книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfТем же путем преобразуем (k -V- 1)те соотношение (3.20), которое в развернутом виде выглядит так:
i f f = y g ? + iff + „ffiff _ dB-ц
iff = |
|
+ «ffiff + е й ® 1- |
dg-'l, |
|
|
|
(3.24) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iffc = |
< |
U + « £ * , i f f + |
4 % |
i f f - 4 |
^ |
|
|
||||
о - « а а + д а + д а 1- 4 & ч- |
|
|
|
||||||||
Умножим эти равенства слева соответственно |
на |
Uk<r~\ |
|||||||||
Uk«~\ |
.... U, Еп и сложим. Получим |
|
|
|
|
||||||
(ик°+ |
сДОу6" - 1+ 0®у*«-г + |
|
4- 4 % |
t/+ a g ,B „)g * l= |
|||||||
------ (с$У*»-' + |
|
+ |
+ |
4 ‘U |
и + |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
+ 4 X ) |
iff + |
4*-11, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4* _,1= |
+ |
t/#o- s4«_,,+ |
+ |
£/4‘ -i]<.+ 4 ‘ff1 |
|||||||
Таким образом, вместо системы (3.24) |
можем рассмат |
||||||||||
ривать эквивалентную ей систему |
|
|
|
|
|
||||||
< M t/)iff =-----( а |
^ - ' + |
а й ’У |
^ Ч |
|
+ |
|
' |
||||
|
|
+ at?.,„и+ 4 Х |
) iff |
+ 4 * -,J . . (3 ijgv |
|||||||
^ |
10 = t/|,ff + a ffiff |
+ a f f i f f - 4 ; - 4 |
|
|
I |
||||||
|
|
( /= 1 ,2 , |
|
А ,— 1). |
|
|
|
|
|||
Теперь покажем, как, |
используя |
полученные соотноше |
|||||||||
ния, построить члены рядов (3.19). |
|
|
|
|
|
||||||
Положим |
|
|
Коа„, |
|
|
|
|
|
|||
где аа— некоторый |
if f = |
|
|
|
|
(3.26) |
|||||
-мерный |
вектор (матрица-столбец). |
||||||||||
Тогда |
первое равенство (3.23) |
(используя |
(1.2) при со |
||||||||
ответствующем разбиении собственных значений матрицы U |
|||||||||||
на группы) можно преобразовать к виду |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ТСофо (А-a)С1д= 0 . |
|
|
|
(3.27) |
||||
Так как инвариантное подпространство /?<j, соответ |
|||||||||||
ствующее |
группе а |
собственных значений |
матрицу V, |
||||||||
Равенство (3.28) распадается на р независимых матрич ных соотношений
Ч>« (Л ,) |
|
----------М ,К , («Й ]Л ^ - ' |
+ |
а ^ Л ^ 2 + |
+ |
|
||
+ а !£ -1 |
«Ло + |
а„ + |
|
|
(5 = 1 , |
р). |
||
При |
э ф а MsKa = |
О, |
а |
фа(Л5) |
в |
силу |
условия |
|
(3.16) — невырожденная |
матрица. Поэтому |
|
|
|||||
|
|
QS? = ф7' (Л,) уИД‘- |] |
(5ф а). |
|
||||
При s = |
а |
М0Ка = Eka, а ф0 (Ла) = 0. |
Поэтому |
|
||||
(оЙЛ*0” 1+ |
а £ ]Л*°~2 + |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
+ aJ£L, 0Ла + а!£]о£*а) а0= |
M<jd[a _1], |
|||||
|
£oCtla] = M adla~l\ |
|
|
|
||||
где |
|
|
|
(3.29) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(£0 = ( A f ~ |
аа А 0° |
аа |
n<j), |
|
||
«Й] \
“ W
Так как подпространство /?„ циклическое, то по лемме 1.2 при соответствующем выборе столбцовой матрицы аа столб цы матрицы будут линейно независимы. Пусть а0 вы брана из этого условия и столбцы матрицы £ а линейно не зависимы. Тогда ££„, как квадратная матрица с линейно независимыми столбцами,— невырожденная матрица. Учи тывая это, из (3.29) находим
а[,ч — О |
й о 4 ? ~ ч (6 = |
1,2, |
...). |
Неопределенной |
осталась лишь субматрица Qaa1 матри |
||
цы Qo1Из вышеизложенного ясно, |
что |
в качестве |
|
может быть взята произвольная, нужное число раз диффе ренцируемая матрица типа ,ka X 1. В частности, можно принять CffJ = 0.
Зная Q?1, легко получить gia по формуле iio1= коХЧ
или
— СС1а |
— а 2а |
1о |
a fe0a |
|
О |
О |
о |
(4.2)
О |
О |
1 |
О |
|
( о = 1 ,2 , |
|
р). |
Матрица А, отвечающая оператору А в произвольном базисе, связана с матрицей J соотношением подобия:
А= К Л Г 1.
