книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

91

« * )

т

(6.15)

F =

E[F\ Я-*]-. lf(s)dB{s).

0

Аналогичное доказательство (основанное на теореме 6 .2 ) приме­

нимо и для пуассоновских точечных процессов.

Т е о р е м а 6.7. Пусть р — пуассоновский

точенный процесс на

некотором фазовом пространстве (X, J?(X))

и

@~t — П v[JFv{s, Е):

s ^ t +

е, Е <= $ (X)].

Е>0

Тогда

каждый

мартингал

можно представить в виде

t-г

M{t) =

l J /(*,*, ■ Np(dsdx)

с / е F2P( ^

) (/ е

F*'loe ( ^ f ) ) .

(6.16)

о

Т е о р е м а 7.1.

ПустьМ'^. Жерп'с, i = 1 ,

2, ....

d.

Предположим,

что существуют такие процессы**)

Фц (я) (= S’\(,c

и

(s) е i?!,oc,

*)

Это следствие справедливо и в случае Т =

ор, считая

— V

**)

3?\0С =-- (Ф --

(Ф (0)/>0 : Ф — действительный (^"^-продска.чуемый про-

(

цесс

и J |Ф ( » ) | * < 00 п. н. для ка-ждого t >

0),

2?

[ДОС

" /

о

< оо

для каждого t >

0).

Ё

92

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО

i, j, к =

1 ,

2 , . .

d,

что

t

(i) = f фу (5, со)*,

(7.1)

о

d

Фи(*)

2 V ik(s)Wjh(s)

(7.2)

и

det(4Fi*(s))s?fc0 п.н. для каждого s.

(7.3)

Тогда найдется

(ёГ,)-броуновское движение B(t) = (Bl(t), Bz(t), ...

..., Bd (t))

с В (0) =

0 п. н. такое, что

M l (t) =

d

t

1 , 2, . . . , d.

(7.4)

2

j Y * (*) dBb (S , i =

h—l 0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы рассмотрим

случай, когда

Мхе

Ф ,;е S , и л¥ ц& 2 ’!\ общий случай легко сводится к этому случаю.

Для N > 0 положим

о(Л’)/

|

со),

если |(¥ “ % ( « ,

co)|<7V для

всех i, к,

lh S’

'

(

0

в противном случае,

(7.5)

где Y - 1 обозначает отображение, обратное

к TF = (TF«,(s)). Тогда,

очевидно,

& г и для любых i, /

2

0 (ift5 (s ,

to) 0jft/) (s, со) ФАЙ/ (S, 0)) — 6 ;

* —>■0 при N -+oo.

k,k'=i

(7.0)

Если ПОЛОЖИМ

d

l

Д<л’>(I) =

(.9, со),

2

e'ihv) (s, w)

fc=I n

то Д(!лд <=

и

<Д(до, Д/л-)) (0

= j

2 e(tt >(*, CO) 0$> (5 , со) Ф**, (s, со) ds.

(7.7)

о

M '=i

Из (7.6) и (7.7) мы видим, что

последовательность

Д/ад стремится

к некоторому процессу В‘ в Ж\

ври i

V

и <Д‘, £ J> (f) = 6 Ц£. Со­

гласно теореме 6 . 1

B(f) = ( £ ‘ (0>

В2 (0>

■

Д'‘(0 )

является

d-мер­

ным (@~t) -броуновским движением. Так как

d

.(

t

2 1'¥ih(s)dB[kN\(s)=

\lN(s)dMl(s),

S

0

g 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

97

стандартным расширением вероятностного пространства (Q,

iF", Р)

с потоком

(&"|).

Легко видеть, что стапдартпое расширение является расширени­

ем в смысле определения 7.1.

Пусть (й, У , Р) с потоком {&~t) является расширением вероят­

ностного пространства

(S3,

Р)

с потоком

,). Если

от­

носительно

(й,

Р)

и

то

тогда Ж =

(Mt(a))), где Ж((о)) =

= Л/, (ясо)

принадлежит Жг,

т. е.

пространству Жг относительно

(Й, ST, Р)^и (^"<). Кроме того, если М, iV е

то справедливо ра­

венство (М, N>t{a>)= (.М, ЛГ>,(яю).

Это является простым

следст­

вием свойства

(III) из определения 7.1. Следовательно, пространст­

во

Ж.2 (</#2, Ж1°° П Т- П.) естественно погружается в пространство

Ж. 2

( ^ 2» ^ 2°С

и т. п.), а Л/ е

Жъ можно рассматривать как мар­

Т е о р е м а

7.1'. Пусть (й,

3~, Р) — вероятностное пространство

с потоком

а ЛРе=Ж 2,loc,

i = 1,

2,

..., d. Пусть Ф<}, i, j =

— 1 , 2 , .... d,

и ЧЧ, i = 1 , 2 ,

...,

d, k =

1 ,

2 , ..., г, являются

f

t

n. н. для всех t > О,

1)

^

О

<Л/\ Л/;> (0 = [ фу (s) ds

(7.16)

и

О

фу ( * ) -

2

*«*(*) **(«)•

(7.17)

fe=i

Тогда

на

расширении

(Й,

Р) и (&~()

пространства

(Й, /т, Р)

с

(@~t)

существует

такое

r-мерное

(&~t)~броуновское

движение

B(t) = (B'(t),B*(t) , .... Я-ЧО),

что

г

с

1, 2,

d.

