книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdf§ 4. Рекуррентные соотношения в частных случаях
Произвол в выборе 0$} можно использовать для упро щения расчетных формул.
Так как
ТО |
ИЗ |
|
|
|
|
МаКР = |
QlV, |
|
|
|
|||||
|
Q&' = |
0 |
|
(ft = |
1,2, . . . |
) |
|
(4.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
следуют |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При ЭТОМ |
|
м,к»61 = о |
|
(ft = |
1,2, |
). |
|
||||||||
= м„л;г' £ |
л,_, |
« S |
^ 3 |
- |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
— BvKa |
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имея |
в виду, |
что |
|
|
|
|
|
|
/=tl |
|
/ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
к » 3= |
к . + |
К 2 |
<й*3, |
|
|
|||||
получим еще |
fc=n |
|
|
|
|
|
<г=1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
М„ у |
KlP = Е„а |
(т = |
0 .1,2, |
|
) |
||||||||
|
|
£=0 |
|
|
M oK a^E v |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2» |
||||||
|
Более простой вид принимают расчетные формулы в слу |
||||||||||||||
чае |
Ak (т) = |
Bk (т) s |
0 |
{k = |
I, |
2, |
...). При |
этом |
|||||||
|
|
|
ft—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D L611= |
2 |
|
|
|
+ |
" |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/ - 1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M „ z > r13 = |
/И„ |
«ж'*-1’ |
= |
( |
- |
£ |
Q L - 3 + |
к |
4 ^ ) . |
||||||
« |
^ |
1 |
|||||||||||||
или, в силу (4.1) и (4.2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Мо01'‘- '] = М о ^(& к~'] |
|
(ft = |
1,2, |
). |
||||||||||
Под |
здесь подразумевается блочная матрица типа п |
X |
|||||||||
х k a , состоящая из следующих блоков ($$ типа k s |
х |
k a: |
|
||||||||
|
|
|
|
[0] __ |
|
s = a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
so — |
|
s¥=a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (2.17) соответственно принимает вид |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6 = 1 ,2 , ...) . |
|
|
|
|
Значительно упрощается и вид матриц |
MSD№~^ (S |
Ф |
|||||||||
Ф о), фигурирующих в формулах (2.16): |
|
|
|
|
|||||||
м Л |
к~ 1] = - |
5 |
Qlko~i]M a |
|
+ |
|
|
|
|
||
|
|
+ M S dK |
+ |
|
|
(Л— 1,2, |
|
)• |
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. Условие сохранения нормы решений уравнений |
|
|
|
||||||||
при |
замене переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скалярное произведение векторов at и |
(столбцовых |
||||||||||
матриц) определим |
равенством |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(^i> #2) = |
а.2 |
cii, |
|
|
|
|
|
где а* — вектор, эрмитово сопряженный вектору а. |
|
|
|||||||||
Пусть уг и у%— какие-нибудь ^-мерные векторы, а |
|
||||||||||
|
|
|
Xi = K„yt |
(i — 1,2). |
|
|
|
|
|||
Предположим, |
что |
|
{Уit У2)' |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(■^1» ^2) == |
|
|
(5.1) |
||||
Подставим значения xt |
в (5.1). Получим |
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
{КаУъ КоУд = (t/i, &)■ |
|
|
(5.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(КаКо ylt уг) = |
(й, г/2). |
|
|
(5.3) |
|||
|
Так как |
|/3 — произвольный |
6,,-мерный |
вектор, |
то |
из |
|||||
(5.3) следует, что |
КоКа = |
Е„а. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
|||||
И |
обратно, |
если |
имеет |
место равенство |
(5.4), |
то |
тогда |
||||
для любых двух &а-мерных векторов уг и уг имеет место ра венство (5.3), а значит, (5.2) и, наконец, (5.1).
Таким образом, равенство (5.4) является необходимым и достаточным условием выполнения равенства (5.1).
Из (5.4) имеем |
|
(Ко + Ж ]' + е2^ 21' + •••)№ + Ж 1+е2/СУ+ |
) = |
= £ V Отсюда видно, что (5.4) будет выполняться тождественно относительно е, если
|
KaKa = Eka, |
|
|
/С Ф + Ф ’К о= о, |
(5.5) |
К Ж + |
+ № к * = о, |
|
Равенство
K'aKo = E k<J |
(5.6) |
может быть обеспечено всегда (это будет показано ниже, в конце настоящего параграфа).
