книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

так. Суммой векторов х и у считается вектор, построенный (при неколлинеарных х и у) по правилу параллелограм­ ма (рис. 2.1).

Произведение вектора х на действительное число Я есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор х , если Я > 0 , и в обратную,— если Я < 0, и имеющий длину, равную длине вектора дс, умноженной на модуль числа Я.

Легко проверить, что введенные таким путем операции сложения и умножения на число удовлетворяют постулатам

л*

1)—7), и, значит, множество всех направленных отрезков есть линейное пространство.

2. Множество всех многочленов, степень которых не превышает натурального числа я, с операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число, определен­ ными обычным способом, есть линейное пространство.

Множество же всех многочленов степени я уже не обра­ зует линейного пространства, так как, например, степень суммы двух многочленов может и не равняться я. Так,

(tn + 2t + 3) + (— in 4-1) = 2t -f 4.

3. Рассмотрим множество векторов, представленных в виде упорядоченных систем я чисел из поля di. Пусть, на­ пример, х = (jq, х2, хп). Операции сложения векторов и умножения вектора на число определим так:

Поэтому рассматриваемое множество образует линейное

пространство.

Линейное пространство, в котором векторами служат упорядоченные системы чисел, называют численным прост­ ранством.

§ 2 . Линейная зависимость векторов

Пусть R — линейное пространство, a x t, лг2, ...,лгп, ...— векторы в нем.

Векторы x lt x 2t ...» х к называются линейно зависимыми

над полем£?£, если в этом поле существуют такие числа a lt

зависимых векторов, то и сама система линейно зависима.

в то время как среди коэффициентов alf <х2, ..., ak имеется не равный нулю коэффициент. Но тогда справедливо и такое равенство:

а это означает линейную зависимость векторов х ъ х 2, ...,х х. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима, ибо подсистема, состоящая из одного

только нулевого вектора, линейно зависима. Л е м м а 2.2. Если векторы

* 1 »* 2» • • • » * 1

линейного пространства R линейно независимы и каждый из них является линейной комбинацией векторов

§ 3. Размерность и базис векторного пространства

Наибольшее число линейно независимых векторов в ли­ нейном пространстве R характеризует размерность (число измерений) этого пространства. Линейное пространство R называется п-мерным, если в R существует п линейно не­ зависимых векторов и нет большего числа линейно незави­ симых векторов.

Линейное пространство, в котором можно найти любое число линейно независимых векторов, называется бесконеч­ номерным.

Система из п линейно независимых векторов^, е2, .... еп «-мерного пространства R называется базисом в R.

Любой вектор х из «-мерного пространства R можно представить как линейную комбинацию векторов базиса. В самом деле, поскольку векторы*, е%, ...» еп линейно зави­ симы (их число равно « + 1 ), то существуют числа а 0, a lt...

В данном случае коэффициент сс0 не может равняться нулю, так как при этом равенство (3.1) означало бы линей­ ную зависимость векторов базиса. Поэтому из (3.1) находим

данием вектора * и базиса ех, е2, ..., еп.

Предположим, что имеется еще одно разложение векто­

Рассматриваемое пространство является бесконечномер­ ным. Базисом этого пространства может служить, например, система векторов (3.5).

Пусть elt в2, ...» вп— базис в JR, а х — вектор из R с ко­ ординатами xlt х2, ..., хп в этом базисе. Составим из базис­

Эти равенства можно представить в матричной записи:

(xz — столбцовая матрица, составленная из координат век­ тора х в базисе Их). Отсюда следует, что

Формула (3.8) определяет преобразование координат век­ тора при переходе от одного базиса к другому.

5 4]

§ 4. Изоморфизм /1-мерных пространств

Линейные пространства R и Rxназываются изоморфными, если между векторами х пространства R и векторами х' пространства /?, можно установить взаимно однозначное соответствие х++х' так, что если х*-*х\ у <-*у', то

обратно. Значит, если R и Rt изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в этих пространствах одно и то же, т. е. изоморфные линейные пространства имеют одну и ту же размерность.

Более того, все пространства одной и той же размерности над одним и -тем же числовым полем % изоморфны друг дру­ гу. В самом деле, пусть R и R±— л-мерные пространства

из Rv Это соответствие взаимно однозначно. Если векторам л: и у из R соответствуют векторы х ' и у ' из /?а, то из уста­ новленного правила соответствия сразу следует, что вектору х + у €/? соответствует вектор х ' -{- у ' €RV

Итак, все линейные пространства одной и той же раз­ мерности изоморфны между собой. Единственной су­ щественной характеристикой конечномерного пространства является его размерность. Все л-мерные пространства с точностью до изоморфизма совпадают с одним и тем же я-мерным численным пространством.

Эго важное обстоятельство позволяет свести изучение различных линейных пространств к изучению одного, на­ пример численного, пространства.

§ 5. Подпространства векторного пространства

Совокупность векторов из R, образующих линейное про­ странство относительно уже введенных в R операций сложе­ ния и умножения на число, называется подпространством R1 пространства R.

Другими словами Rx cz R образует подпространство ли­

Пр и м е р ы .

1.В трехмерном пространстве R совокупность Rx век­ торов, лежащих на прямой, проходящей через начало ко­ ординат, образует одномерное подпространство.

2.Нулевой элемент пространства R образует подпро­ странство (нулевое подпространство). Подпространством яв­

ляется и все пространство R.

Рассмотрим совокупность векторов я-мерного вектор­ ного пространства /?, представляющую все линейные комби­ нации над полем ОС т фиксированных векторов из /?,т . е. совокупность векторов вида

х = axx x+ OL2X Z + + атх т,

где х 1%х 2, ...»х т € /?, а а 1э а 2,..., ат— произвольные числа из ОС.

х 1$ x 2i .... х т. Подпространство /?х, порожденное линейно независимыми векторами е 1г е 2, ..., ek, ft-мерное, и век­ торы е1у е ЪУ..., ек образуют в нем базис. В самом деле, в R x имеется система ft линейно независимых векторов (таковой

Если векторы х х, х 2, ..., х х £ R x линейно независимы, то, согласно лемме 2.2, / С ft. Значит, в подпространстве R x максимальное число линейно независимых векторов равно ft, т. е. /?! ft-мерно. Система ft линейно независимых векторов ех, 0г. может рассматриваться как базис подпространст­ ва/?!.

§ 6 . Линейные операторы в векторных пространствах

Рассмотрим два векторных пространства над числовым

Векторы А ех,А е %>..., Ле„ принадлежат пространству S , поэтому их можно представить через базисные векторы

векторов g lt g 2t...»g m. Поэтому из (6.7) вытекает равенство

базисах в R и S отвечает некоторая матрица Л, которая яв­ ляется матрицей линейного преобразования координат исход­ ного векторах в координаты преобразованного вектора 3/ = = А х . И обратно,/пхл-матрица А при выбранных базисах g и $ соответственно в /г-мерном пространстве R и т-мер- ном пространстве S представляет некоторый оператор Л , который каждому вектору х = %х £ R относит некоторый