(7.18)

Л/‘(*) = 2 i 44(s)dPft(s),

1

■о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

можем предположить,

что

d = г,

по­

Ф=(Ф„(«))

для каждой пары (s, со)

является симметричной неот­

лагая,

при

необходимости,

ЛР(3)=0

или

xV,h(t) —0.

Поскольку

рицательной

d X d-матрицей,

то

однозначно

определяется

матрица

творяющая равенству Ф1/2Ф1/2 =

ф; цроме того, $ <-*Ф1/2 (s)

являет-

Ф1/2

— как d X d-матрица симметричная

неотрицательная,

удовле­

t

ся

(^F() -предсказуемым отображением и

^ |Ф1/2 (s) |2 ds <С оо

п. щ

о

р 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

99

и,

следовательно, {£*(£)} — d-мерное

(F t)-броуновское

движение.

Кроме

того,

заметив, что

(u)EN(u) —Ен(и)л¥ (и) = 0,

находим

d

с

I Ч'ik(u )d & {u ) =

2

Ь=1 о

- 2

г

~

d

/

(И) Ш ы (и) dB’x (и) =

J

(и) V (u)«dM* (И) +

2

h,l=lQ

М —1 Q

-= M l (t) -

d

t

d

^

2

f<ЯА-)н(и)

1(u) + 2

f (Y(u) Рд- (u))«dB''(и) =M l (t),

l—l n

l—l n

где мы воспользовались также тем, что

2 J (Е„)и (и) dMl(и )\ =

J (Рл- (и) Ф (и) Ея («))«du =

0 .

I-1

п

/ л

Т е о р е м а

7.2'.

Пусть

(й,

Р )— вероятностное пространство

с потоком (@~t) u M

^ J t 2,1ос- Положим

( inf {и; <Л/> (ы) >

f>,

т« = j 0 0 ,

если

t ^ <Л/> (оо) =

lim <M> (f),

(7.20)

I

Поо ^

^

____

М

V

т«л«-

Тогда на расширении

(Й,

Р) и

(^",) прост-

я>0

Р) и ( F ,)

ранства

(Й,

существует такое ( F t) -броуновское дви­

жение B(t),

что B (t)= М (Т(), t е [0,

<М>(оо)).

Следовательно, мы

новского движения В (t)

и (F \)-момента остановки <Л/> (t) следую­

щим образом*):

M{t) = B(<M>(t)).

(7.21)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

теореме

о преобразовании

сво­

бодного

выбора (теорема

1 -6 .1 1 )

7?(MXUAS[^"TVAS') = MXv/\s' и

Е ((^х„Дя — МХч!\н> 2|ЗЧл*') = ^

— <Л#>Л, |^”TVAS')для

киждмх s > s' я и >v. Поэтому п. н. существует

Р (и) =

lim М Тидв и

8 f ОО

Р(Р(к) !■?%) = P(v),

(7.22)

Р ((2 (и) -

В (v))21#%) =

РК М )*, А и -

<М>«, Л v |#*v)

(7-23)

для каждых

и ^ \ . На

вероятностном пространстве

(й\

Р')

с потоком (@~\) рассмотрим

(^"^-броуновское движение B'(t). По­

строим

стандартное расширение (й, SF, Р)

и

( F ()

пространства

*) Как

и в теореме 7.2, <if>{() является {S’ <)-моментом остановки для

каждого t ^

0.

100

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ II ФОРМУЛА ИТО

(£2, S', Р)

с

потоком

(S"t),

положив £2 = £2 X £2', S' — 3~ X S"',

Р = Р Х Р '

и

W t =

S~t X S~’t. На этом расширении положим

в

(t) = В' (г)- B

’ (t А <м> (0 0 )) +в

(t),

Тогда B (t) — непрерывный (^,)-мартингал с

<B>(t) = t и, следова­

тельно, B(t)

является (^,)-броуновским движением. Остальная

часть доказательства является очевидной.

Т е о р е м а

7.3'.

Пусть (£2, S', Р) — вероятностное пространство

с потоком

(S',).

Пусть

Ml s Ж\'1ос(S'(),

J — 1,

2, ..., d,

и <М‘, Ж0(2) =

0, i=£ j. Тогда на расширении

(£2, 3~, Р)

простран­

ства (£2, S', Р)

существует такое d-мерное

броуновское

движение

B(t) = (Bl(t),

B2(t),

...,

B*(t)),

что

где

В1(1)~М'(т\),

*е=[0,<А/‘ >(оо)),

(7.24)

, _ finf |м; (М 1} (и) > <),

(7.25)

1 °°,

t

> < М ‘> (оо).

нечная мера тп на стандартном

измеримом пространстве (Z,

и такой предсказуемый процесс

0(2, z, со): £0, °°)Х Z X £2

X*

со значениями в **) X* = X U{А}, для которых

m ({z; Q (t, z, а>) е Е}) — q(t,E,a>)

для каждого Е е

(7.26)

Тогда на расширении (£2, S', Р)

и

(S',)

пространства

(£2, S’, Р)

с потоком (S't) существует стационарный

(S',)-пуассоновский то­

*) См. Григелионис [32], Карой-Лепелтье [83] и Танака [161]. Даннов

здесь доказательство подсказано [161].

— о-поле,

порожденное

**) Д— особая точка, добавленная к X, a