Второе равенство (5.5) с учетом (5.6) можно представить так:
2 K ’„K s<& + Q™ + |
2 QW K IKC+ <$,’• = о. |
S = 1 |
S = 1 |
s= fc< s |
|
Отсюда имеем |
|
Ф + Ф ' = - 2 (КаКФ + <Ф’К1Ко).
s=1
Учитывая, что в правой части последнего равенства сто ит эрмитова матрица, можно принять, например,
Ф = — *- 2 ( « X Q W + Я^’КЖ).
гS = 1
Аналогично этому, так как (k + 1)-е равенство (5.5) можно представить в виде
oSS + QStf-—
=— 2 (К'оК,Ф + < й’* к Х ) - |
2 (йР 'К 'кф -*1, |
s=l |
а=1 |
можно принять
QaV = -----i - { J j (tfX Q K 1 + <2Й]ЧОС«) +
sgbc
ft-1
+ 2 Q ^V /C Q j,*-® 1
а=1
Очевидно, что таким образом определенные матрицы QoS (k = 1, 2,...) являются эрмитово сопряженными.
З а м е ч а н и е . Существуют, конечно, матрицы Qa$, обеспечивающие выполнение равенств (5.5) и имеющие бо лее общий вид, например матрицы
QTO = — 'г ГJ l ( К Ж Ф + & к \К о ) +
ЬфО |
|
|
+ * 2 |
+ slk] |
( 4 = 1 ,2 , ...), |
а=1 |
|
|
где S а 5 — произвольная |
квадратная матрица порядка ks, |
|
обладающая свойством |
|
|
S ^ + 5 ^ ]* = 0.
Остается показать, что выбор матрицы Ко всегда может быть подчинен условию (5.6).
Общий вид субматриц матрицы /С, преобразующей квад ратную матрицу Uк квазидиагональному виду, соответствую щему принятому способу разбиения собственных значений матрицы U на непересекающиеся группы, представляется равенством
К о ! = К а К о (0Г = = 1» » р )г ( 5 . 7 )
где Ко — матрица типа п X ka ранга ka — субматрица некоторой матрицы, преобразующей матрицу U к квази диагональному виду при принятом способе разбиения ее собственных значений на группы, Na — произвольная не вырожденная квадратная матрица порядка k<s.
Пусть
Ko=(k\a) С ) ,
Имея в виду, что Ка состоит из линейно независимых столбцов, построим сначала вспомогательную матрицу
|
|
|
к 0а= |
( С |
|
|
|
столбцы |
которой |
удовлетворяют |
условиям |
||||
Положим |
|
|
С Ч $ ’ = 0 |
(i ф j). |
(5.8) |
||
|
k\т, |
|
|
|
|
||
с |
= |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(5.9) |
< |
= |
с |
+ |
|
+ |
+ vlS -ujC - |
|
Коэффициенты vSf |
определим из условий |
(5.8): |
|||||
(О, _ |
ь«ч*ь° |
|
|
|
|
|
|
% |
К1 |
|
(l — 1, . . . уka |
l ’i / — 2, • • - , |
|||
уц = ----------— |
|
||||||
|
1 ^ 1 2 |
|
|
|
|
|
|
Равенства (5.9) можно представить в следующем виде: |
|||||||
где |
|
|
Коа= |
Ко + |
^Coff'Vo, |
(5.10) |
|
|
|
0 |
.ДО) |
.ДО) |
.,<о) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V12 |
VJ3 |
Vlfto |
||
|
|
|
0 |
0 |
„(«*> |
*4*0 |
|
|
|
V<j= |
V23 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Из (5.10) получаем
Кйа== Ка (Eka— Va)—1
Пусть
“ 1
|*й’1Vl
о
Та г=
о
*{2а.11_
Тогда, как легко проверить, матрица
Кк = !С(Еьа- ъ Г ' т° |
(5.П) |
удовлетворяет условию (5.6). Сравнивая (5.7) с равенством (5.11), получим искомую матрицу
Nc=(Eka— v<j) Т0.
