книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

32

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

{оЕ((о)<«} = n{ojs(to)<t + 1/п}= (1

U

{I r ( w )e £ } e fH0 =

п

п

r€-Q

r « + i / n

Известно, что если (&~t) удовлетворяет

условию

t для

каждого t или, в более общем случае, если

{Ра} — система

вероят­

ностей на (Q,

с П

t

для каждого t, то для каждого бо-

релевского

а

Е с: Rd

Оя

является моментом остановки,

подмножества

если только X вполне измерим

(см. [37] и [121]).

2, ... , — моменты

П р е д л о ж е н и е

5.2.

Пусть о,

т,

а„,

п —1,

остановки. Тогда

(I) o\Jт,

оДт,

где o„t или о„1, являются моментами остановки.

(II)

о =

lim ол,

П

Так как**) (о V т

t) =

(о < t)

П{т *£ Й,

то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

O V T — момент

остановки.

Аналогично,

сгДт

также

является

моментом остановки. Если о„ to,

то (о <1f} =

f) {On ^ t) и,

следова-

тельно,

о — момент остановки. Если о» to,

11

i} =

U {on< t} и,

то (о <

согласно нижеследующей лемме, о — момент остановки.

Н

тогда и

Л е м м а

5.2. Момент о является моментом остановки

только тогда, когда { a < f } e ‘F"( для каждого t.

то {o<Zt} =

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

о — момент

остановки,

у { о ( ш ) < ( — 1/п) е &~t-Обратно,

если

(о < t} е 2Гt

для

каждо­

го

t, то

{о (со) < t }

=

п {О (<о) <

t

+ 1In } «= &~t+0 = 2Ft.

П р е д л о ж е н и е

П

т,

о„,

п = 1,

2, ...,— моменты

5.3. Пусть о,

остановки.

для всех а, то

(1)

Если о (ю) ^т ( (о )

П ^ с п—

(2)

Если о„(<о) 1 о((о)

для всех ю, то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(1)

П

вытекает

из

определе­

Утверждение

ния. Если

о„ I о,

то

П &~а„ =>

о согласно

(1). Пусть Л е

0п.

Тогда,

так

же как

11

лемме 5.2,

4 n ( o „ < r f s ^ ’l

для

П

и в

каждого

( t, п) е

[0,

оо) х {1,

2,

...}. Следовательно,

А П {° <

t} =

U [А П (пп <

<

t}] s

и и отсюда А <=

П

П р е д л о ж е н и е

5.4. Пусть о — момент остановки. Тогда

(1)

о: Q еэ (о ->•о (to) е

[0, оо]

([0,

«»])-измеримо;

*)

Мы всегда полагаем inf 0 — оо, если ,не оговорено противное.

**)

Мы часто пишем (X е Л} вместо (со: Х(со) е

А}.

34

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

§ 6. Мартингалы

Пусть

Т — множество

временного параметра: в случае дискрет­

ного времени

Т = {0, 1,

2,

...}

и в

случае

непрерывного времени

Т = [0,

°°). Пусть

T = TU{°°} — одноточечная компактификация Т.

Пусть

(Q,

Р ) — вероятностное

пространство

и

(^”/)с=т— поток

нод-о-лолей *).

6.1.

Действительный случайный процесс X =

О п р е д е л е н и е

== (X()(ST

называется мартингалом **)

(супермартингалом,

субмар­

тингалом)

отпоситсльпо

(cF,),

если

каждого

( е Т ,

(I)

случайная

величина X,

интегрируема для

(II)

процесс Х = (Х,) согласован с

E(Xt\&r,)^>

(III)

Е (Х ,\&~S = XS (соответствеппо /?(Х (|^?"8)< X »,

^ Xs) п. н. для любых

s e T c s < t .

времени.

Пусть

f =

Рассмотрим

сейчас

случай

и

дискретного

= (/„)„=1 2

— ограниченный

неотрицательный

предсказуемый

процесс, т. е. существует такая константа М > 0, что

0 ^ /„ ( сй) < М

для всех п и /„

5Гп- ,-измеримо, п =

1, 2, ...

