книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
..pdf
|
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ |
21 |
||
случайная величина X квадратично интегрируема, то величина |
||||
])(Х) = Е(Х*) — Е(Х)г |
( = Е ( ( Х — Е(Х))г)) называется |
диспер |
||
сией X. |
под-о-полей |
называется независимым |
||
в |
Семейство {У а}16д |
|||
совокупности, если |
для каждого |
различного набора at, |
a2, ... |
|
, |
. aAs А и любых |
i — 1, 2, ..., &, |
|
Р(А, ПЛ2П... ПАк = Р(А1 Р(Аг) .. .Р(Ак .
Семейство случайных величин {Xa}aeA называется независимым в совокупности*), если семейство {о[Ха]}аеЛ независимо в совокуп
ности. Семейство случайных величин (Xa, a s A ) |
называется |
неза |
||||||
висимым |
от о-поля |
% |
если |
o[Xa: a s Л] |
и |
$ |
независимы |
|
в совокупности. |
|
случайная величина |
и Щ— под-о-по- |
|||||
Пусть |
X — интегрируемая |
|||||||
ле a-поля |
ёГ. Тогда |
формула |
р (В) = Е(Х; В) == j X (со) Р (с?со), |
|||||
|
|
|
|
|
|
в |
на $ |
с ко |
f i s ? , определяет о-аддитивную функцию множества |
нечной полной вариацией, которая, очевидно, является абсолютно
непрерывной относительно v = i, |gr. |
Производная |
Радона — Нико |
||||
дима |
dy/dv((>}) |
обозначается |
через |
Z?(XIS’) (<в); |
таким |
образом, |
Е ( X I S ) — единственная (с точностью |
до эквивалентности) ^-изме |
|||||
римая интегрируемая случайная величина Y, для которой E{Y\ В) — |
||||||
= £ (Х; В) для всех |
|
|
|
математи |
||
О п р е д е л е н и е 3.1. Е (XIS’) называется условным |
||||||
ческим ожиданием X относительно S’. |
|
|
|
|||
Легко доказываются следующие свойства условных математиче |
||||||
ских |
ожиданий. |
(Ниже через |
X, У, |
Х„ обозначаются интегрируе |
мые действительные случайные величины, а через а, Ъ— действи
тельные числа.) |
|
|
|
(Е.1) |
Е(аХ+ bY\<3) = aE(X\'5)+ bE(Y\9) п.н. |
|
|
(Е.2) |
Если X > 0 п.н., ю Е { Х \ $ ) > 0 п.н. |
|
|
(Е.З) |
Е ( № ) = 1 п.н. |
|
в общем случае, |
(Е.4) |
Если X S’-измерима, то Е(Х\'3) = Х п.н.; |
||
если ХУ интегрируема и X ^-измерима, то |
|
||
|
E{XY\$) = XE(Y\$) п.н. |
|
|
(Е.З) |
Если Ж — под-о-поло a-поля S, то |
|
|
|
Е{Е(ХУ5) \Ж) = Е(Х{Ж) п.н. |
|
|
(Е.6) |
Если Х „ -* Х в S’i(Q), |
то Е{Хп\ $)^ Е1ХЩ в S^Q ). г |
|
(Е.7) |
(Неравенство Иенсена.) |
Если ф: R*-*-R‘ |
выпукло и ф(Х) |
интегрируема, то
ф (£(Х|£))<Я Н >(Х)|30 п. н.
*) Ото определение применимо и к общим случайным величинам со зна-
чмнямн п 5.
22 |
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
В частности, \Е(Х\3) |*S.E(|X||S?’), и если X квадратично инте
грируема, то |Д(Х|301г<£(|Х |2|30.
(Е.8) Случайная величина X независима от *3 тогда и только тогда, когда для каждой борелевской функции / с
Ef(X)< оо E(f(X)\3) = E(f(X)) п.н.
