книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 9. ТОЧЕЧНЫЕ ПРОЦЕССЫ

51

§ 9. Точечные процессы и пуассоновские точечные процессы

Пусть (X, Л?х) —

измеримое пространство. Под точечной функ­

цией р

на X

подразумевается отображение р: Dp <= (0, °°)

X,

где

область

Dp — счетное

подмножество

из (0,

°°).

Точечная

функ­

ция р определяет на*)

(О, ° ° ) Х Х считающую меру Np(dtdx)

по­

средством соотношения

Np((0, t]xU) = # { s e

Dp; s < i ,

p(s) e U},

f > 0 ,

(9.1)

Точечный процесс получается рандомизацией понятия точечных

функций. Пусть Пх —

совокупность

точечных функций на X

и

Ив(11х) — наименьшее

о-поле па Их.

относительно которого

изме­

римы все отображения

p<-*Np((0. t] X U), i > 0 .

U ^ $x-

(1IX,

О п р е д е л е н и е

9.1.

Точечный

процесс

p

на X

есть

$ (Пх))-измеримая случайная велнчипа, т.

е. 2F / & (Пх) -измери­

мое отображение Р-

О — Пх, определенное на вероятностпом прост­

ранстве

(Q,

Р).

Точечный процесс р называется стационарным, если для вся­

кого t > 0 р

и 0,р имеют один и тот же вероятностный

закон,

где

l>otp = {s е (0, оо): s +

i е

Dp}

и

(0(р) (s) = p(s + t).

Точечный

np(dt dx) = dtn(dx)

(9.2)

для некоторой

меры n(dx)

па (X, $х)-

Мера n(dx)

называется

характеристической мерой для р. Если

задана мера

n(dx) па

(X, ЗИ\).

то

р является

стационарным

пуассоновским

точечным

случае, если

для всяких

0,

непересекающихся 2/х, U2, ...

..., Uше

$ х

и Ki >

0

К (o x Р | -

£

Х,ЛГ,, ( (в ,«] х ( /,)

| |«Т I у,, ((0, *' I х U); s' < в, U е= # х ]

[

т

(t — s) 2 (e~Xi — l) n (Ui)

H .

H .

Т е о р о м а

9.1.

Для заданной

i=l

(X, $ х)

a-конечной меры п па

найдется стационарный пуассоновский точечный процесс

на X

с

характеристической мерой п.

52

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Пусть Uk

/г=1,

2, . . нс пересекаются,

n(Uh <°o и

х = иг/». Пусть г

к, г =

1,2, . . — случайные

величины со зпа-

чениями в Uk с Р

dx)

=

„00

А, г =

1, 2,

п {dx)jn (Uh), а т1/

такие неотрицательные случайные величипы, что

Р

>

t) =

= exp [— tn (£/;,)|для

0.

Потребуем, чтобы |(/ !\

т-Ь)

были

неза­

чии на вероятностном пространстве (£2, У, Р)

мы полагаем*)

Dp = U

т<"> +

т<"\ . . . ,

т(/° +

т?> +

. .. +

. .. )

И

00

Р{ Т(/° +

т!/>+ .. .

+ т (« ) =

к, т = 1,

2, .

|'m 9

§ 1. ИТОВСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

55

и

оо

\Х\= 2

2~,! (|Х|„Д1).

(1.4)

г?—1

Заметим, что так как X — мартингал, то

|*|<

не убывает по t.

Л е м м а

1.2. Пространство

— полное

метрическое

простран­

ство относительно метрики

— Y |

X,

У

е

/ 2, а Мг — замкну­

тое подпространство пространства М г.

если

|X — Y \— О,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

сначала, что

то X =

Y. Действительно,

\ X - Y \ = 0

влечет за собой, что Х„ — У„

и. н.,

п = 1,

2,

..., и

поэтому

X, =

Е[ХЖ<] = Д[У„|^(] = У,

для

i ^ п. Так как отображения

t *-+ X t

и t >-*■У<

непрерывны справа,

то мы заключаем, что X = У.

Колмогорова — Дуба

д.ля мартин­

Далее,

согласно неравенству

галов *), для всяких Т > 0 и С > 0 будем иметь

если

только

Х ("\ п — 1,

2,

...,— последовательность

Коши. Следо­

вательно, найдется процесс X = (Xt) такой, что

sup

|Х$Я) — Х,|->-0

О«КГ

ПО вероятности при Я

ООдля всякого Т >

0.

Очевидно,

для всякого t >

0

Е [ |Х[п

— X t|2] ->■ 0

при

п -*■

и отсюда мы заключаем, что

Х ^ Л 2 и

|Х(,,)— X j-v O

при

п-*- 0.

