книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

матрица типа ka X 1).

Тогда первое равенство (2.11) можно преобразовать к

Так как инвариантное подпространство /?а, соответствую­ щее группе а собственных значений матрицы U, цикличе­ ское, минимальный многочлен этого подпространства яв­ ляется многочленом степени ka, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:

(2.8) , приводящее систему (2.1) к расщепленной системе

(2.9) , будет невырожденным. Теорема доказана.

2.3.Случай матрицы простой структуры. Если U име­

составленная из п линейно независимых собственных век­ торов, а А — диагональная матрица, диагональными эле­ ментами которой служат отвечающие этим собственным векторам собственные значения матрицы V. Имеет место

сл :дующая

Те о р е м а 2.3. Если U — матрица простой структу­

Ко — ему отвечающий собственный вектор матрицы U).

Эта теорема следует из теоремы 2.2, если (при условии, что U — матрица простой структуры) принять р = п.

§ 3. Преобразование однородной нестационарной системы дифференциальных уравнений к расщепленной системе

Рассмотрим однородную нестационарную систему вида

где А (т, е), В (т, е) — квадратные матрицы порядка п, допускающие разложение по степеням параметра 8 (сходя­ щееся или по крайней мере асимптотическое):

3.1.Преобразование к расщепленной системе уравнений

групп, по два собственных значения в каждой группе, так, что

порядков, б) инвариантные подпространства R±, R2.......Rp п-мерного пространства R, соответствующие указанным выше р группам собственных значений матрицы U, явля­ ются циклическими, то формальное решение уравнения ( 3 . 1 ) может быть представлено в виде

где скалярные функции qa являются решениями уравнений

Положим

2 к ,ф, (л5)

При умножении обеих частей последнего равенства сле­ ва на М это равенство распадается на р независимых матричных соотношений

(s — 1, • • • , р),

где

<2* = М$У.

Обозначив

будем иметь

Q S,*1= ■

так что если удастся из (3.14) определить Q?], то Легко по­ строить и искомый вектор |[{? по формуле

При s ф о MsKa = 0, а фо (As) в силу условия (3.2а) — невырожденная матрица. Поэтому

Так как Ra — циклическое подпространство, то соглас­ но лемме 1.2 существует такая столбцовая матрица аа , ко­ торой отвечает линейно независимая система векторов аа, Астя0 . Пусть аа выбрана из этого условия. Тогда векторы Ааво и аа линейно независимы и, значит, &£а — невырож­ денная матрица. При этом матричное равенство (3.15) раз­

Что касается субматриц QES» то здесь имеется известный произвол. В качестве Qo3 может быть взята произвольная квадратная матрица второго порядка, имеющая достаточное

число производных. В частности, можно принять Qo*d = = 0.

Зная |SCT и aSJ1, легко определить и g^no формулам (3.12). Таким образом, изложенный метод позволяет последо­ вательно построить члены формальных рядов (3.5) и (3.6), с помощью которых представляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.3), (3.4). Тем самым теорема до­

причем соответствующие этим группам инвариантныеподпространства /?х, /?2, Rp являются циклическими под­ пространствами п-мерного пространства R.

Тогда формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

где <7о (а = 1, 2 ,...,/?) —скалярные функции, удовлетво­ ряющие уравнениям

а £/а (т, е), а/0 (т, е) — соответственно векторные и ска­ лярные функции, представляемые формальными рядами

ванный в § 2, подставим выражения (3.17) и (3.18) в урав­ нение (3.1) и приравняем коэффициенты при qa, d{[a -,