределения.
154 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|||
З а м е ч а н и е |
1.4. Точно так же, как и |
в замечании 1.2, мы |
||
должны рассматривать только |
неслучанпые |
начальные значения, |
||
т. е. Х(0) = |
Х '(0) = х п. и. для некоторого х s |
Rd. |
||
Чтобы |
попять |
некоторые |
применения понятия иотраекторпой |
единственности, оказывается удобным ввести следующее понятие.
|
Функция *) Ф(ж, w \ Rd X W ;-> W '; называется <£ (RdX W J)-из |
||||||||
меримой, |
если для любой борелевской вероятностной меры |
р на |
|||||||
IV' |
существует |
функция |
Фц (х, iv): Rd X Wd -> W d, |
которая |
|||||
a (R ri w r0Y xpW/ $ |
(wd)-измерима, и |
для почти всех х(р) |
спра |
||||||
ведливо |
Ф(х, |
ю ) = Ф 11(х, w) |
для**) |
Р^-почти всех w. Для |
такой |
||||
функции |
Ф(#, |
w) |
и случайного вектора | из R'1 и r-мерного |
броу |
|||||
новского |
движения B = B(t), |
являющихся |
независимыми |
в |
сово |
||||
купности, мы полагаем Ф(£, |
5 ) = Ф (1(1, В), |
где д — закон |
распре |
деления |. Поэтому Ф(1, В) — корректно определенный W^-anan-
ный случайный элемент. |
|
|
|
X = ( X ( t ) ) |
|||||
О п р е д е л е н и е |
1.0 (сильное решение). Решение |
||||||||
уравнения |
(1.1) |
с |
броуновским |
движением |
В~В(1) |
называется |
|||
сильным решением, если существует функция |
F (х, w): Rd X Wj->- |
||||||||
-> W d, |
которая |
|
^ (R d X W o)-измерима, для каждого r e R d, |
||||||
w ~ F ( x , w)<Mt{W 0)pW/&,r |
(W d)- измеримо для каждого t > 0 и если |
||||||||
справедливо равенство |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Х = Р(Х(0), В) и. н. |
|
|
(1.4) |
||
Мы будем говорить, что уравнение (1.1) имеет единственное |
|||||||||
сильное решение, если существует функция F (х, w): R‘ X |
W‘ |
||||||||
с теми же свойствами, что и выше, и такая, что |
|
В == |
|||||||
(I) |
для |
любого г-мерноп» |
(#"()-броуновского движения |
||||||
= (B(t))(B( 0) = |
0) |
на вероятностном пространстве с потоком |
t) |
и любого ^-измеримого Позначного случайного вектора | непре
рывный процесс X = F (|, |
В) — решение (1.1) |
на этом простран |
|
стве с Х(0) = 1 п. н.; |
|
|
|
(II) для любого решения (X, В) уравнения (1.1) справедливо |
|||
равенство |
X = F(X(0), В) |
н. н. |
рассматривать как |
Таким |
образом, сильное решение можно |
функцию F(x, |
w), которая задает решение X уравнения (1.1), ес |
|||||
ли только мы |
подставим |
начальное значение |
Х(0) |
и |
броуновское |
|
движение В. |
1.1. Для |
заданных |
a<=st-d’ T и |
р е |
^ |
1 уравнение |
Т е о р е м а |
||||||
(1.1) имеет единственное сильное |
решение тогда |
и |
только тогда, |
когда для любой борелевской меры р на Rd существует решение X
*) WJ = {ш €= С ([0, |
оо) Rr): w (0) - О}. |
**) pw _ (r-мериая) |
мора Винера па WJ (т. е. распределение В). |
|
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ |
|
155 |
|
уравнения (1.1) |
такое, |
что распределение |
начального |
значения |
Л (0) совпадает с |
р и |