Наконец,

из

этого

доказательства

также

очевидно,

что

если

Х{п\ е Л1,

то

X е ^#2 -

стохастического

интеграла по

Займемся

теперь

определением

(,Ф“|)-броуновскому движепию, как некоторого отображения

Ф €

^ (Ф) £

(’ нтоЙ

целью

предположим,

что

задано

(.'¥'1 ) -броуновское

движе­

ние 1Ц1) lie

(U, йГ, Р), Коли

и

оо

Ф(1, (а) — /0(<о) l(i^0}(t) +

2

/t(®)^(i1,ii+1] (*)>

то мы полагаем

/ (Ф)(С со) -

2

А И

(# (*1+1 , со) — B(ti, со)) +

1 -0

-г /п («>)(# (А со) — B(tn, со))

(1.5)

ДЛЯ I»

t *Ztn+i, п = 0, 1, 2, ... Очевидно, что 7(Ф) можно записать

§ 1. ИТОВСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

57

t

Я [(/(Ф )0 )-/(Ф )(* ))* | * Г .]

Е

I Ф2 (и, to) du |ST$

п. н.

(1.12)

Более

того,

если о, т

являются

,)-моментами

остановки

с

Т> о п. и., то для всякого t > О

и

Я [ ( /(Ф )( * Л т ) - /(Ф )( г Л < 7 ) )| 5 г а1 = о

В. «.

(1.13)

их.

К[(1 (Ф) (#Дт) — / (ф) (гЛет))21^о) =

Е

\ Ф2 (а, со) du |SFа

п. н.

, fда

(1.14)

(III) Справедливы следующие обобщения свойств (1.12)

и

(1.14): если Ф,

^

<^9?г, то

Е |(I (Ф) (t) - 1 (ф) 00) (/ ('Р) (*) —

/ (

V) (S)) |r

s] =

= £

[(Ф -¥)((/,

(o)d«|^'sj

п. и.

(1.15)

и

Е |(/ (Ф) («Дт) -

/

(Ф) (t Да)) ( / (V) (I Дт) -

1 (V) (t Д о)) |^ „1

=

Е

(Лт

(Ф- 'F) (u. W) du |

п. «.

(1.16)

1ЛО

(IV)

Если а — (@~t) -момент остановки, го

I (Ф) (f До) =

7 (Ф') (f)

для

всякого

г ^

О,

(1.17)

еде *) Ф ' (f, о)) =

I(а(ш)х>'Ф Н, со).

(I)

очевидно;

(1.11)

справед­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Свойство

ливо, поскольку

/ ( Ф ) — мартингал;

(1.12)

легко

доказывается сна­

чала ДЛЯ ф с / » ,

н патом с помощью предалмюго перехода;

(1.13)

ство

(IV)**). Рассмотрим сначала случай Ф

i?o.

Пусть

U‘r ’ir-0.

п = { ,

2,

..., — измельчение

разбиений {Д}£10

и

и -2 _"|юо.

Пусть

Ф

имеет вид

© («,

со) = / 0(се) / {(=0>(t) +

+ 2

/ i'0 N

7r,(n)

(n) i (t)

для

всякого

ft- =

1,

2, . ..

Определим

I

( ai

>si + l J

o" (со) = Si+i, если a (m) s

(s{n\ 4+i]> Легко видеть, что для всякого

0W — 1, 2,

... a” — (@~t) -момент остановки и о" ( о при

п-+°°. Если

*) Очевидно, Ф' е

9?2-

**) Более простое доказательство приводится в нижеследующем замеча­

нии

2.2.

58

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ II ФОРМУЛА НТО

то /[„’>*] =

/ 1o> s(?0 j• и, следовательно, если поло­

жить Фп (s,

(й) =

Ф (s, со) I

то

Ф „ е 1 0.

Очевидно,

для

вся­

кого t > О

t

| Ф »-Ф '1 л =

Е

JФ2 (S- ®) V

> S>a}&

■О

при

Следовательно,

/ (Ф „)-> -/ (Ф')

в пространстве

Кроме того,

/ К ) (t) = £ Д?,) И/(о>>), ( в (t Аад -

В (t д*&">)) =

h = 0

1

,£

1

-

Д й " >М 1 | ^ .1.,| (в (» Л ""Л й ¥ .)— В (« Л » " Л < П ) -

оо

<Лап

=

2

д п)и ( 5 ( « л о пл а д - 5 ^ А о пл а д =

5

J Ф(*,®)<ю(«).

h=o

Если

o ^ s (hn), то

an^ .s<k>\

Следовательно,

t/\a

I (Ф') (t) =

lim I (ф),) (t) =

j

Ф(«, u,)dB(s) =

/(Ф )(*Л о).

П - » 0 0

J;

Общий случай доказывается посредством аппроксимации функ­

ции Ф функциями Ф„ <= S ’c

...,

Br(t)) — r-мерное

( У t) -броунов­

Пусть B(t) = (Bl(t),

B2(t),

ское движение и пусть Ф,(^

и), Ф2(£, и),

...,

Фг(£, сз)^ 2 ’2- Тогда

для

i = l,

2,

...,

г

определены

стохастические

интегралы

,)Ф i (s)dBi (s).

О

П р е д л о ж е н и е

1.2. Для t > s > О

£

t

{

t

Ф| (u) dBi (и) ) ф, (и) dB3(и) |

=

ЬиЕ

f Ф| (U Ф; (и) du\&~s ,

i, 7 — 1, 2,

. . . , г.

