книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfУстановим сначала справедливость равенств
Мвк11) + Л$% = о,
МаК?1+ |
+ M$lKs= |
0, |
|||
л и с !4 + M L'/CA |
' 1+ |
+ |
= |
о (зф а), |
|
Имеем (см. (2.12), (8.4) н (8.9), (8.10)) |
|
(8.15) |
|||
|
|
||||
£/*, = |
* А . |
|
|
(8.16) |
|
UK™ = |
/С'1А + |
+ |
|
||
d-§s- , |
|||||
MJJ = А„Ма, |
|
т. |
(8.17) |
||
MlJ]U= Аам['] + А!Рма — |
|||||
|
|||||
|
|
|
dx |
|
|
Равенства (8.16) умножим слева соответственно на М^1 и Ма (о ф s) и сложим друг с другом. Получим
1^ЮК + М^иК}'л = (М^К, + |
МаК\^) As + |
|
Мо -^г- (8.18) |
||||
Аналогично, |
умножая (8.17) |
справа на /(S13 и /С5 (S =^<J) |
|||||
и складывая, будем иметь - |
|
|
dM, |
||||
M J J K [ n + Л $ Ю |
к , = |
А а ( М а К [ " + ML11/Q |
- |
||||
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
(8.19) |
|
Вычитая из равенства (8.18) равенство (8.19) и учитывая, |
|||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
м „ - ^ - + |
dx |
* 's |
dx |
|
|
||
dx |
1 |
|
|
||||
получим
+ MaKl,l,)As= Л„(ЛиС![1) + M 'A ) .
Отсюда, так как Aa и As не имеют общих собственных значений, получаем
м№% + М„к\п = 0.
*) Пока не установлено равенство соответственных членов разложе-
л/
ний Л0 в формулах (8.3) и (8.7), для удобства во втором случае вмес то Л[^ будем писать л '4'.
Тем самым доказано первое из |
равенств (8.15). |
|
||||||
. Допустим, что уже доказаны первые |
k — |
1 |
равенств |
|||||
(8.15). Установим справедливость k-то равенства. |
|
|||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
U KS — K SAS, |
|
|
|
|
|
|
|
|
V K .P = К Р л , + к Л П + |
|
. |
|
|
|
|||
и к Р = |
|
+ я 5л к' 21Р+л Р + |
|
. |
|
|||
и к Р = K P A S + к ,а Р |
+ |
+ |
/сР -пл™ + |
- |
sdx . |
|||
Умножая |
эти |
равенства |
соответственно |
на |
М . 1, |
|||
Ма~'11........М„ и складывая, получим |
|
|
|
|||||
M PUKS+ |
+ |
MaU K P = (М рК , + |
+ М<гК|ч ) Л .+ |
|||||
+ ( М * |
|
+ |
+ М „ К \ к ~ '^ ) л Р Ч |
|
|
|||
|
|
+ (M pK s + М Л Р ) л '* - '1 + |
|
|
||||
+ Ма/С5Л'4+ (м У |
|
+ |
+ М „ |
**£ 11) . (8.20) |
||||
Аналогичным |
приемом |
из системы |
|
|
|
|||
MJJ = АаМа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
MpU = А ,М р + К Р М о - ^ - , |
|
|
|
|||||
м Р и = Аам Р + 72р Мв + H 'W P _ ^ |
, |
|
|
|||||
M P U = Л„м^] + А а1 }Ма + |
|
+ А Р м 1в~и — |
dx |
|||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M JJKP+_ |
+ M PU K t = Aa(MaKlP + |
+ м Р К .) + |
||||||
+ ДЧ (УИ^^-Ч + |
|
+ M li~ nK s) + |
|
|
||||
+ ЛУ~Ч (Д1оЛ:0) + МР К,) +
+ Д ‘,м„*с, - |
dM |
I |
|
< ^ г п к |
|
(8.21) |
_1 |
И- |
- ) |
||||
|
dx A s |
+ |
dx |
|
||
|
|
|
Приравняем правые части равенств (8,20) и (8.21), учтя при этом, что по предположению первые к — 1 равенств (8.15) справедливы и что
+ л * „ ^ + ^ к р - ' Ч
• • • + |
|
- |
|
(м $ -пК' + |
+ |
л и й " - " ) = о |
||
|
|
|
|
|
|
|
(s^a). |
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
(МЛ1к] + |
+ М |
‘1/С!)Л !=Л«, |
|
+ M L4 Ks). |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м як 'ч + |
|
|
о. |
|
|
|
Тем самым по индукции |
установлена |
справедливость |
ра |
|||||
венств (8.15) при любом к. |
|
|
|
|
||||
Так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
МаК,-- 2 |
e*Mi4 2 |
е‘/С[ч = |
|
|
|
|
||
|
/г=0 |
й=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= M „K S + в (М<л'п + л 4 % ) + |
|
|||||
|
|
+ |
ег (/ИЖР |
+ M W ,'1 + |
/И»’К.) + |
•••, |
||
то на основании (8.15) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
MaKs= 0 |
(эфа). |
(8.22) |
||||
В силу имеющегося произвола в выборе Qo$ и Qoo (к = |
||||||||
= 1, 2, |
а = 1, 2, |
р), равенства |
(8.15), вообще гово |
|||||
ря, при s = |
а не имеют места. Но если принять |
|
||||||
® Э - в й .