Всоответствии с этим линейная стационарная система
= Ах |
(А = const) |
при замене переменных
х — Ку
распадается на р независимых подсистем
(ylt -‘ч Ур — субматрицы столбцовой матрицы у с размера ми соответственно kx х I, kp х 1).
Теоремы предыдущего параграфа показывают, что, по добно стационарной системе, и однородная дифференциаль ная система при известных условиях может быть расщепле на на подсистемы, матрицы коэффициентов которых имеют структуру матриц Ja. Действительно, если, например, ка кое-нибудь уравнение расщепленной системы (3.18) пред ставить в виде системы уравнений первого порядка, то по лучим систему с матрицей типа Ja . Оказывается, что и неоднородная дифференциальная система при довольно об щих предположениях может быть расщеплена на подсистемы с матрицами типа
Рассмотрим векторно-матричное уравнение
fjy |
|
|
А (х>6) т = 5 (т»е)* + f(tf т> е) |
= |
(4.3) |
где х и / — столбцовые матрицы типа п х 1, а Л и В — квадратные матрицы порядка п, допускающие на сегмен те О С т < L разложения (сходящиеся или по крайней м:- ре асимптотические) по степеням параметра в:
А С*, е) = |
2J |
М, |
|
В (т, е) = |
2 |
гкВк(т). |
||||
|
|
|
ft= 0 |
|
|
|
|
fc=0 |
|
|
Т е о р е м а |
|
4.1. Пусть на сегменте [О, L] а) матрицы |
||||||||
Ак (*). Вк (т) |
|
|
|
1. 2,...) |
имеют производные по т всех |
|||||
порядков, а |
Л0 (т), |
кроме |
того, |
является |
невырожденной |
|||||
матрицей; |
б) |
собственные |
значения |
матрицы U (т) = |
||||||
= А^1(т) В0 (т) |
разбиты на |
р |
групп h}0), |
. . . . XjJ} |
||||||
^ст= 1,2, . . . , |
|
р\ |
2 |
ko = ftj |
так, что |
|
||||
|
|
|
|
\Х\°](т) - ^ |
( т)\> 0 |
|
(4.4) |
|||
(о |
sj |
i — 11 |
|
j |
1» |
• • •» |
^s)i |
|||
в) соответствующие этим группам подпространства Rlt Яг, R p являются инвариантными и циклическими под пространствами п-мерного пространства R относительно линейного оператора U, которому в некотором базисе от вечает матрица U. Тогда формальное решение системы (4.3) может быть представлено равенствами
|
|
X— 2^сг(т, 6) уа, |
|
(4.5) |
|
|
|
(Гэв1 |
|
|
|
|
= Аа (т, е) уа+ |
Ма(т, в) R (т, в) f (it, т, в), (4.6) |
|||
где Ко, Л а, Ма, R |
—матрицы типа соответственно п х |
||||
X ka, ) ia х |
ka,' ka X n, ft x ft, представленные формаль |
||||
ными рядами |
|
|
|
|
|
Ka(т, е) = |
2 |
С*)» |
(т*е) ~ |
2 е ^ |
1 (т^* |
|
/{=0 |
|
|
сю |
(4.7) |
,Мр(т, в) = |
оо |
(Т)’ |
R (т«8) = |
(т)> |
|
у eftM |
2 |
||||
v |
л=о |
|
|
ь>о |
|
|
|
|
|
|
|
причем ЛЕ?] есть матрица типа (4.1), а
|
0 |
0 |
0 |
о |
|
л Е М |
0 |
0 |
о |
о |
(4.8) |
. |
akao |
а й0—1о |
м |
„Ш |
|
С*2а |
— а 1а |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставляя равенства (4,5) и (4.6), определяющие вектор х, в систему (4.3) и отделяя в полученном соотношении коэффициенты при у0 (а = = 1, ...,/?) и свободный член, будем иметь
А (т, е) |
dK0 (т, е) |
+ К о (т, в) Лр (т, е) |
|
|
|
дх |
|
|
|||
|
= В(т, е )Ко(*, е) |
(сг=1, |
р), |
(4.9) |
|
р |
~ |
|
|
f (/, т, в) = |
0. (4.10) |
Л (т, е) %Ко (*, е) Л40 (т, е) Я (т, 8) — £ л |
|||||
<х«=1 |
|
|
|
|
|
Для того чтобы равенства (4.9), в которых по предполо- |
|||||
Г~- |
W |
|
|
____ |
|
жению Ко и Ко представлены рядами (4.7), выполнялись тождественно относительно е, необходимо и достаточно,
чтобы члены разложений матриц Ко и Ла были решениями матричных уравнений
|
UKlo' = |
/CL0,A L01, |
|
|
(4.11) |
|
|
t/K ‘4 = |
К1а Л','” + |
+ 4 s- 11 |
(4.12) |
||
где |
(о —-1,2, |
• • •» р» |
^— 11 2, |
• • •), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D E*“ 1] = |
2 ^ оа" ла Е/] |
+ |
|
|
|
|
+ v v f |
л V-. |
|
BvKg^’ + 2 |
А,к*0*-*-Лл5 Л) . |
||
vti |
\ |
|
|
/•=■о |
/ |
|
В силу условия б) теоремы могут быть построены квад |
||||||
ратные матрицы |
|
|
|
|
|
|
К = (К1 |
К„), |
|
Л = diag (Л,.......... Л„), М =1 |
{МЛ |
||
|
: I |
|||||
W
с субматрицами Ко, Л0, Ма (о = |
1.......р) типа соответст |
|||
венно |
п |
х |
ka, ka х ka, ka X n, |
дифференцируемые на |
[0, L] |
по |
т |
столько же раз, сколько раз дифференцируема |
|
матрица U, и удовлетворяющие соотношениям (1.2). Далее, поскольку /г0-мерное подпространство Ra, отве
чающее группе а собственных значений матрицы U, цикли ческое, то минимальный аннулирующий многочлен этого подпространства <р0 (А,) есть многочлен степени ka, коэффи циенты которого (а1о, а 2а, .... а*ао) определяются форму
лами Виета, а матрица Аа либо совпадает, либо подобна матрице У0 .