Пусть 1 — ST\.^-измеримое отображение £2 в измеримое про странство (S, М). Тогда \и(В = Е(Х\ {со: |(сй ) е Й ) — ст-аддитив-
ная функция множества на М, которая абсолютно непрерывна
относительно индуцированной |
меры |
v = Р1. |
Плотность |
Радона — |
|||||||||||
Никодима dp/dv(x) |
обозначается |
через |
£(Х|| = ж) |
и |
называется |
||||||||||
условным математическим ожиданием X |
при |
| = х. Оно |
|
обладав? |
|||||||||||
свойствами, аналогичными вышеприведенным. |
|
|
|
|
|
|
про |
||||||||
О п р е д е л е н и е |
3.2. |
Пусть |
(й, |
|
Р ) — вероятностное |
||||||||||
странство и 3 — под-о-доле |
Система {р (со, ^)}в>=а,Авдг |
|
называ |
||||||||||||
ется |
регулярной условной вероятностью |
относительно 3, |
если |
она |
|||||||||||
удовлетворяет следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
(й, &~); |
|||||||
(I) для фиксированного ю |
А*+р (со, А) — вероятность на |
||||||||||||||
(II) |
для фиксированного |
|
|
toi-»p(a), А) |
|
^-измеримо; |
|||||||||
(III) |
для каждых |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Р (А {] В) = |
Jp(co,H)P(dcо). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, это свойство (III) эквивалентно |
|
|
величины |
X и |
|||||||||||
(III)' для каждой неотрицательной |
случайной |
||||||||||||||
B e ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е (X; В ) = 1 |/в (со) j X (со') р (со, Ao')j Р |
(Ло), |
|
|
|
|
||||||||
т. е. |
^ X (со') р (со, dco') |
совпадает |
с |
2?(Х|^)(со) |
п.н. |
|
|
|
|
||||||
|
й |
|
|
|
условная |
вероятность |
единственна, |
||||||||
Говорят, что регулярная |
|||||||||||||||
если для (р((о, А )} |
и {р'(со, А)}, |
удовлетворяющих вышеприведен |
|||||||||||||
ным условиям, существует множество JVe ? |
P-меры |
нуль такое, |
|||||||||||||
что если со Ф N, то д (оо, А) = р' (оо, А) |
для всех А е |
ST. |
|
|
называ |
||||||||||
О п р е д е л е н и е |
3.3. |
Измеримое |
пространство |
(й, SF) |
ется стандартным измеримым пространством, если оно борелевски изоморфно*) одному из следующих пространств: (<1, га>, J?(<1, п>)),
(N, Jf(N)) или |
(М, J?(M)), где <1, га> = {1, 2, ..., п} с дискретной |
топологией, N = |
(1, 2, ...} с дискретной топологией и М = {0, 1}N = |
={оо == (oolt со2, .. .), оц = 0 или 1} с тихоновской топологией. Хорошо известно, что польское пространство (полное сепара
бельное метрическое пространство) с топологическим о-полем яв
*) |
(Q, &~) и (£!', &~') борелевски изоморфны, если существует такая биек |
|
ция /: |
что / ^"|^"'-измерима и / - ’* |
^"-измерима, т. е. /(5~] = |
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ |
23 |
ляется стаидартпым измеримым пространством и что каждое изме римое подмножество стандартного измеримого пространства с ин дуцированным о-полем также является стандартным измеримым
пространством (см. [102], [141]). |
&~)— стандартное измеримое про |
||||||||||||||
Т е о р е м а |
3.1. |
Пусть |
(Я, |
|
|||||||||||
странство и Р — вероятность на |
(Я, @~). Пусть S’ — под-о-поле ЗГ. |
||||||||||||||
Тогда существует единственная |
регулярная условная вероятность |
||||||||||||||
{р((в, Л )} относительно 3?. |
|
рассмотрим |
случай, когда |
(Я, 2Г) |
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы |
|||||||||||||||
изоморфно |
(М, ЗЦМ)), и, следовательно, мы вправе допустить, что |
||||||||||||||
Я = М и |
|
= ,$ (М ). Пусть |
я„: Я э |
ю >->■(со1, (о2, |
..., ю„) <= {0, 1}" — |
||||||||||
проекция |
и ^ п = я ^ [ { 0 , 1}"]. |
Очевидно, |
что |
{iF„} — возрастаю |
|||||||||||
щее |
семейство |
конечных |
о-полей |
и |
V &~п = ^ •Если |
Рп, п = |
|||||||||
= 1, |
2, |
...,— вероятности |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
||||
на (Я, З Г и {Р„} согласованно в том |
|||||||||||||||
смысле, |
4 ToPn+il&-n= |
Рп, п = |
1, 2, |
•••> |
то существует единственная |
||||||||||
вероятность Р |
на |
(Я, |
ЗГ) |
такая, |
что |
Р \дгп = Рп- Действительно, |
|||||||||
в силу согласованности, Р |
корректно |
|
|
|
оо |
|
|||||||||
определена на U &~п, и если |
|||||||||||||||
|
оо |
@~h, п = 1, 2, |
..., |
такова, что |
|
|
|
71=1 |
> 0, то |
||||||
|
U |
Вп=> Bn+t и lim Р (Вп |
|||||||||||||
|
k ~ l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П-* оо |
|
|
[]ВПФ 0 , так как |
{ВпУ— система замкнутых множеств в компакт- |
||||||||||||||
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ном пространстве Я. Затем Р продолжается наст[ U^"n] = V ^ n =&r.