Пусть X —(Хп) — мар­

тингал

(супермартингал,

субмартингал)

относительно

{2Гп) • Опре­

делим случайный процесс

У = (У\,)нет

формулой

( У0 =

Х 0,

1 Уп =

У *-, +

/ П-(Х„ -

Х п_,),

п = 1, 2, . . .

(6Л)

Легко

проверяется,

что

У — мартингал

(соответственно

супер­

мартингал,

субмартингал)

относительно

Обозначим

У —

— / • X

и назовем

процесс

У мартингальным преобразованием про­

цесса X посредством процесса /.

_

П р и м е р

6.1.

(«Остановленный»

процесс.)

Пусть

о: Q-*-T —

момент остановки и /„ =

/{„<о),

п — 1,

2, ...

Процесс

/ = (/«)

пред-

сказуем, поскольку {п ^

о} =

и {О =

Щ

и очевидно,

что А'" =

/ • X

ость процесс

Х" =

Х пд0,

.ъ—о

2,

__

Таким

образом,

процесс

и = 0,

1,

Х°, получаемый остановкой процесса X в момент о, является мар-

типгалом (супермартингалом или субмартингалом), если

только

процесс X был таковым.

о преобразовании

свободного

выбо­

Т е о р е м а

6.1.

(Теорема

ра***). Пусть

X = (Х„)„=т

— мартингал

(супермартингал,

суб­

мартингал) относительно

(&"п)

и пусть а и т — ограниченные****)

*) В случае непрерывного времени (^Д) предполагается непрерывным

справа.

Иногда

X называется (дг /)-мартингалом

или

(/',

;У()-миртпегалом.

**)

***)

Принадлежит Дубу

[43].

если

существует

такая константа

****)

Момент

остановки

^

ограничен,

m е Т, что «у (ш)

^

m для всех со.

§ 6. МАРТИНГАЛЫ

35

моменты остановки с о(со)<т(со) для всех со. Тогда

Е(Хх\&~а = 'Х а

(соответственно < ,

> ) п.н.

(6.2)

В частности,

(соответственно

^ ) .

(6.3)

Е(Хх) = Е(Ха

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем

сначала

утверждение

(6.3).

Пусть

и е Т

и т(со)т п

для

всех

м.

Положим

/„ = /«,<„<,>'=

■=

в

— 1{п<а)

ДЛЯ га =

1,

2, ...

Процесс

/ = (/„)

предсказуем

(как

и

примере

6.1),

и

(f-X )„. — Х 0 =

Х тд » — Хад„. В

частности,

(/• Х )т—Х0 = Х Т— Ха,

и

поэтому (6.3)

становится

очевидным.

Установим теперь

(6.2). Очевидно, достаточно доказать, что если

В е &~а, то

Е(ХТ; В) = Е(Ха; В)

(соответственно

«£, > ) .

(6.4)

Положим

о (со),

И е й ,

ов (®) =

m ,

о) s

Вс,

и

т ( с о ) ,

( 1 > е В ,

ТВ (со) =

п г ,

со е

/ Г .

Тогда о8 и тг -

моменты остановки. Действительно,

| й,

если

i'^ m ,

{ о в < /} — Ц0Г< /}П

B e

&~j,

если

j <тп,

а

аналогичное верно для тв. Следоватсльпо, согласно

(6.3)

Е (Ххв) =

Е (Хав)

(соответственно

<1,

Тогди

/£(Х,: В) + В(Х,„: Вс) = Е(Ха: В) + Е(Х,„: Вг) (соответственно

> ),

что и доказывает (6.4).

удовлетворяет

условиям (I)

С л ОА с т в и е.

Пусть Х = ( Х ( ) ( = Т

и (II)

определения 6.1. Тогда X — мартингал (супермартингал, суб-

мартишал) в

том

и

только в

том случае, когда (6.3) выполнено

для любых ограниченных моментов остановки а и т

с

о <

т.

З а м е ч а н и е

6.1.

В

силу

предложения 5.5

свойство

(6.2) эк­

вивалентно тому, что

(соответственно

Е(Хх

о) — Хх\а

для любых ограниченных моментов остановки а и т.

