книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Равенства (6.7) можно представить в виде

А% = %(Х0ЕР + Нр),

где

Щр — матрица сдвига порядка р).

Таким образом, оператору А в / 0 в базисе (6.6) отвечает матрица Х0ЕР+ Нр. Линейно независимые векторы elt

...» ер, для которых имеют место равенства (6.7), образуют так называемую жорданову цепочку. Из жордановых цепо­

Матрицы Л и У, отвечающие одному и тому же линейно­ му оператору А в разных базисах, связаны друг с другом соотношением подобия:

А = TJT~\

Если в полном расщеплении пространства на цикличе­ ские подпространства минимальные многочлены всех этих подпространств линейны, то жорданова форма является диа­ гональной матрицей, и в этом случае имеем

А = Т diag (Л»1г Х,а> . . . , Xs) Т *.

Таким образом, линейный оператор А имеет простую структуру тогда и только тогда когда, пространство R рас­ щепляется на инвариантные подпространства с линейными минимальными многочленами.

З а м е ч а н и е . Из подобия матрицы Л, соответствую­ щей жордановой матрице J, следует, что

det А — Х{‘ . . . A.J*.

§ 7. Инвариантные многочлены. Единственность нормальных форм линейного оператора

Через Dp (X) обозначим наибольший общий делитель всех миноров р-го порядка характеристической матрицы

каждый многочлен делится на последующий без остатка. Действительно, минор /-го порядка можно разложить по элементам какой-либо строки. Каждое слагаемое этого раз­ ложения есть с некоторым множителем минор (/ — 1)-го порядка и потому делится без остатка на Dj-\ (X). Следова­ тельно, любой минор /-го порядка, а значит и D/ (Я), делится

миноров k-го порядка матрицы ХЕ — А, где А — матрица оператора в каком-нибудь базисе, не зависит от выбора базиса.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А и А — две матрицы оператора А в разных базисах. Соответствующие характе­ ристические матрицы связаны друг с другом соотношением

ХЕ— А = Т~1(ХЕ — А) Т.

Покажем сначала, что общие наибольшие делители мат­ риц ХЕ — А и С (ХЕ — А)у где С — произвольная невы­ рожденная матрица, совпадают. Пусть С = (ctj)t А = (ац). Тогда 1-я строка матрицы С (ХЕ — А) имеет вид

т. е. является линейной комбинацией строк матрицы ХЕ — А с независящими от X коэффициентами cilt с[2, ..., с1п. Поэто­ му минор матрицы С (ХЕ — А) разлагается на сумму мино­ ров матрицы ХЕ — А с некоторыми не зависящими от X коэффициентами. Следовательно, всякий делитель миноров

делитель миноров k-ro порядка матрицы С {ХЕ — А) явля­

ется делителем миноров k-ro порядка матрицы С-1 [С (КЕ —

— А)] = ХЕ— А. Это означает, что у матриц ХЕ — А и С {ХЕ — А) общие делители миноров k-ro порядка {k = = 1, 2, п) совпадают.

Аналогичным образом устанавливается, что у матриц ХЕ — А и {ХЕ — A) Ct где С — произвольная невырожден­ ная матрица, общие делители миноров k-ro порядка совпа­ дают.

Применяя полученный результат к матрицам ХЕ — А и

иобщие наибольшие делители) миноров k-ro порядка {k =

—1, 2, ..., п) совпадают. Теорема доказана.

Итак, Dk {X) {k = 1, 2, п) являются инвариантами линейного оператора и не зависят от выбора базиса в R. Разделив каждый член ряда (7.1) на последующий, получим

Многочлены ip (X) (р — 1, 2, ..., п) называются инва­ риантными многочленами. Произведение всех инвариантных многочленов равно характеристическому многочлену:

Д(Х) = | Х £ _ Л | = Д ,(Х )= Ш ,(Ч -

элементарными делителями характеристической матрицы ХЕ — А или просто матрицы А .

Рассмотрим теперь минор элемента, принадлежащего од­

является общим наибольшим делителем миноров (п — 1)-го порядка, отвечающих элементам матрицы ЯЕт. — Ац.

падают с отличными от единицы инвариантными многочле­ нами оператора А, а отличные от единицы многочлены

Отсюда следует единственность (с точностью до порядка расположения диагональных блоков) как первой и второй естественных нормальных форм, так и нормальной жор-

рядка расположения диагональных блоков однозначно опре­ деляют все эти нормальные формы.

З а м е ч а н и е . Выше мы видели, что две подобные мат­ рицы имеют одни и те же инвариантные многочлены. Но тог­ да эти матрицы подобны одной и той же нормальной (на­ пример, жордановой) матрице и потому подобны друг другу. Таким образом, справедлива следующая

Т е о р е м а 7.2. Для того чтобы две матрицы с эле­ ментами из поля di были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они обладали одними и теми оке инвариантными многочленами.

и, принимая во внимание (1 .2), приходим к следующей тео­ реме.

/- 1

Здесь у,-— кратность Я/ как корня / (X).

§ 2. Теорема Гамильтона — Кэли

Пусть Д (Я) — характеристический многочлен матрицы А порядка п. Кратность v;- корня Я/ характеристического многочлена не меньше, чем степень любого элементарного

делителя матрицы А вида (Я — Я/)г/. Учитывая это, соглас­ но (1.7) будем иметь

= 2 г,. /=i

Но сумма степеней элементарных делителей квадратной матрицы порядка п равна п. Поэтому d = п, а это означает, что А (Л) — нулевая матрица, т. е.

Д (Л) = 0.