выполняется условие |
потраекторной един |
|
ственности решений. |
Если существует единственное |
сильное |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
решение (1.1), то по определению ото означает, что существует функция F (х, w): Rd X W j-> W dтакая, что выполнены вышеприве денные условия (I) и (II). Итак, для заданной борелсвской веро ятностной меры р на Rd пусть В = B(t) —- r-мерное (^^-броунов ское движение, а £ — „-измеримая R'-значная случайная величи на с распределением р, определенные на некотором подходящем
вероятностном |
пространстве с |
потоком (#”f). Тогда, если опреде |
|||||||
лим непрерывный процесс X равенством |
X = F(%, В), то |
X — ре |
|||||||
шение (1.1) с Х(0) = | н! |
н. К тому |
же, |
если существуют |
два ре |
|||||
шения (X, В) |
и |
(X', |
В') |
на |
одном |
вероятностном |
пространстве |
||
с B(t) = B'(t) |
и Х(0) = |
Х '(0) |
п. н., то X = F(X(0), |
B) = F(X'(0), |
|||||
В’ ) = Х ' . Отсюда |
следует, |
что |
выполняется условие |
потраекторпой |
|||||
С'дипственности решений*). |
|
|
|
|
|
Таким образом, мы должны доказать, что существование реше ния для каждого заданного начального распределения и нотраекторная единственность влекут за собой существование единствен ного сильного рошепия. Итак, предположим, что для любого на
чального распределения существует решение (1.1) |
и выполнено |
|||||||||||
условие потраекторпой единственности |
решений. Пусть j e R ' |
фик |
||||||||||
сировано |
и пусть |
(X, |
&) |
и |
(X', |
В')— любые |
решения**) |
(1.1) |
||||
с X (0) = х и X' (0) = х |
п. н. Пусть |
Рх и Рх — распределения |
веро |
|||||||||
ятностей |
соответственно |
(X, |
В) |
и |
(X', |
В ) |
на |
пространстве |
||||
W d х Wo. |
Если |
л: |
W d х W 0r э |
(шг, w2 « u ) 2e W 5 |
является |
|||||||
проекцией, то оба маргинальных распределения л(Рх) |
и л (Рх) сов |
|||||||||||
падают с Р^-мерой Випера на |
Wj. Пусть Q 2{divx) и Q' 2 (dwx — |
|||||||||||
регулярные условные распределения wt относительно w2, т. е. |
||||||||||||
(I) для фиксированного w2е WJ |
Q 2 (dwx) — вероятностная ме |
|||||||||||
ра на (Wd, ^?(Wd)); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(II) для фиксированного - AeJ?( Wd) |
отображепие |
w2<~*Q 2 (А) |
||||||||||
является |
^ (W o ) |
-измеримым; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(III) |
для каждых A t <=Jf(W d) и А2е |
$ ( WJJ) |
|
|
||||||||
|
P * ( ^ X 4 ) = |
J QW2(Al)P w (dw,). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Д2 |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяется Q |
1 через Рх. |
На пространстве |
Q = |
|||||||||
=wdxwdX WJ |
определим |
борелевскую |
вероятностную |
меру |
*) В действительности отсюда следует потраекторная единственность в узком смысле определения замечания 1.3.
**) Они могут быть определены на разных вероятностных пространствах.
156 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Q равенством
Q (dw^dwjdw^) — QWs {dwx) Q Ws(dw2) Pw (dwz).