мартингалом

В дальнейшем

будем

называть

X = (Х„)

просто

(супермартингалом

или

субмартингалом),

если

X — мартингал

естественного потока &~п, где

= о [Х 0, Хг, ..., Х„], п — 1, 2, ...

3*

38

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

неравенству

Иепсена

У = ( У „ )

с у п = (Хп —« ) +> » = 0,

1, 2, . . тоже является субмартингалом и

U% (а, Ъ =

(О, Ъ- а). Пусть т,,

т2, ... определены,

как

в

(6.8),

с замепой X, а и b на У, 0 и Ь — а соответственно. Положим

т„ =

= т „ДХ .

Тогда, если 2к> N, то

2/t

г * - Y . - a (F t, - i v

) -

П—I \ П

П—1/

- У

/1 - 1

) +

2 ( ]

2W + 1

- y

x' V

(6Л1)

-1/

и—о V

2п /

или равеп

(6 — а)

(О, b — а). Так как

У — субмартипгал, то и

E(Y '

\Xss Е (Y>

Поэтому,

беря математические ожидания

\ W l l

V 2п)

в (6.11), получаем (6.10).

Т е о р е м а

6.4. Если

X ■= (Х„)„е т — субмартингал с

s u p £ ( X + ) < ° o ,

(6.12)

то почти наверное существует Х х = lira Х п и случайная

величина

Хсс интегрируема*).

П-*оо

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку Е ( |Хп|) =

2E(X„ ) — Е (Хп) ^

<1 2Е (Х',1) — Е(Х0 ,

то,

согласно

(6.12), sup Е{ |Х „\) < оо. Поэто-

му, если

существует

«

X«, = lira Х„, то случайная величина Х^ ип-

тегрируема

по

лемме

ц -*оо

что

если мы

положим

Фату. Очевидно,

U* (a, b) =

lira UN (а, b),

то

N -* оо

(и;

lim (Хп (со)< lim Хп(to)] =

(J

{со; U^, (г, г') =

оо).

I

п - > ° °

J

r , r 'e Q , r < r '

Согласно теореме 6.3

Е (ий (г, г')) =

Ига Е (U% (г, г')) <

N~*oo

lira Е {(X JV — r)+ — (Х 0 — r )H

< —

JY->oo

Согласно (6.12) это выражение копечпо. Следовательно, Р

lim Хпс

< lim Хг

=

0, что и доказывает существование п.н. Н т Хп.

П~*ос

§ 6. МАРТИНГАЛЫ

39

Т е о р е м а

6.5.

Пусть X = (Хп)пет— субмартингал,

удовлетво­

ряющий

условию

(6.12),

и

пусть Х х =

lim Хп. Для

того

чтобы

71-»

ос

= (Хп)п<=т являлся субмартингалом,

т. е. Хп^ Е ( Х „1^”»)', и =

■= 0, 1,

2, ...,

необходимо

и

достаточно,

чтобы семейство |Xn }nsT

было равномерно интегрируемо*).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если Хп^ Е (X » \3Г„), п — 0, 1, 2, . . ., то по

неравенству

Иенсена Х£ ^

Е (Х^ |

п)

и,

следовательно,

Е(х£ ;

Х^ >■ К) ^

Е (Х<£; X t >• % . Кроме того,

Р (Х „ > % ) ^ . Е (Х„ )Д

^ £ ( Х » ) Д , и поэтому

очевидпо,

что

семейство

|X,|]nsT

равно­

мерно интегрируемо.

Обратно, если семейство

{Хп}п=т равномерно

интегрируемо,

то

сходимость почти наверное lim

X j = X ^

совпадает со сходимостью

в S’liQ). Аналогично, lim

71—»00

Хпу ( — а) = X co\J(— a) в смысле 2\(£2).

Так как

П-^оо

(X„\J(— а))„=Т — субмартипгал, то

7?(Х«,\/(— а)\ЗГ„)= lim Е (XmV (— а) I ^п) > X n\J(- а).

т-* оо

Устремляя a t ер, получаем Е{Хт\&"п) > Х п.