no теореме Хопфа о «продолжении». |
|
|
In |
J |
n |
|
||||
|
A е |
£Fn. Очевидно, найдется |
||||||||
Положим |
рп((о, |
А) = Е(1а\2?) (со), |
||||||||
множество |
Nnе $ |
Р-меры |
нуль |
такое, |
что |
если |
<а & Nn, то |
|||
рп((о, А) — вероятность на |
|
и р„(а>, Л) = р„_1(и, А) для A ^3T n- lt |
||||||||
п = 1, 2, ... Если положим |
|
ft *=UNn, |
то для каждого |
ca&ft |
||||||
{ р„(а, •)) — согласованное |
|
|
П |
и поэтому |
определяет |
един |
||||
семейство |
||||||||||
ственную вероятность р(м, |
•) |
на |
(Я, |
#"). Пусть v — вероятность |
||||||
на (Я, @~), |
и положим р(а, |
*) = v, |
если |
Тогда система |
(р(<а, •)} является регулярной условной вероятностью относитель
но &. Действительно, свойства (И) и |
(III) очевидны для |
|||
и распространяются па ЗГ по стандартной |
П |
|||
лемме о монотонных |
||||
классах. Если {р(ю, •)} и |
{р'(о), •)) — две |
регулярные условные* |
||
вероятности, |
то множество |
N = {a: р(а, А)¥=р'((ц, А) для некото- |
||
рого Л е и |
5 0 имеет Р-меру нуль, |
и если |
a&N, то р(ы, А) = |
|
п—1 |
J |
|
|
|
«•**/>'(го, А) для всех i e f |
опять по |
лемме о монотонных классах. |
||
!)тим доказана единственность регулярной условной вероятности. |
||||
О п р е д е л е н и е 3.4. Пусть (Я, |
— измеримое пространство. |
Мы скажем, что ЗГ счетно определено, если существует такое счет ное подмножество ЗГ, что любые две меры, совпадающие на ЗГ,, совпадают и на ЗГ.
24 |
|
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
Очевидпо, |
если |
(й, &~) — стандартное измеримое пространство, |
то ЗГ счетно определено. |
||
Т е о р е м а |
3.2. |
Пусть (Й, 9~) — стандартное измеримое про |
странство и Р — вероятность на (Й, ЗГ) . Пусть & — под-а-поле ЗГ
и р(оо, da ') — регулярная условная |
вероятность относительно 'S. |
|||
Если Ж — счетно определенное |
под-о-поле 9, то существует такое |
|||
множество N ^ S |
P-меры нуль, что из a &N следует, что р(ы, А) — |
|||
— Iа (со) для каждого А е |
Ж. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть Ж0<= Ж — счетное множество из оп |
|||
ределения 3.4 для Ж. Яспо, что если А е Ж0, то существует мно |
||||
жество Na ^ S |
P-меры |
пуль, |
для |
которого из о Ф NА следует |
Р(о),Я) = / а (<й). |
Положил! N = |
U NA\ тогда равенство р(со, А) — |
= / а (ю) имеет место для всех А ^ Ж , если a&N. |
|
|
|
|
|||||||||
С л е д с т в и е . |
Пусть (й, ЗГ) — стандартное измеримое простран |
||||||||||||
ство |
и Р — вероятность |
на |
(й, ЗГ). Пусть |
*§ — под-о-поле |
ЗГ и |
||||||||
р((в, |
•)— регулярная условная вероятность относительно *§. Пусть |
||||||||||||
|(<в) — 'SШ-измеримое |
отображение й |
в измеримое |
пространство |
||||||||||
(S, 38). Далее предположим, что 38 счетно определено |
и {х} ^38 |
||||||||||||
для |
каждого |
х е S |
(это верно, например, если (S, |
38) — стандарт |
|||||||||
ное измеримое пространство). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
р(а, |
{(D': | (( D') = |
| (( D ) } ) = 1 для п.в. |
а. |
|
(3.1} |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как 38 счетно |
определено, |
то |
суще |
||||||||
ствует счетное подмножество 98<,<^38 со свойством |
из |
определе |
|||||||||||
ния |
3.4. Поэтому |
Ж в {| -‘ (В): В ^38) |
является счетно |
определен |
|||||||||
ным |
под-о-полем |
с |
Жо= |
{£"' (В): 5 е ^ ) . |
Согласно |
теореме 3.2 |
|||||||
существует множество N е |
§ |
Р-моры нуль такое, что |
если <о Ф N, |
||||||||||
то p(<D, А) — 1А(а) |
для каждого А ^ Ж . Полагая -4а = |
{<э': |(<й') = |
|||||||||||
= |(<D)} <=Ж, получаем (3.1) |
для <о ФП. |
|
|
|
|
результат. |
|||||||
Аналогично теореме 3.1 можно доказать следующий |
|||||||||||||
Т е о р е м а |
3.3. |
Пусть |
(Й, ЗГ) — стандартное |
измеримое |
про |
странство и Р — вероятность на (й, ЗГ). Пусть |(<в)— ЗГШ-изме римое отображение й в измеримое пространство (S, 38), а Ръ— ин
дуцированная |
отображением | |
мера |
на (S, 38). Тогда существует |
||
такая система {р (х, A)}xsS>A(=g-, |
что |
|
|
||
(I) |
для |
фиксированного |
x& S |
А '~*р(х, |
А) — вероятность |
на (й, @~); |
|
|
х<-+ р (х, А) |
38-измеримо; |
|
(II) |
для фиксированного А ^ЗГ |
||||
(III) |
для каждого i e # - и В&38 |
|
|
||
|
|
Р (ЛП {со; I (ю) е 5 } ) = |
\ р (х, А) Р1 (dx). |
||
|
|
|
в |
|
К тому же, если {р'(х, А)} — другая такая система, то найдется множество N <= 98 Рг-меры нуль такое, что из хФ И следует, что.