Пусть 3F — пополнение топологического о-поля 38(Q) |
по |
мере Q и |
||||||||
3Tt = |
П (#t+e V - Л , где 38t = 9St ( W d) x $ t(W d) X * t( W |
j ) , |
a |
Jf - |
||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
(ir„ |
ws) и |
|
множество всех (^-пулевых множеств. Тогда, очевидно, |
||||||||||
(X, 5 ) |
имеют |
одинаковые распределения и |
то же |
самое |
верно и |
|||||
для (w2, w3 |
и |
(X В ' ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы завершить паше доказательство, нам нужно сначала до |
||||||||||
казать две вспомогательные леммы. |
|
|
|
|
|
|
||||
Л е м м а |
1.1. Для |
A ^ 38t(W") |
(4) |
или |
Q'"(A) |
|||||
являются 3lt (ws)plV- измеримыми отображениями. |
и |
4 е | , ( ¥ ) |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для фиксированного |
О О |
||||||||
существует условная вероятность Qf (Л) такая, |
что w е |
WS |
|
Qf (А) |
||||||
является |
|
-измеримым отображением |
и |
Рх( А х С ) = |
= §Q7(A)Pw (du>) для каждого C e ^ ( W j ) . Если мы сможем по- |
|
с |
то от |
казать, что зто равенство справедливо для всех С ^38 (WS), |
|
сюда будет следовать, что Q7{A) = QW(A) для почти всех |
w(Pw , |
н утверждение леммы будет доказано. Мы можем предположить, что С имеет вид
С = {w e WJ; рtu>s |
Д , |
е Аг], |
At, A2^ 3 t (WJ), |
||||||
где 0( определяется равенством |
(Q,w)(s)= w(l + s ) —w(t). |
||||||||
Далее, так как 0,w n33t(Wl) |
независимы но мере Pw, то имеем |
||||||||
$Q7(A)Pw(div)= |
j |
Q7{A)Pw {dw)Pw (0twt=A2 = |
|
||||||
с |
|
{pjiceA!1} |
|
|
|
|
|
|
|
= |
РХ(А X {Р(И>е ^x} ) P w (0iWe А2 = |
|
|
||||||
= |
Рх {А X {р(^ s |
ЛД) Рх (W d X {64и> е= А2}) = |
|
||||||
= / > ( X s 4 , p , ( B ) e i l I) P ( 0 ( ( S ) e 4 1) = |
|
|
|||||||
= |
Р(Х<= А, р, (В) <= i4lf 0, (В) е= Л2) = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= Р ( Х е 4 , В е С ) = |
? 1( Л х С), |
|||
так как ( Х е 4 , |
р, (5) е |
Л,) е <F,, а 0,(5) |
и |
независимы. Этим |
|||||
завершается доказательство лсммьг. |
является |
r-мерпым (£F,)- |
|||||||
Л е м м а |
1.2. |
Процесс |
и>3=(ш:1(1)) |
||||||
броуновским движением па (Q, Ф~, Q). |
доказать |
только |
независи |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно |
||||||||
мость w3(t) — w3(s) и |
для каждых |
t > s. Для этого |
достаточно |
|
I 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ |
|
|
|
|
157 |
|
доказать, что *) |
|
|
|
|
|
|
|
г<5.юз(0-«’з(*)> т |
|
|
|
|
|
|
|
е |
^а1ха2ха ,] = |
ехр [ - (| 1 1*/2) (* - |
*)] Q И , X |
Л2 X И3) |
|||
для g = R r, Av A2<=3!t(w d) |
и A3^ & s(W 0)r . |
|
|
|
|
|
|
Но применяя лемму 1.1, мы получаем, что левая часть равен |
|||||||
ства равна |
W Q1' , (Л)p W ^ _ |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
||
А3 |
|
|
|
|
|
|
|
= exp [- |
(| %Ш ) (t - s)\ J (f'lLAJ Q Wz (A2 PW (dw3 |
= |
|
|
|||
|
|
Az |
|
|
|
|
A)• |
|
= |
exp [— (| 1 12/ 2) (t — S)1 Q |
x |
^ |
X |
||
Возвращаясь |
к доказательству теоремы 1.1, |
мы |
согласпо |
лем |
ме 1.2 заключаем, что (нц, и;3) и (и>2, wz) являются решениями на
одном и том же пространстве |
(Q, |
Р) |
с одним и тем же потоком |
||||||||||||||||
|
t) . Поэтому из потраекторной единственпости следует, |
что |
и?, = |
||||||||||||||||
= w2 |
Q-п. п. |
Отсюда следует, что |
Q’°X Q 'm{wl = w2 = \ |
|
Pw-п. н. |
||||||||||||||
Теперь легко видеть, что существует функция |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
е W d |
|
такая, |
что |
Qw — Q w = б(рж(№)| P w-n. н. Согласно лемме |
1.1 |
||||||||||||||
функция/'1* (м’) |
является (Wd)pWl$h (Wd) -измеримой. Очевидно, |
||||||||||||||||||
Fa(w) |
|
определяется единственным |
образом с |
точностью |
|
до |
Pw- |
||||||||||||
меры 0. |
|
пусть |
р, — любая |
заданная |
борелевская |
мера |
на |
R* и |
|||||||||||
|
Далее, |