Т порам А

6.(1,

Для y « i ? 1(Q,

Р)

положим Xn —E(Y

и

п ta Т,

Тогда

X - ( .V„)

равномерно

интегрируемый

мартингал

lim Хп — х х

существует почти наверное и в 2 ’,(Q ). Более того,г

I» *И»1

Хоо =

Е {Y \9~oo),

(6.13)

где

ос =• У

п.

71

Так

как |Х„| ^

Е ( |Y 11 &~п), в е Т ,

то

Д о к а з а т е л ь с т в о .

равномерная

интегрируемость

семейства

(Хп) получается,

как

и

в доказательстве теоремы 6.5. Кроме того,

(Х„) — мартингал, по­

скольку

E { X j T „ ) = E{E(Y\&'m Г^'„) = £Д7|5Г„) = Х„

для

тп>п.

Поэтому Хоо =

Н т Х „ в Й’ДЙ)

и процесс X = (X„)„^j- — мартингал.

Чтобы

7(—*О

(6.13),

рассмотрим

совокупность

<Р множеств

доказать

S s r

с Е (Х „ ;

B) = E(Y;

В).

Если

то

Я(У; В) =

— Е (Х„;

В) = Е(Х„\ В)

и,

следовательно,

Очевидно,

40

ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим сейчас

мартингал с

«обратным» временем. Пусть

(Q, 2Г, Р ) — вероятностпое

пространство

и (&~„)п=о, -i, - 2__ — се­

мейство под-о-полей из

с

0 => ^ '_ 1

=5 & ~ -2

.. .X = (Хп) п- о, -i. - 2, •■•

ли

Х„ — интегрируемая,

^„-измеримая

случайная

величина

с Е(Хп\дгт = Хт (соответственно

S*) для », т е

(0, —1, —2, ...}

с п > т.

6.7. Пусть

X =

(Х„) „=0, - 1, - 2.... — субмартингал

с

Т е о р е м а

inf Я (X,, ) > - < » .

(0.14)

It

Тогда процессXравномерно интегрируем и Н т Х „ =

Х _ 00

существу-

ег почти наверное и в 2 ’i(Q).

П-* —зо

убывает

при

п 1 —°°, то

из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как Е(Хп)

(6.14) следует, что

при

п 1 —°°

существует

и

конечен предел

lim Е(Хц).

Пусть е > 0 и к таково, что

Е (Хп)—

lim

Е (Х „)< е .

П -*— оо

то

—оо

Тогда, если п ^ к ,

Д(|Х„|: |Х„|>Х) = Я(Х„: Х п> * )

+ Д ( Х „ : Х п >

-

X) -

Е (Х „)<

< Е ( Х к: Хп> Ц

+ Е ( Х к: Хп^ - к ) - Е ( Х к

+ е <

^ Е ( \ Х к\:\Хп\>%) + г.

Кроме того,

/»(| Х „| > Х )<

< 4 - ^ ( 1 Х » 1 ) = 4 - ( 2 ^ ( ^ ! ) - ^ ( Х „ ) ) < ^ - ( 2 £ ; ( Х 0+) -

lim Е(Хп ).

А

А

А

—оо

Отсюда легко следует равномерная интегрируемость семейства

(Х „).

Существование

Н т Хп н. н. доказывается, как

и в

теореме

6.4.

Рассмотрим

П-*—оо

случай

непрерывного

времени Т = [0,

°°).

теперь

Пусть X =

(Х()(е т — субмартингал.

отображение t е

Т f)

Т е о р е м а

6.8. С

вероятностью единица

f) Q *-*• Х{

ограничено

и пределы

Н т

Хя и

lim

Xs

существу-

ют для каждого t^O .

QOT3s.(

QITssTf

Пусть

задано число

Т > 0

и (г4, г2, ... } —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

нумерация

множества

Q П[О, Г].

Если

для

каждого

п

[si,

s2, ...

...,

s„] — естественное

упорядочение множества

[rt,

г2,

. .

г„], то

равенства

У j = У*., i =

1,

2, ..., п, определяют

субмартингал

Y —

=

(Уi)i=i-

Кроме

того,

Y = (У;)"±(}

с У„ = Х„ и

У„+, = Хг является

субмартингалом.

Поэтому,

согласно теореме 6.2 и теореме 6.3,