§ 6. Случай полного расщепления системы
Если все собственные значения матрицы V в рассматри ваемом промежутке [0, L] остаются простыми, то система (2.1) может быть расщеплена на п линейных дифференциаль ных уравнений первого порядка
—- jj— = Ло^ст M a R f |
{О = 1, |
, Л). |
(6.1) |
Учитывая, что при этом первый член разложения А0 в точности равен соответствующему собственному значению матрицы U (А0 == Яа), a Qsa (s = 1, ..., п) уже не матрицы, а числовые функции, будем иметь
----- М Д * - '1 |
(s Ф a; |
k = 1,2, |
...), |
Л5,4 = — «МД * - " |
|
(<т— 1, |
п), |
Д ‘] = |
Р |
+ KcQlJ3, |
|
Дальнейшее интегрирование расщепленных уравнений (6.1) не представляет труда.
§ 7. Система уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим векторное уравнение
A-% - = Bx + f(t),
где А и В — постоянные матрицы, причем А — невырожден ная матрица. Согласно вышеизложенному решение этого
уравнения представляется равенствами
|
|
|
|
|
х= ^К о У * , |
|
|
(7.1) |
||
|
|
|
|
|
<Г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
ЛаУ«+ |
/ЙП~7 |
(0= 1.......... р). |
(7.2) |
||||
|
Так как в данном случае U = |
А~1В — постоянная мат |
||||||||
рица, то |
/ ( с |
Л а, |
Ма |
(о = |
1, |
р) — также постоянные |
||||
матрицы. |
Учитывая это, из (2.16) последовательно при k = |
|||||||||
= |
1, 2, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
QK1 — 0 |
(s=£o; k = 1 ,2 , ... ) , |
|
||||||
так |
как dl^S- = 0. |
Полагая |
и |
= |
0 |
(а = 1, ...» р\ |
k — |
|||
|
|
dx |
|
иметь |
|
|
|
|
|
|
= 1, 2,...), будем |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
л!,81=о, |
к [ к ]= о, |
|
|
= о |
|
||
|
|
|
(<j-- |
1 у • • • 9 р\ k — ^ |
2, |
*• •)• |
|
|||
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лд = Ag, |
К .О = |
/Caf |
Afg = |
Л1д. |
|
|||
Поэтому равенства |
(7.1) и (7.2) принимают вид |
|
||||||||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X= ^ К0У01 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ЛяУо + |
М П - 1/ |
( 0 = 1 .......... р). |
(7.3) |
||||
|
Решая |
(7.3), находим |
|
|
|
|
|
|||
|
|
у„= ел°'с0 + { ел° (,~nMaA ^ f (Г)dt\ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
где с0 — матрица-столбец произвольных постоянных. |
|
|||||||||
|
В соответствии с этим |
|
|
|
|
|
||||
|
* = |
2 |
|
+ |
f 2 K veA° v- n M ,A-'f(t’)dt'. |
|
||||
|
|
0=1 |
|
|
J ст=| |
|
|
|
|
|
Преобразуем последнее выражение. Полагая
Qo=MaX (0)
и учитывая, что
2 К„еА°‘Ма= екш‘ = еи\
<7=1
получим
* = ешх(0) + j еи ('“''М_ 7 (?) df,
о
что представляет собой известное выражение для общего ре шения системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Таким образом, в случае системы линейных дифферен циальных уравнений с постоянными коэффициентами при менение метода, изложенного выше, приводит к известным результатам классической теории линейных дифференци альных уравнений.