||||||||||||||||||
пусть |
|
(X, |
В) — любое |
решение |
(1.1) |
такое, |
что |
Х(0) |
распреде |
||||||||||
лена |
по |
закону |
р. Тогда |
(X, |
В) — также |
решение |
на |
(Q, |
|
||||||||||
Р('/@~о)) относительно {&"() и, |
следовательно, |
P(FXW(B) = |
|||||||||||||||||
*=Х|#*о)=1. Отсюда легко заключить, что Fx(w) |
& (R d X Wo)-из |
||||||||||||||||||
мерима |
и |
X = FХ(о) (В) |
п. н. Таким |
образом, |
существование |
един |
|||||||||||||
ственного сильного решения доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
сле |
||||||||||
|
С л е д с т в и е . |
Из |
потраекторной единственности решений |
||||||||||||||||
дует единственность решений (определение |
1.4). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Действительно, в вышеприведенном доказательстве мы показа |
||||||||||||||||||
ли, |
что Рх — Вх, |
что |
означает |
совпадение |
распределений |
(X, |
В) |
||||||||||||
и |
(X 7, |
В'). Тогда, разумеется, |
совпадают |
распределения |
|
X |
и |
X'. |
Отсюда следует единственность в смысле определения 1.4 (см. за мечание 1.2).
Наконец, мы .дадим пример стохастического дифференциального уравнения, для которого выполняется условие единственности ре шений, но не выполняется условие потраекторной единственности. !)тот пример принадлежит X. Танаке.
П р и м е р 1.1. Рассмотрим следующее одномерное однородное во времени стохастическое дифференциальное уравнение марковского
*) EQ обозначает математическое ожидание по вероятностной мере Q.
158 |
|
|
|
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
типа: |
|
|
|
dX{t)=a{X{t))dB{t), |
|
|
|
(1.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где а(х) = |
1 для х 3* 0 и а ( х ) = —1 для я < 0. |
Для любой |
борелев- |
||||||||||
ской вероятности ц на R1 существует единственное |
но |
распределе |
|||||||||||
нию |
решение X(t) |
такое, |
что |
распределение |
Х(0) |
совпадает с |
р. |
||||||
Действительно, |
пусть В =(B(t)) — (&~,)-броуновское движение |
и |
|||||||||||
| — SFо-измеримая |
случайная |
величина |
с распределением |
р, опре |
|||||||||
деленные |
|
па |
некотором |
подходящим |
вероятностпом |
простран |
|||||||
стве |
с |
потоком |
|
Положим X( t ) = | + B(t). Тогда |
B{t) = |
||||||||
t |
a(X(s))dB(s)J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
является |
t)-броуновским движением |
соглас- |
||||||||||
o |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но теореме II-6.1 и X (t ) = |
g + |
J a(X(s)) dB (s), |
T . e. (X(t), B(t)) |
— |
|||||||||
решение |
с |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
за |
|
начальным значением X ( 0 ) = t , распределенным но |
кону р. Единственность но распределению очевидпа, так как для
любого решения (X(t),B(t)) J сг(Х (s)) dB (s) является броуновским
о
движением, не зависящим от Х(0).
Тем не менее для уравнения (1.5) не выполняется условие потраекторпой единственности решений. Например, если (Х(1),
B(t)) — решение с |
Х(0) = 0, то ( -X(t), B(t)) |
тоже является |
ре |
|||||
шением. В этом случае мы можем |
доказать, что |
o [B (s ):s ^ < ] = |
||||||
= o[lX(s)l : s |
t\\ действительно, как мы |
видели в доказательстве |
||||||
теоремы Ш-1.2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IX ( 0 1- |
j О (X («)) dX (в) + |
Ф (!) - |
В (0 |
+ |
Ф (0, |
|
|
|
|
i |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где q>(t) = |
lim 4 \ / [0,в)(|Х(в)|)*. |
Поэтому |
|
с[В (s): s |
г] с |
|||
|
БI 0 |
|
|
|
|
|
|
|
<= о[IX (s) [ : s < |
f]. Кроме того, из доказательства |
той же теоремы |
||||||
следует, |
что |
|X(i)|=S(t) — rain В (s). |
Этим |
доказывается |
об |
|||
|
|
|
0 «s«f |
|
|
|
|
|
ратное включение. Из этого соотношения между о-иолями немед ленно следует отсутствие сильного решения для уравнения (1.5).