р(х, А) — р'(х, А) для всех A&3F.
|
|
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
|
|
25 |
||||||||
Таким |
образом, для каждой |
случайной величины X |
интеграл |
||||||||||
( X (со) р (х, da> |
совпадает |
с Е(Х\% = х) |
для |
Р1-п.в. х. Функция |
|||||||||
<6 |
А) называется регулярной условной |
вероятностью при |
%= х. |
||||||||||
,р(х, |
|||||||||||||
Подобно теореме 3.2 и ее следствию доказывается следующее |
|
||||||||||||
С л е д с т в и е . |
Предположим |
дополнительно в |
теореме |
3.3, что |
|||||||||
■98 счетно определено и {х} |
для каждого x<=S. |
Тогда существу |
|||||||||||
ет такое |
множество |
N ^38 Р1-меры |
нуль, |
что |
если хФ-N, то |
||||||||
р(х, |
{(о: |
|(<а)^В}) = 1в(х) |
для |
всех В^38. |
В |
частности, |
если |
||||||
.X&N, то |
|
р(х, |
{<а: |(ю) = |
ж} ) = 1 . |
|
|
|
|
(3.2)' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
§ 4. Непрерывные случайные процессы |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
W d = C([0, |
00) |
Rd) — множество |
всех |
непрерывных |
||||||||
■функций нч [0, o o ) 3 f i - * u ) ( i ) e R <i. Определим на |
W d метрику р |
||||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p(ip1,a>>)-= 2 2 |
” 17 max !«?!(*) — и>#(0П Д 1]. |
wt, w2 <= W d. |
(4.1) |
||||||||||
|
|
п—1 |
I \0£t<n |
|
|
) |
J |
|
|
|
|
|
|
, Нетрудно |
пидоть, что |
W d |
полно |
и |
сепарабельно |
в |
этой |
метрике. |
|||||
|Очевидно, |
ч'п сходится к и; в метрике р тогда и только тогда, когда |
||||||||||||
|
сходится к w(t) |
равпомерно по t на каждом конечном интер |
|||||||||||
вале. Пусть ^ (W d) — топологическое |
о-поле. Борелевским |
цилинд |
|||||||||||
рическим множеством мы называем множество |
|
W d вида |
|
B = {w; (w(ti), w(tz), ..., w(tn) ) e E )
с 0 < |
ti < t2 < . . . < tn и |
Е<=31(Rnd). |
Обозначим |
через *5* совокуп |
|
ность |
всех борелевских цилиндрических множеств. Так как отобра |
||||
жение и? е |
W d >-* (ш (tj, |
w(tz), ..., |
w(tn))e£Rni |
непрерывно, то, |
|
очевидно, |
<= 38(Wd) . |
|
|
|
Пр е д л о ж е н и е 4.1. o[^] = ^ (W d).
До к а з а т е л ь с т в о . Нужно только показать, что of®’] ^ 38(W 4)’.