Используя произвол, имеющийся в выборе матриц Ко и Ма, всегда можно сделать так, чтобы Л0 совпадала с Ja в форме (4.1). Учитывая это, далее будем считать, что в раз ложении (1.2)
Л с s J а ( О = 1, р ) .
С помощью соотношений (1.2) легко проверить, что при
подстановке вместо /С?1 и Л<?] соответственно Ко и Лст ра венство (4.11) обращается в тождество. Учитывая это, поло жим
К1о}(т) = К0(т), А1о}(т) = Аа(т) SB Ja(т).
Г** тш
Остальные члены разложений матриц Ко (т, е) и Аа(т, е) последовательно могут быть определены следующим путем.
Допустим, что К1о\ |
А?3, ...» /Со*-11, А[о~1] уже |
найде |
|||
ны и, |
следовательно, в А-м равенстве (4.12) Z ? ^ 11 |
— из |
|||
вестная матрица. |
|
|
|
||
Через |[Jr3, |
..., l[kJo |
обозначим |
столбцы матрицы К[£\ |
||
а через rift"11, .... dj^tr11 — столбцы |
матрицы Do-11, так что |
||||
/<LS]= ( ^ |
|& ), |
4 £ " ) . |
|||
В том |
случае, |
когда |
Лд1 (А = 1, |
2, ...) имеют структуру |
|
(4.8), k-e равенство (4.12) эквивалентно системе уравнений
(4.13)
ДО] т |
ДЧбСО] ДА—13 |
I а = U № + « т е0е |
+ |
Умножим |
равенства |
(4.13) слева соответственно на |
Еп, |
|||||||||
U, .... Uk°~2, Uk°~l и |
сложим. |
Получим, |
учитывая |
еще, |
||||||||
что |
<х$] = |
|
(/ — |
1, 2, |
ка): |
|
|
|
|
|
||
<Рс (U) |
= |
- |
( с № и к° - 1 + |
|
+ |
+ |
a £ L l0U + |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
+ |
< l £ „ ) C l |
+ |
4 * - 11, (4.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
и к° - '4 каа'] + |
+ |
|
|
|
|
|||
Пользуясь соотношениями (1.2), равенство (4,14) можно |
||||||||||||
преобразовать к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
здесь |
Фо (Л) Q[/'!= |
— М К Л Л к: + М<№-'\ |
(4.15) |
|||||||||
|
щ [» , |
|
|
|
|
|
а„), |
|
|
|||
|
<Й‘>= |
й с = |
( Л ^ ’а;, Л ^ - 2а„ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
-14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&\а |
|
|
|
|
|
|
|
|
GLQ — |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а м . |
|
|
|
|
|
Равенство (4.15) распадается на р независимых матрич |
||||||||||||
ных |
соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ф„ (Л5) < $ ] = |
- |
М £ Л Л П + м $ ~ п |
(4.16) |
|||||||
|
|
|
|
|
( s = 1,2, . . . |
, р), |
|
|
|
|
||
где |
Qla |
= |
|
— субматрица |
матрицы |
Q?3 с размера |
||||||
ми |
ks х |
1. |
|
щ (Aff) = |
0, a М0КС= £ Аа. Поэтому |
из |
||||||
При |
s = а |
|||||||||||
(4.16) получаем |
|
= iWodf-11. |
|
|
|
|
||||||
Как |
нетрудно проверить, {£а — невырожденная |
матри |
||||||||||
ца (det ££а = |
1), так что последнее равенство разрешимо от |
|||||||||||
носительно oto]: |
|
|
!£ё'мЛь~п- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а ? 1 = |
|
|
|
|
|||
При s |
<т |
MsKo = |
0, |
а фо (Л5) в силу |
условия |
б) тео |
||||||
ремы — невырожденная матрица. Учитывая это, из |
(4.16) |
|||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|