Другой пример будет дан в примере IV-4.1.
§ 2. Теорема существования *)
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
dX{t)=a(t, X)dB{t)+$(t, X)dt, |
(1.1) |
*) Теорема существования решения (в смысле определения 1.2) для сто хастических дифференциальных уравнений была впервые получена Скорохо дом [150].
§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ |
159 |
Где о |
е # г и р е # |
1. Для /<= Сь(Rd)*) |
положим |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
(Л/) (t, w) = 4- |
2 |
аУ (*>гу) z H |
j (“>(0) + |
2 |
Р1(*, “>) S i (w <*»• |
(2Л> |
||||||||||||||
|
|
|
<,j-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i= i |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
t e |
[0, |
°°), |
w e |
W", |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai; (f, w) = |
2 |
a’h (*> w) “ ft (£. »)• |
|
|
|
|
(2.2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если (X(t), 5 ( 0 ) — решение |
(1.1) |
|
па вероятностном простран |
|||||||||||||||||
стве |
(Q, |
P) |
с |
потоком |
(^”i)> T0 согласно |
формуле |
Ито |
|
||||||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
^ |
|
r |
r> |
|
|
|
|
|
|
|
f (X (0) - |
/ (X (0)) - |
j (Л/) (s, |
X) ds = 2 |
2 |
j |
a'<(s’ x ) S |
|
{ X (s)) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
i-"1 ?i=M0 |
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||
и, следовательно, |
|
|
(s, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ (X (0) - |
/ (X (0)) - |
J (Л/) |
X) ds <= J t^ oa |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
для |
каждого |
/ е |
Cb2(R rf). |
(2.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обратно, если d-мерпын непрерывный согласованный |
процесс |
X = |
||||||||||||||||||
= Х(/), |
определенный |
на |
вероятностном |
пространстве |
(Q, |
Р) |
||||||||||||||
с потоком (#*()> удовлетворяет |
(2.4), |
то |
па расширении (Q, |
Р) |
||||||||||||||||
и (!Ft) пространства (Q, |
|
|
Р) |
с |
i) |
можно определить г-мерпоо |
||||||||||||||
t) -броуновское |
движение |
B = B(t) |
|
такое, |
что |
(X, |
В ) — реше |
|||||||||||||
ние |
уравнения |
(1.1). |
Действительно, |
|
пусть |
В, = |
( r e R d : \х\ ^ I) |
|||||||||||||
и для каждого i выберем |
/ ( ж ) е Cb(Rd) |
так, что j(x) — Xi при ж е |
||||||||||||||||||
еВ, . |
Тогда, положив |
о, = |
inf U : Х( £ )ё В,}, |
|
I — 1, |
2, |
|
..., убежда |
||||||||||||
емся, что |
|
|
|
|
|
М<Ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Mil){t) = X\t Д о , ) - Х ! ( 0 ) - |
j |
P! (s,X )d s<=*#;:, |
1 |
= |
1,2, . . . , d . |
|||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M i ( t ) - X * ( t ) — Х*(0) — Jp*(*. X ) d s e |
Jf^,oc, |
г = |
1, 2, . . . , d . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбрав |
/ e C b ( R d) так, |
что |
f ( x ) = x ,xs, |
г е В , , аналогичным |
обра |
|||||||||||||||
зом находим, что |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
|
|
|
|
|
<Mt, Mj'>{t)=\ ^{s, |
X)ds. |
|
|
|
|
|||||||||||
._______________ |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) C™ (Rd) — множество всех действительных m раз непрерывно дифферен
цируемых функций, ограниченных вместе со своими производными до порядка >п включительно.