Совокупность |
множеств |
вида/и?: max |w (t) — w0 (t) ^ е\,и?ве Wd, |
||||
e > |
0, n = |
1, |
|
|
l |
I |
2, ..., образует базу окрестностей в |
W d. Имеем |
|||||
lw; max |
|w (t) — w0 (t) | < el = |
f| {«>; w(r)(=U (w0(r), e)}, |
||||
l |
K U n |
|
|
J |
rSQ.o <йг^п |
|
где |
U(а, е) = |
{ г е Rd: \x— a\ < |
e). Таким образом, |
такое множество |
||
представимо в виде счетного пересечения множеств из W. Следо- |
||||||
иителыю, $ (Wd) <= а[Щ. |
|
|
на (Wd, (W d) )’ |
|||
|
('.л е д с т в и е . Каждая вероятностная мера |
|||||
единственным образом определяется по ее значениям на |
||||||
|
О п р е д е л е н и е 4.1. |
Под |
непрерывным d-мерным процессом, |
|||
виданным |
на |
(Q, ЗГ, Р), |
мы подразумеваем случайный элемент со |
26 |
|
|
|
|
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
значениями |
в |
W d, |
т. е. |
&~/&(Wd -измеримое |
отображение |
|||||||
X: Q -*■Wd. |
|
|
|
|
непрерывный |
процесс, то |
||||||
Таким |
образом, если X — d-мерный |
|||||||||||
для |
каждого |
ю |
имеем |
I (ffl)s W J. Значение |
Х(ш) |
в |
точке*) |
£^ |
||||
е [0, |
оо) |
обозначается |
X, (а) |
или X(t, |
<а). Для фиксированного £ |
|||||||
Xt (а) |
является d-мерным |
случайпым вектором. Обратно, |
сово |
|||||||||
купность |
{Xi(<o)}js[o |
, d-мерных случайных |
векторов определяет |
|||||||||
d-мерный непрерывный процесс, если отображение |
t<~* X (£) |
непре |
||||||||||
рывно. Будем |
говорить, что два d-мерных процесса |
X |
и X' |
имеют |
||||||||
один и тот же закон, и писать |
2 |
если совпадают их вероят |
||||||||||
Х « Х ' , _ |
||||||||||||
ностные законы Рх и |
Рх . Так как Р |
и Рх |
определяются Свои- |
|||||||||
ми значениями |
на |
S’ |
|
и только тогда, когда |
сов |
|||||||
то X да X ' тогда |
падают все их конечномерные распределения: конечномерное рас пределение процесса X для заданной последовательности моментов
времени 0 < £, < £г< |
... < |
£„ — это вероятностный |
закон rad-мерно |
|
го случайного вектора (Х ^, Х^, |
. . . , X tn). |
|
||
Т е о р е м а 4.2. |
Пусть |
Х„ = |
{Х„(£)}, п — 1, 2, |
...,— последова |
тельность d-мерных процессов, которые удовлетворяют следующим двум условиям:
|
|
|
lim sup Р { |Х„ (0) |> JV} = |
0; |
|
|
(4.2) |
||
|
|
|
JV-*оо п |
|
|
|
|
|
|
для любых Т > 0 и г > О |
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim sup Р\ max |X„(£) — Xn(s)|>e1 = |
0. |
(4.3) |
||||||
|
hi 0 |
« |
|f,n=fo,T] |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
l |(-sl <A |
|
|
|
1 |
|
|
Тогда существуют подпоследовательность гг, < |
пг < |
.. . < nk < ... |
|||||||
-> оо, |
вероятностное пространство (fi, |
Р) и d-мерные непрерыв |
|||||||
ные |
процессы |
X nfc |
- ( X „ k(t)), |
к — 1, |
2, ..., |
и |
Х = (Х(£)) |
такие„ |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%nkZ x nk, |
k = |
1 , 2 , . . . , |
|
|
|
(4.4) |
|
сходится к X почти всюду при к -*■ °°, т. е. |
|
|
|
|||||
|
Р {со; р ( Х П/г(ш), Х (ш) ) - > 0 при /с->оо] |
= |
1. |
(4.5) |
Кроме того, если каждое конечномерное распределение закона РХп сходится при п °°, то нет нужды выбирать подпоследовательность:
можно |
построить Х„, re = 1, 2, ..., |
и |
X так, |
чтобы имели место |
(4.4) и |
(4.5) соответственно для re = |
1, |
2, ... |
и при п -*■°°. |
*) I <= [0, оо) рассматривается как время.