5 $ = |
о $ |
+ м 1 Ч Р + м™ к"\ |
} (8-23) |
|
Ш )= |
о $ |
+ M V'Iс ? - 11 + |
+ * £ - ' № . ) |
|
то эти равенства будут выполняться и при s = о.
Действительно, |
|
|
МаК1^ + М У '/С ?-'1+ |
+ |
= |
= м „ к ф ] + |
+ |
+ A^ - ' W — Ш 'м к а= |
Если Qoa определены согласно (8.23), то, как легко проверить, будем иметь
МоКв = Ена |
(от = 1 |
, 2 ........... р). |
(8.24) |
||
Объединяя |
соотношения |
(8.22) |
и (8.24), |
получим |
|
|
МК = Еп. |
|
(8.25) |
||
Обозначим |
|
|
|
/ $[fcl\ |
|
Qw = |
(QV] <й ч |
<21л |
Г 1= |
( ^ |
] |
W 1/
Тогда, очевидно,
к}181 = KQlk\ Mw — QWM.
Согласно (8.25) имеем
МК = Еп,
м /с 1'1 + м т д -= о,
МКт + /И[П/С[‘-11 + |
+ Мт К = |
0. |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
Q f J _ Q [ i ] = |
0, |
|
|
Q [ 2 ] _ Q ['1Q [1) _ |
Q[2]= ;0 , |
|
||
QP] _ Q [1]Q [2] _ |
Q PJQ CU _ |
Q£31 = |
()_ |
(8.26) |
|
|
|
|
|
QW _ |
_ |
Q C*I _ |
0, |
|
§ 8] |
|
|
|
|
|
|
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
Q[2]= |
Q[2I_Q[l]Qt|]> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.27) |
Q t*l = |
Q ™ _ |
Q [ 4 Q (‘ - 4 |
_ |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
Имеют место |
следующие соотношения: |
|
|
|||
|
|
Q W Q W = |
Q W Q V \ |
|
|
|
Q[I]Q[2] + |
QPIQII] _ |
Q[i]gm + Qi4gc4 |
|
|
||
Q [1]Q [3] + Q [2]Q [2] + |
Q [3]Q [1] = |
Q [.]Q [3] _j_ Ql2]Q [2] |
+ |
Q [3]Q C1] |
||
Равенство |
|
|
|
|
|
(8.28) |
|
< P Q [4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
очевидно в силу первого равенства (8.27). |
справа на |
|||||
Из первого равенства (8.27), |
умноженного |
|||||
Q£2J, вычтем |
второе |
равенство, умноженное слева |
на ОП]. |
|||
Получим |
|
-Ql4Q[2l = |
Q W Q W Q V \ |
|
(8.29) |
|
|
|
|
||||
Из первого равенства (8.27), умноженного слева на QW,
вычтем второе, умноженное справа на QW. Получим |
|
_ Q[21Q[1] = Q [4Q [I]Q [1] |
(8.30) |
Сравнивая левые части равенств (8.29) и (8.30), получим второе равенство (8.28).