§8. Расщепление сопряженной системы
Вусловиях теоремы 2.1 формальное решение системы дифференциальных уравнений, представленной в виде
|
|
-^r = U(%)x+h(t, т, е), |
(8.1) |
|
определяется |
равенствами |
|
|
|
|
|
^Ко(т;,е)Уо, |
|
(8.2) |
|
|
<7=1 |
|
|
d y a |
~ |
— |
(a = l, |
р). |
—^ - = \ 0 (t,e)y„ + Ma(T,e)h(t,%,e) |
||||
|
|
Л» |
#= |
(8.3) |
|
|
|
||
Члены формальных разложений Ко и Аст удовлетворяют равенствам (2.11), где для рассматриваемого уравнения (8.1)
Do*-11 (т) = 2 |
К$з~П<т) Л<й (т) + |
(Т) . (8.4) |
Можно показать, |
что формальное решение |
уравнения |
|
-%- = — и *№г> |
(8.5) |
сопряженного однородному уравнению (8.1), может быть представлено равенствами
р |
(8.6) |
z*= 2 M0(T, е) у<ь |
|
а=] |
|
dva |
(8.7) |
dt = —Ла(т, е)1»а, |
где М0 иЛо — матрицы, фигурирующие в формулах (8.3). Прежде всего, применяя метод, использованный в § 2, построим рекуррентные соотношения для членов формаль
ных рядов
М'а(т, е) = 2 е4М р] (т), |
со |
А; (т, е) = 2 в*Л£ч ‘ (т). (8.8) |
|
ft= 0 |
ft= 0 |
Для этого подставим (8.6) в (8.5), принимая во внимание равенства (8.7) и (8.8), и отделим в полученном таким обра зом тождестве коэффициенты при va, пропорциональные eft (k = 0, 1, 2 ,...). Получим
U*MlaV =
U*MlP " = ЛДО'Л?1, + мР^ЛР1*— |
dx |
dM^' |
|||
и*мР‘ = м 1Р '№ ‘ + м Р 'л р - + л4У]*л 4п- - |
|||||
dx |
|||||
|
|
|
|
||
Переходя к сопряженным выражениям, имеем |
|
||||
ж Р1У = Л Р ,/ИР1, |
|
1 |
|
||
мри = |
л Р ’/иР’ + |
лРмР - |
й * - '1 |
<8-9> |
|
№ = 1 . 2 . |
.), |
|
i |
|
|
где |
ft—1 |
|
—Ч |
|
|
|
|
|
|||
DP-11------ S A |
' W 1 + |
°t |
.(8.10) |
||
|
а=1 |
|
|
|
|
Имея в виду, что
и=^ 2 /СаЛаМ0=/СЛМ , о=1
положим
МР1= УИа, л Р 1 = л ,.
При этом первое равенство (8.9) удовлетворяется тож
дественно. Допустим, |
что мГО Ag4; М\}\ |
Л^,]; . . . ; |
|
||||
Л ^ _1] уже найдены. Определим м ф и л ^ ] |
|
|
|||||
Умножим (k + |
1)-е равенство (8.9) справа на К и введем |
||||||
обозначение |
|
<ЙЧ = — м\?'к. |
|
|
|
||
Получим |
_ |
|
|
|
(8.11) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Qlat]A - |
AaQlaki — л\,к]м ак |
+ Dlk- ']K. |
(8.12) |
|||
Матрицу Qo , состоящую из kc |
строк и я |
столбцов, |
|||||
представим в виде следующей блочной матрицы: |
|
||||||
|
Й ‘] = (Qtf1 |
Й*А |
|
|
|
||
где Qcrs1 = |
—AtIf1Ks — субматрица типа |
ka x |
ks. |
|
|||
При этом равенство (8.12) распадается на р независимых |
|||||||
матричных |
равенств |
|
|
|
|
|
|
|
QaaАо= |
ЛоЙа1 — Л<Ц + |
б^Ка, |
|
(8.13) |
||
|
Й*A s = |
A oQ ^ 4 - Оа* IJK, |
(s^ n ). |
(8.14) |
|||
Из |
(8.13) находим |
|
|
|
|
|
Л ? 1 = - Й ‘]Ла + |
А Ж } + Й ‘_,]к 0; |
|
||
здесь |
Qaa — произвольная, |
нужное |
число раз дифферен- |
||
цируемая квадратная матрица порядка ka. |
|
||||
Равенства (8.14) однозначно определяют остальные суб |
|||||
матрицы матрицы Qlo]. |
|
|
|
|
|
Определив с помощью равенств |
(8.14) |
субматрицы |
|
||
(рФ а) и задавшись произвольной |
матрицей Q^l, мы |
бу |
|||
дем иметь матрицу Q?3» после чего легко |
вычислить |
М |
|||
по формуле (см. (8.11)) |
|
|
|
|
|
Mlak]= — Qlak}M.
Полученные соотношения позволяют последовательно определить члены формальных рядов (8.8), посредством кото рых представляется решение уравнения (8.5).
Теперь покажем, что с точностью до произвольных мат риц QSS члены рядов (8.8) совпадают с членами рядов Ма
и Аа, фигурирующих в формулах (8.3).