|
|
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
27 |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Покажем сначала, что из (4.2) и (4.3)' |
||||||||||
следует плотность семейства |
|
|
(см. определение 2.2). По |
тео |
|||||||
реме Асколи — Арцела подмножество |
А <=Wtf |
относительно |
ком |
||||||||
пактно в \Vd тогда и только тогда, когда оно |
|
|
|||||||||
(I) |
равномерно ограничено, |
т. е. для каждого Г > 0 |
|
||||||||
|
|
|
sup max |w(f)|<°o, |
|
|
||||||
|
|
|
w s A |
te [o ,T ] |
|
|
|
|
|
||
(II) |
равностепенно непрерывно, т. е. для каждого Т > О |
|
|||||||||
|
lim sup VTh (w) = |
О, где |
Vl (w) = |
max |
w(s) — w(t) |. |
|
|||||
|
h|ow=A |
|
|
|
|
|
t,s S [0,T] |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|f—s| |
|
|
|
Согласно |
(4.2) для каждого |
e > 0 существует число а > 0 такое, |
|||||||||
чт оРХп{и>: |w (0) |^ |
а } > |
1 — е/2для |
всех |
п. К |
тому же, согласно |
||||||
(4.3), |
для каждого |
е > 0 |
и |
й = 1, |
2, ... |
существует такое й*>0, |
|||||
что к |
1 0 и |
РХп {w: Vik(w) > |
1/ft} < |
e/2'i+1 |
для всех п. Следователь- |
||||||
|
|
\щ V\k(w) < |
1/fc} j> 1 — е/2. Положим Ks = {w\ Щ0) |
||||||||
|
|
"’I V;,fc И |
Мк\j |
•Тогда, |
очевидно, мпожество К» удов |
||||||
летворяет условиям |
(1) |
и (II), и поэтому оно |
компактно. Далее, |
||||||||
неравенство |
Р " (ЛГЕ) > 1 |
— е |
показывает, что |
семейство |
п} |
плотно. Так что, по теореме 2.6 (I), существует такая подпоследо
вательность (и*), что |
Р 71,1 Р |
для некоторой вероятности Р на |
(W 1, ^ ( W d)). Чтобы |
построить |
ХПк и X с вышеприведенными |
свойствами, остается только применить теорему 2.7. Далее, если
каждое конечномерное распределение закона |
Р х" |
сходится, то оче |
|
видно, что предельная точка {7,Хп) единственна, |
и поэтому Р Хп |
||
слабо сходится к Р при п |
«>. |
1, 2, |
...,— последова |
Т е о р е м а 4.3. Пусть |
Хп= (Хп (t)), п = |
тельность d-мерных непрерывных процессов, удовлетворяющих сле дующим двум условиям:
существуют положительные постоянные М и ч такие, что
2?{|Х„(0) 1Т) < М для каждого п = 1, 2, ...; |
(4.6) |
|||
существуют положительные постоянные а, (5, Mh, к — 1, 2, |
..., |
|||
такие, что E{\Xn(t)— X„(s)l“} |
Mh\t — s|1+p для каждых n |
|||
и f, « e |
[0, fc], |
к = 1, 2, . . . |
(4.7) |
|
Тогда (Xn) удовлетворяет условиям |
(4.2) |
и (4.3) из теоремы 4.2. |
||
Д о к а з а т е л ь е т в о . Согласно неравенству Чебышева |
|
|||
P{\Xn{0)\>N}^M/N\ |
тг = |
1 , 2 , . . . , . |
|
28 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
и (4.2) выполняется очевидным образом. Теперь докажем (4.3),
рассматривая, без ограничения общности, Т целым. Согласно |
(4.7) |
||||||||||||||||||
Y(t) = Xn(t), /1 = 1, 2, ..., |
удовлетворяет неравенству |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
£ ( | У ( 0 - Г ( 5 ) | а} < Л / т и |
- |
5 |1+р, |
t , s e = [ 0 , n |
|
|
||||||||||||
По неравенству Чебышева |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р ( |Y ((i + l)/2m) - |
Y (i/2m |
|> |
1/2™} < |
M T2“ m(1+p)2maa = |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= Л/7-2-т(1+р_аа), |
i = |
0, 1, 2, . . . , |
2mT - |
1. |
(4.8) |
|||||||||
Выберем а так, |
чтобы 0 < |
а < р/ос. Согласно |
(4.8) |
|
|
|
|
||||||||||||
Р |
шах |
|
|Y ((/ + |
l)/2m) - |
Y(i/2m |> |
1/2та1 < М ТГ2-т(р- аа). |
|||||||||||||
|
0 < K 2 m T - l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
(4.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
заданы |
е > 0 |
и |
|
б > 0 . |
Выберем |
v = v(6, |
г) |
так, |
чтобы |
|||||||||
(1 + 2/ ( 2“ - 1) ) / 2" « £ в и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р |
U |
( |
шах |
|У ((i + |
1)/2т ) - У (i/2m) |> |
1/2™1 |
|
|
|
||||||||||
|