Первые три равенства (8.27) умножим справа соответ ственно на Q[3], Q™, Q[,] и сложим. Получим
Q [ 4 Q [3] + |
Q [2]Q [2] + |
Q[3]Q[1] ^ Q t l l Q t S ] + |
Q M Q M |
+ Q[3]Q [ « 1 _ |
|||
|
_ |
Q [1]Q [,]Q [2] - |
gniQMQdi _ |
QC23QmQcn |
(8 31) |
||
Умножая эти же равенства слева |
на |
Q ^, |
и |
||||
складывая, |
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
Q tl]Q [3] + |
Q[2]Q T2] + |
Q [3]Q tI] в Q[1]Q[3] + |
Q[2]Q [2] + Q [3]Q [ U _ |
||||
|
- |
Ql4Qd]Q[2I _ |
QC1]Q[*1QCU _ |
Q [2]Q [I]Q [U |
(8<32) |
||
Вычитая из (8.31) равенство (8.32), получим
( Q tl ]Q[3] + |
Q M Q [2] + |
Q P IQ W J _ |
(Q dlQ U n + Q M Q TO + |
|
+ |
Q ^Q [1]) = QdigdlQtai + |
Qd]Q[2]Q[i] + |
||
+ Q m Q [1]Q [l] _ |
Q W Q M Q W |
_ |
- Q [2]Qm Qfl3 |
|
Правая часть последнего соотношения равна нулю. Дей ствительно, используя первые два уже доказанных соотно шения (8.28), будем иметь
Q [i]Q [l]Q [21 |
+ |
0 [l]Q [4 Q [l] _|_ Q P ^ l l Q l l ] _ Q [ 4 Q [1]Q P1 _ |
|
_ |
Qt,3Q[2]g[l] _ QmQri]Qm = |
Qn]Q[l]Q[2] + |
|
+ (Q [1]Q [2] |
4 - Qt2]Q [1]) Q tIJ |
- Q tl3C?t21Q f13- |
|
Учитывая это, получаем третье равенство (8.28):
Q t4Q [3] + Q W Q [2] + Qt3]Q [l] = Q m^C3] + Q[2]g[2] + Q [3 ^ . J #
Этим же способом последовательно можно доказать и последующие равенства (8.28).
В силу равенств (8.28) вместо (8.26) можем записать
|
|
< ? 4 |
_ y j e |
o f |
|
Q [2l _ Q n ] Q [ lJ _ Q [ 2 ] = = 0 ) |
|||
Q P I _ |
Q in g w |
_ QPJQt13 _ |
Q P J = |
o, |
Q [A1 _ Q CHQ CA-1] _ |
_ |
Q [ * - I ?Q E11 _ |
QC*1 e 0 |
, |
По умножении справа на M t а слева на /С эти соотноше ния предстают в форме, отвечающей равенству (2.20), что доказывает равенство соответствующих членов разло-
жения матриц Ма> фигурирующих в |
формулах |
(8.3) и |
|
(8.6). |
доказать равенство соответственных |
членов |
|
Остается |
|||
разложения |
матриц Аа, фигурирующих |
в формулах (8,3) |
|
и (8.7). |
|
|
|
Имеем
UК.a==s 7CaA(j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и к Р = Й 11л„ + |
К„лУ1 + |
, |
|
|
|
|
||
У/С?1 — /d 21A„ + |
/СоЛЬ21 + |
А'^Л'Ч + |
« 4 |] |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
UKP = |
+ |
К«,л[,4 + |
+ К ^ Л У 1+ |
^4 * -■ . |
||||
Умножим слева первое |
равенство |
на Л1?1, |
второе — |
|||||
на м Г " |
И т. д. и сложим полученные результаты. Будем |
|||||||
иметь, считая, что §<S (k |
= 1,2, |
...) определены согласно |
||||||
равенствам |
(8.23), |
|
|
|
|
|
|
|
МУ'иКо + |
-|- MJJtfP = |
|
|
|
|
|
||
= |
|
■—]i dK« |
|
4 “ Ма |
|
|
. (8.33) |
|
A W + M '‘- ‘] |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножая справа равенства |
|
|
|
|
|
|||
MaU= АаМа, |
|
dM„ |
|
|
|
|
|
|
M J1U = A , M P + RP M <,- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
м ™ и = Л0л е + л \ р м , + |
Л'Ч-мУ1- |
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м ри= А„мр + Л«Л 10 + |
+ лУ'М *-11 - |
|
|
|
||||
соответственно на К*о\ /Са* |
13 , .... Ка, |
тем же путем |
полу |
|||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
м аШ (Р+ |
+ м р и к , = |
|
|
|
|
|
||
= л р - ( - ^ к ? - " + |
+ ^ |~ " |
|
Ка). |