160 |
|
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
||||||
Согласно теореме Н-7.1' на расширении (Q, |
Р) |
и (#*<) |
можно |
|||||||||
определить |
r-мерное |
|
t) -броуновское движение |
В = B(t) |
такое, |
|||||||
что |
|
|
г |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ЛГ4(*) =* 2 |
\«£(«, X)dBh(s), |
i = |
l, |
2, |
. . . , d . |
|
|
|||
|
|
|
* -Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, (X, В) — решение |
(1.1). |
закон распределения Рх |
||||||||||
Если X |
удовлетворяет |
(2.4), |
то его |
|||||||||
на |
(Wd, ^?(Wd) ) удовлетворяет условию*) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (м>(<)) - |
/ (И> (0)) - J и /) (s, ш) ds S |
Ж ’1ос |
|
(2.6) |
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
для |
к аж д ого/е Сь (W d). Очевидно, что |
X (t, |
w)=w(t) |
является |
||||||||
случайным |
процессом |
па |
|
(Wd, j$(W d), Рх) с |
(Jf,+ (Wd)), |
удовлет |
||||||
воряющим |
(2.4). Поэтому имеем следующий результат. |
|
эквива |
|||||||||
П р е д л о ж е н и е |
2.1. |
Существование |
решения |
(1.1) |
|
лентно существованию d-мерного непрерывного процесса X, удов
летворяющего |
(2.4), а также эквивалентно существованию вероят |
||
ности Р на (Wd, J7(Wd) ), |
удовлетворяющей (2.6). |
||
Т е о р е м а |
2.2. Предположим, что ограничены и непрерывны |
||
функции**) a ^ s 4 - d,r и $ < ^ s4 -d- x. Тогда для любой заданной веро |
|||
ятности р |
на |
(Rd, |
с компактным носителем существует ре |
шение (X, |
В) |
уравнения |
(1.1) такое, что распределение Х(0) сов |
падает с р, |
г. е, Р ( Х ( 0 ) е 4 ) |
= р(Л) |
|
для любого А<=3}(Вг). |
|
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
предложению |
2.1 |
достаточно |
||||||||||||
построить процесс X со свойством |
(2,4) |
и |
с |
Р {Х ( 0 ) е Л) = р(4) |
||||||||||||
для каждого |
A e ^ ( R d). Для каждого |
I = 1. |
2, . . . определим |
ф,(£) |
||||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
w) = |
|
|
|
|
||||||
ф1 (0 = |
к/2‘ |
для |
к/2' < |
t < (к + |
1) /2' |
(к = |
0, 1, |
2, ...) |
|
|||||||
и положим ai ( t , |
w) = |
a(<$i{t), w) и |
$t(t, |
jl(ф, (t), w ) . Очевид |
||||||||||||
но, a, e j^d’г и |
e s4-d■*. На вероятностном пространстве |
(Q, ST, P ) |
||||||||||||||
с потоком |
(8Гi) |
построим |
r-мерпое |
(^',)-броуновскоо |
движение |
|||||||||||
B = B(t) |
и |
d-мерпый |
|
#*0-измеримый |
случайный |
лектор***) |
1 с |
|||||||||
Р(| е |
Л )= р(Л) |
для |
каждого / l e J ? ( R d). Определим но индукции |
|||||||||||||
d-мерный непрерывный процесс Х; (1 = 1, 2, ...) |
следующим обра |
|||||||||||||||
зом: Х,(0) = £. и если |
уже |
определен Xt(t) |
для |
t^k/2‘, то |
для |
|||||||||||
к/2‘ |
t *£ (к + 1) 2! определим Х;(t) равенством |
|
|
|
|
|||||||||||
X, (е) — X, (fc/21) + a{k!2’ ,X,:U (B(t)~B(k/2')) + |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Р (k!2l, X,j/() (t — k/2l), |
||||
|
*) |
^ 2,Iog определяется относительно потока 3ft\.(Wd). |
|
|
||||||||||||
**) |
То |
есть функция[0, oo)xWd э (t, |
w) at- (t, гс)еRd ® Rr I I .T I I [$ (t, w) e |
|||||||||||||
e ftd ограничена н непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
***) |
Заметим, что так как ц имеет компактный носитель, то \ ограпичен. |