m==V lo < i< 2mT - l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2_т(Р-а<х) < б. |
(4.10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=v |
|
|
|
|
|
|
Положим Qv = |
U / |
max |
|у((г + |
1)/2т ) — У (г/2т )1>1/'2то\- Тог- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
w=vl о ^|^2т7,—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||
да P(QV) < 6, и если © * Q V, то |
|У ( U + 1)/2™)-У (i/2m) I < 1/2™ для |
||||||||||||||||||
всех m |
v |
и i таких, |
что ( i + l ) /2 m^ 2 ri. |
Пусть |
Dr — множество |
||||||||||||||
всех двоично-рациональных чисел из интервала [о, |
П |
Если |
s ^ Dr |
||||||||||||||||
находится |
в |
интервале |
[i/2v, |
(г + 1 ) /2V) , |
то |
s запишется |
в |
видо |
|||||||||||
s = |
г/2V + |
3 |
«//2Vи , |
где а, суть нули или единицы, и, следователь- |
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но, если о) |
Qv, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
У (.9)- У |
(i/2v) |< 2 |у ( и2V+ 2 a//2v+/) - |
у (Ц2\+ |
i=i |
|
/ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
/i=i I |
\ |
|
|
г=г |
|
|
/ |
|
\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
< |
2 |
l/2(v+,t)a< |
2 l/2(v+ft)a = |
l/(2 a — l) 2va. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
|
ft-i |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, если s , t e D T, |
Is —1| < |
1/2Vи a> 9^ Qv, TO |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
| y ( s ) - y ( t ) | < ( l |
+ 2 / ( 2 ° - l ) ) / 2 vu< e . |
|
|
(4.11) |
|||||||||||
Действительно, |
если |
f e [ ( i - |
1)/2V, |
il2V) |
и |
s e [i/2 v, ( i + l ) / 2 v), TO |
|||||||||||||
|У (0 - |
У (*) |< |
|У (*) - |
У (*/2V) |+ |
IУ (* )'- У ((* - |
1)/2V) |+ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |У (i/2v) - |
У ((* - |
m |
l |
I < |
(1 + |
2 /(2 “ - |
l))/2 va» |
|
§ 5. ВОЗРАСТАЮЩЕЕ СЕМЕЙСТВО ПОД-0-ПОЛЕЙ |
29 |
|
п если |
£, s е [i/2v, (i + |
1)/2V), то |
|
|Y (£) - |
Y (s) |< | У (*) - |
Y (i/2v)| + \Y (£) — Y (t/2v)|< 2/ ( 2 ° - l)2va. |
Так как DT плотно в [О, |
Г], |
то (4.11)' |
выполняется для каждых s, |
|||||
£ <= [О, Г] с |
Is — £| «S 1/2*. Следовательно, Р | max |
|Y (£) — Y (s)|> |
||||||
|
|
|
|
|
\ t ,sS[0»T] |
|
|
|
> ej <1P (Qv) < б. |
Так как |
v = v(e, 6) |
4<—e| «l/2v |
от |
n, то |
полу |
||
не зависит |
||||||||
чаем условие |
(4.3). |
{Х (£ ))|е=[0. <»> — совокупность |
таких |
d-мер |
||||
С л е д с т в и е . |
Пусть |
ных случайных величин, что для некоторых положительных кон
стант а, р, М4 в |
i, s e [0, /с], k = 1, |
2, |
..., |
выполняется следующее |
||||||
условие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е ( |X (£) — X (s) \а) < |
Мк|£ - |
s |1+р. |
|
(4.12) |
|||||
Тогда существует d-мерный непрерывный процесс |
Х = (Х(£)) та |
|||||||||
кой, что для каждого £ е |
[О, оо] |
Р[ Х( £ ) =Х ( £ )] =1 . |
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как и в приведенном выше доказатель |
|||||||||
стве, |
(4.9) выполнено |
для У(£) = Х(£), и поэтому, по лемме Ко |
||||||||
роля — Коптелли, |
для |
почти |
всех |
to |
имеем |Х((( + |
1)/2т ) — |
||||
~ Х ( £ / 2 ' " ) | < 1 / 2 та, £ = |
0, 1, 2, |
..., 2"Т — 1, для всех m > v = v(to). |
||||||||
Это влечет за собой, как и в приведенном выше |
доказательстве, |
|||||||||
что |
|X(£)-X(s)| ^ ( 1 + 2/(2°— l ) ) 2 mo, |
если |
только £, |
s e D T, |
||||||
U — s|«£l/2m и m > v . |
Следовательно, |
отображение |
£ e D T^ X ( t ) |
почти папориоо равпомерно непрерывно. П устьХ (£ )— непрерывное
продолжение функции X(t) |
Тогда X = (Х(£)) |
— непрерывный |
процесс, и легко доказать, |
что Р[Х(£)=*Х(£)] = |
1 для каждого |
< е [ 0 , оо). |
|
|
I5. Случайные процессы, согласованные
свозрастающим семейством под-о-полей
Пусть (Q, ЗГ, Р) — вероятностное пространство и ( У — воз растающее семейство под-о-полей из ЗГ, т. е.