(8.34) |
||||
Из (8.33) и (8.34) следует, что |
|
|
|
|
|
|||
Л ?1= |
л у — J - (м Ж ~ '] + |
|
|
|
|
|||
или, наконец, так как выражение, заключенное в круглые скобки, тождественно равно нулю,
лЬч = л 5 ,4 |
(ft = 1,2, ...). |
П р и м е р . Система, сопряженная однородной системе дифференциальных уравнений, рассмотренной в качестве примера в § 2, имеет вид
|
|
dz |
— — U*z, |
|
|
где |
|
dt |
|
|
|
~ t |
|
0 |
0 |
||
|
|
||||
U*= |
1 |
— * + "(Г 2f |
2 |
||
Р |
|||||
|
|||||
|
1 |
|
и |
1 |
|
|
|
Р |
|||
|
|
|
|
||
Согласно вышеизложенному решение этой системы пред ставляется так:
|
|
z = |
2 А& о = |
M*vf |
|
|||
где |
|
|
о—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
— Л ava |
|
(сг = |
1 ,2 ) |
|
|
или, что то же самое, |
|
|
|
|
|
|
||
|
dv |
= — Л*и |
|
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
t - |
О |
О |
||
|
|
|
|
i r |
||||
М* = ЛР = |
I |
|
— 1 |
1 2 |
|
|||
|
|
|
||||||
|
* ~ т |
- 1 |
1 |
t - |
y r |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
о |
о |
л*= |
t ___ L |
1 |
'3 + |
2 |
|
|
/8 + 2 |
о |
р |
^ |
t ( p |
- 1) |
t |
— /(/»— 1) |
|||
О
р
Для проверки подставим решение г в исходное уравне ние. Получим
dM*dt v — M*A*v — — U*M*v.
Вектор г действительно является решением уравнения, если имеет место тождество
dM* dt
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
dM* — M*A* = |
2 |
/0 |
|
0 |
O'\ |
|
|
|
<S |
|1 |
|
— 1 |
0 |
- |
|
|
|
dt |
1 \2 |
l |
|
— 1 |
o,/ |
|
|
|
|
~pj |
v |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
— 1 |
I |
2 ^ - |
|
>4 |
|
||
|
|
|
|
|||||
t — |
P |
|
|
|
" * ■ ) |
|
|
|
|
1 |
/ — |
1 |
|
|
|||
|
— 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
— _L + |
|
/3 + 2 |
|
t |
■ + 2 |
0 |
|
|
p |
T |
t(t*- 1) |
|
1 |
|
||
|
|
t(t* -1) |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
+ |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
dM*dt — M*A*= |
|
|
i - |
- * |
- H ' - |
i ) |
||
P
Далее находим |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
—и * м * = 1, |
1 |
- 2I t - ' ) |
|||
Р |
|||||
,__L |
р |
^ |
р 1 |
||
|
|
|
|
||
Р |
1 |
|
|
|
Р |
Как видим, написанное выше тождество действительно имеет место, и, значит, вектор г, представленный равенст вами
z — M*v% = — А*и,
является решением данной системы.
§ 9. Приближенное решение системы |
|
|
||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|||
К Г |
(т, е) = |
2 |
екК10к)(т), |
Л Г (х, е) = |
2 |
е Ч '4 (х), |
||
|
|
|
|
k=0 |
|
|
k=0 |
|
М Т (х, е) = |
т |
е*М[,1 (т), |
R1"" (X, е) = |
т |
в*/?* (х). |
|||
V |
2 |
|||||||
|
|
|
|
А=0 |
|
|
А=0 |
|
Приближенным решением системы (2.1) будем называть |
||||||||
вектор хт , определенный равенствами |
|
|
||||||
|
|
= |
2 Ко"1(X, 8) { Г , |
|
|
(9.1) |
||
j |
(т) |
|
а—1 |
|
|
|
|
|
|
ЛГ> (X, 8) уТ' + м Т |
(X, 8) Rlm) (X, е) f (t, X, е). (9.2) |
||||||
- ^ |
_ |
= |
||||||
Построенное приближенное решение допускает следую щие оценки (см. Приложение).
Если
х(0) = хт (0),
то существует такое Ej !> О, что для некоторых |
постоянных |
|
ст и е2 (е2 £ (0, ej) на сегменте tx < t < |
flf |
/*€ Ю, ^/ея1 |