(1.18)

Доказательство

просто,

если

£= 1,

2,

...,

г. Общий

случай же получается отсюда предельным переходом.

элементов

Пока мы определили

стохастический

интеграл для

§ I. ИТОВСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

59

О п р е д е л е н и е

1.0. Пусть i? 2°c = {Ф = {Ф(0)<>о:

Ф — такой

(<Г«) -согласованный действительный измеримый процесс на Q, что

для всякого Т > О

т

(1.19)

I

Ф2 (£, со) dt <

оо п. н.}.

о

^1ы отождествляем

Ф

и Ф' в У»00,

если для всякого Т > О

т

полагать, что Ф е

2 ’-2)с— предсказуемый процесс.

процесс

Х =

О п р е д е л е н и е

1.7. Действительный случайный

■=(Х,)|>0 на (й,

У ', Р)

называется локальным (У t)-мартингалом,

если он согласован

с (У<)

и существует последовательность

(£Wt)-

моментов остановки с„ с о, < » ,

о» t ®,

и Хп = (X„(t)) — (У,)-мар­

тингал для всякого

п =

1,

2, ...,

где

Хп(t) = X (t До„).

Если к

тому же Хп— квадратично

интегрируемый мартингал

для

всякого

п, то X называем локально квадратично интегрируемым ( У () -мар­

тингалом.

Беря, при необходимости, подходящую модификацию, мы мо­

жем считать, что отображение t

X t

непрерывно

справа

п. н.

О п р е д е л е н и е

1.8. Пусть

=

{X =

(X,) t>0:

X — локаль­

но квадратично

интегрируемый

(У|)-мартингал и

Х 0 = О

п. пЛ,

Л »Лос = | ^ е

t

X t

непрерывно п. нЛ.

Пусть В = (B(t) ) l>0— (У ()-броуновское движение,

Ф

е ^ |К' и

п —1,

2, ...

Тогда

о„ — по-

олодоиптолыюсть

(УЛ-моментов

остановки с

о„ t °°

п. н. Положим

Фи (*, w) ** ^{1»и<1и)>«)Ф(*. «)•

Оч(Ч1ИДНО, что

60

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО

/ (Ф)

С

/(Ф )(1Д ап) =

/(Ф ,,)(*),

п = 1, 2, . ..

Поэтому

I (Ф) е

Л1'1ос.

О п р е д е л е н и е 1.9. Определенный выше процесс / (Ф) е

Л 21ас

называется стохастическим

интегралом

от

Ф

е ^ ос

по

броунов­

скому

движению

B(t).

Мы часто

будем

обозначать

/ (Ф)

через

J Ф (.?, со) dB (s, со)

или,

проще,

\<S>(s)dB (s).

Как

и в

замеча-

0

.

0

пии 1.3, мы будем называть стохастическим интегралом и случай­

ную величину / ( Ф) (t) для каждого фиксированного t.

§ 2.

Стохастические интегралы по мартингалам

Пусть

заданы

(й,

Р',

Р)

и

о, как в

§ 1.

Будем

считать

заданным

М ^ Л 2.

Теперь

определим

стохастический

интеграл

j Ф (s)dM(s),

совпадающий с интегралом из § 1 для М, являюще-

о

(Кунита, Ватанабэ

[101]).

гося (#"()-броуновским движением

П р е д л о ж е н и е

2.1.

(I) Пусть М = (М,)^Л2. Тогда найдется

такой натуральный интегрируемый возрастающий процесс*)

А —

= (Л;),

что

М\ — At

является

{SFt)-мартингалом. Кроме

того, А

определяется однозначно**).

принадлежат пространству Л 2.

(II)

Пусть М = (М,)

и N = (Nt)

Тогда найдется такой процесс А = (At),

который представим в виде

разности двух натуральных интегрируемых процессов,

и MtNt —A t

является

i) -мартингалом. Кроме того, процесс А определяется

однозначно.

Пусть

М = (М,) е Л 2.

Тогда

отображение

Д о к а з а т е л ь с т в о .

t <-* M i —

неотрицательный

субмартипгал

класса (DL), и

поэтому

согласно

теореме

разложения Дуба— Мейера***)

найдется

един­

ственный

натуральный

интегрируемый возрастающий

процесс

А =

= (Л,),

для

которого

t >-*- М] — At

является

(^“^-мартингалом.

Если

М,

И^Лг,

то

M, = (M + JV)/2e Л г и М2= ( М - N)/2 е Л 2.

Пусть

Л1 и

Л2 — натуральные

интегрируемые

возрастающие

про­

цессы, связанные соответственно с Л/,

и

М2. Тогда А —А1—А2 и

отображение

t>-*M[Ni — Л<

является

(STt)-мартингалом.

Един­

ственность процесса Л следует из единственности разложения Ду­

ба — Мейера.

*)

См. онределение 1-6.2 и определение 1-6.3.

**)

То есть

если

А' — другой

такой

процесс, то г>— At и tt— At

сов­

падают п. н.

1-6.12.

***)

Теорема