3Tt cz ЗГ„ |
если 0 < £ sS s. |
(5.1) |
Семейство (!Tt) называется |
непрерывным справа, |
если ЗГ(+0= |
■я 11 :Г j+e = |
t для каждого £<=[0, °°). В дальнейшем, если не ого- |
¥ -О |
. |
корсно противное, будет предполагаться, что (&~t) непрерывно серпка, Такое семейство {ЗГг) называется потоком. Предположим, что айайны (Q, SF, Р) и {ЗГt) . Под й-мерпым случайным процес
30 |
|
|
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
|
|
|
|
сом *) |
мы подразумеваем семейство d-мерных случайных векторов |
||||||
X — (Xt). В этом параграфе d-мерпый случайный процесс |
называ |
||||||
ется просто процессом. |
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е |
5.1. Процесс Х = (Х ()(>0 называется |
согласо-. |
|||||
ванным с |
() или |
(^”() -согласованным, |
если случайный вектор |
||||
(Xt) &г(-измерим при каждом t. |
|
если отображение |
|||||
Процесс X = (Xt)t>0 называется измеримым, |
|||||||
|
|
(t, <й)е [0, ooJXQ— X (( o ) ) sR <i |
|
|
|||
является ^([0, °°))X&'/3!(Ri) -измеримым. |
|
относительно ко |
|||||
Пусть ^ — наименьшее |
о-поле на [0, °°)ХЯ, |
||||||
торого |
измеримы все |
непрерывные слева (@~t) -согласованные про |
|||||
цессы |
Y : [0, оо) х Я э (t, со) I-»- Гг (со) е Rd. |
Если выше |
заменим |
||||
непрерывные слева процессы Y непрерывными справа процессами, |
|||||||
то соответствующее о-поле обозначается через . |
|
|
|||||
О п р е д е л е н и е |
5.2. Процесс Х = Х(<) |
называется предсказуе |
|||||
мым**), если |
отображение |
{t, to)-*- Xt(со) ST/SS^R) -измеримо. Про |
|||||
цесс X = X(t) |
называется |
вполне измеримым***) или опциональ |
ным, если соответствующее отображение ST/&!(R) -измеримо. Очевидно, что как предсказуемые, так и вполне измеримые про
цессы являются измеримыми и согласованными с потоком |
(&~i). |
|||||||||||||
З а м е ч а н и е |
5.1. |
|
Любой предсказуемый процесс вполне из |
|||||||||||
мерим. |
Действительно, |
если |
X = X(t) |
непрерывен |
слева, т. е. |
|||||||||
t *-*■Xi |
непрерывно слева для каждого |
о, |
то |
определенный посред |
||||||||||
ством |
равенства |
Х[п |
= |
Хн/2п |
для |
t е |
[к/2п, |
(к + 1)/2") |
процесс |
|||||
Хп = |
(Х (/° ) |
непрерывен справа и |
Х/п) (о>) ->• Xt(со) при п -*-<*>. Та |
|||||||||||
ким |
образом, |
процесс X |
^"-измерим. Отсюда |
вытекает, что & <= W. |
||||||||||
П р е д л о ж е н и е |
5.1****). Пусть |
Ф — линейное |
пространство |
|||||||||||
действительных и ограниченных*****) |
измеримых процессов, удов |
|||||||||||||
летворяющих следующим двум условиям: |
|
|
|
|
||||||||||
(I) |
|
Ф |
содержит все ограниченные непрерывные слева (соответ |
|||||||||||
ственно справа) |
(&~t)-согласованные процессы-, |
|
|
|||||||||||
(И) |
если |
{Ф„) — монотонно возрастающая последовательность |
||||||||||||
процессов из |
Ф, |
для |
которой Ф = |
supФ„ |
ограничен, |
то ф е ф . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
Тогда Ф содержит все ограниченные предсказуемые (соответ |
||||||||||||||
ственно вполне измеримые) процессы. |
|
предсказуемый |
процесс, |
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Ограниченный |
|||||||||||||
т. е. ограниченная ^-измеримая функция, является пределом моно |
||||||||||||||
|
|
*) |
Здесь мы рассматриваем d-мерный случай (т. е. пространство состоя |
|||||||||||
ний R'1) , но обобщение па произвольные пространства состояний очевидно. |
||||||||||||||
|
**) Точпее, предсказуемым относительно {У (). Будем также говорить |
|||||||||||||
(ST()-предсказуемым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
***) Точпее (9~г)-вполпе измеримым. |
|
|
1. |
|
|
||||||||
|
***•) |
В атом предложении мы предполагаем d = |
X Q в R. |
|||||||||||
****») |
То есть процесс ограничен как функция из [0, » ) |