книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfJ Отметим основное свойство матрицанта.
Ь Матрицанты |
и Q},, как два решения одного и того же |
||
матричного |
уравнения (6.1), |
связаны между собой соот |
|
ношением |
|
|
|
где С — постоянная |
Q'. = |
Q'.C, |
|
матрица. |
|||
2 При t = |
tx имеем |
|
|
|
|
Q!: = ЕС = С. |
|
^Используя это, находим
а'. = Qj.afc
§8. Сопряженное уравнение
^Пусть дано векторно-матричное уравнение
4 Г = и ® х- |
(8'1> |
С Ему сопряженным называется векторно-матричное урав
нение |
|
|
Jg- = -U *(t)y, |
|
(8.2) |
где U* — матрица, эрмитово сопряженная матрице |
С/. |
|
4- Пусть X — фундаментальная матрица |
системы |
(8.1), |
а У — фундаментальная матрица системы |
(8.2), так что X |
|
и Y являются соответственно решениями |
уравнений |
|
Т Г = и х ' |
|
<8-3) |
■§- = -и * У |
|
(8.4) |
при некоторых начальных условиях. В равенстве (8.4) пе рейдем к сопряженным матрицам:
~ = ~ У*и. |
(8.5) |
$ Умножим равенство (8.3) слева на Y*, равенство (8.5) справа на X и результаты сложим. Будем иметь
j r (Y*X)^0.
$ Отсюда следует, что произведение Y*X есть постоянная
матрица:
Y* (t) X (0 = С.
В частности, если X, Y — нормированные фундаментальные матрицы систем (8.1) и (8.2) (матрицы Коши), то
Y* (t) X (0 = Е.
§ 9: Неоднородное уравнение |
|
у? Рассмотрим вопрос о решении уравнения |
|
- £ - = (/(<)* + А(О |
(9.1) |
при начальном условии |
|
x(t0)= c . |
(9.2) |
9.1. Метод вариации произвольных постоянных Лагран жа. Введем в (9.1) подстановку
* = |
X (/) г, |
(9.3) |
где X — фундаментальная |
матрица |
однородной системы |
т г = У ( 0 * -
Получим
^ - z + X ± - = UXz + h.
Отсюда
-|~ =х-'(0Л(0.
Интегрируя последнее соотношение, получаем
t
г= У + ( X~l(s)h(s)ds.
Учитывая это, из (9.3) находим
t
х = X (t) у + X (/) X~l (s) h {s) ds.
to
По условию (9.2)
X « J y = c.
Следовательно, постоянная столбцовая матрица у должна быть определена по формуле
у = X -' (У с.
В соответствии с этим
t
х = X (О Х~' (У с + f X (О Х~' (а) Л (s) ds. |
(9.5) |
I |
|
Если X (t) — матрица Коши (X (£0) = Е), то тогда |
|
t |
|
x = X(t)c + ^X(t)XT'(s)h (s) ds. |
(9.6) |
to
Формулы (9.5) и (9.6) представляют собой решение уравне ния (9.1), выраженное через фундаментальную матрицу однородной системы (9.4).
9.2. Другой способ. Уравнение (9.1) умножим слева на некоторую, пока неизвестную, матрицу Y* (t), сопряжен ную матрице Y (t), и проинтегрируем от tQдо t. Получим
t |
|
I |
|
|
t |
j |
(s) |
~ j |
У* |
^ (s) х (s) ^ |
+ j* У* (^)h (s) ds. |
*0 |
|
|
A) |
|
*0 |
Интегрируя по частям, получаем |
|
||||
|
Г |
|
|
|
|
Y* (s) x (s) | |
— j . |
~ |
= |
|
|
|
Ai |
Ai |
t |
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
= |
f Y*(s)U(s)x(s)ds + C Y* (s)ft (s) ds. |
||
Отсюда |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Y*® x(t)~Y*(t,)x(t,) = |
|
|
|||
|
|
+ Y* ($) U(s) 1.t (s) |
Y*(s)h(s)ds. (9.7) |
||
В качестве Y возьмем решение сопряженной матричной си стемы
к г — и , (*)У
при условии
У (0 = Е. |
(9.8) |
Тогда (9.7) принимает вид
х (t) = к* (У х (У + j Y* (s) A (s) ds. |
(9.9) |
Как было показано в § 8, если X — фундаментальная матрица однородной системы (9.4), то У* (s) X (s) = С. Из условия (9.8) в данном случае получаем
с = х ( 0 ,
так что
Y*(s)X(s)=X(t).
Отсюда
Y* (s) - X (О X - 1(4), К* (У = X (<) X - ’ (У-
Учитывая это, вместо (9.9) будем иметь
* (0 = X (О X - 1 (У *(У + ( X (<) X - ' (s) A (s) rfs. f(>
§ 10. Решение одного матричного уравнения
Т е о р е м а 10.1. Решение матричного уравнения
**. = A(t)X + XB(t) |
|
X ( у = С |
(10.1) |
|||
представляется в виде |
|
|
|
|
||
|
|
X = Y(t)CZ(t), |
|
(10.2) |
||
где Y (t) и Z (0 — соответственно |
решения |
матричных |
||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
dY |
= |
A ( t ) Y , |
У |
( |
У E. = |
(10.3) |
dt |
||||||
dtdZ |
= |
Z B (i), |
Z ( |
У |
E. = |
(10.4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Дифференцируя (10.2) по t, с |
|||||
учетом (10.3) и (10.4) получим
dX |
, * L c z + r c - f - = AYCZ + YCZB. |
dt |
Очевидно, к такому же виду приводится и правая часть уравнения (10.1), если вместо X подставить (10.2). Теорема доказана.
С л е д с т в и е 1. Решение матричного уравнения
^ - = A (t)X -X A (t) |
X (У = С |
(10.5) |
|
представляется в виде |
|
|
|
Х = У(/) СУ~‘ (I). |
(10.6) |
||
Действительно, в данном случае уравнения (10.3) и (10.4) |
|||
приобретают вид |
|
|
|
-§- = А(1)У, |
У (д = Е, |
(10.7) |
|
- § - = -2 Д (< ), |
Z (( „ ) - £ . |
(10.8) |
|
Как видим, (10.8) есть уравнение, сопряженное уравнению (10.7), и поэтому
|
Z (<) = У-■ (<). |
Отсюда в силу (10.2) следует выражение (10.6). |
|
С л е д с т в и е 2. |
Если А и В в уравнении (10.1) - |
постоянные матрицы, |
то решение этого уравнения пред |
ставляется в виде |
е*(<-ы Сев«-*«). |
X = |
|
Действительно, в этом случае решениями уравнений (10.3) и (10.4) являются соответственно матрицы exp [A (t — /0)] и ехр (£ ( / - *о)1.
Г л а в а VII
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Вданной главе рассматриваются линейные системы, представленные векторно-матричным уравнением
* L = U x + h{t), |
(0.1) |
где U — постоянная матрица.
§ 1. Экспоненциал матрицы
Как известно, экспоненциал скалярной величины а пред-
Q2 |
QP |
ставляется рядом еа= 1 -}- а + -g p + |
+ -р р + |
По аналогии с этим вводится понятие экспоненциала квадратной матрицы А.. Под экспоненциалом матрицы А понимается матричная функция
ехр А = |
= V _АР. . |
( 1. 1) |
|
|
р=0 |
|
|
Ряд (1.1) сходится для |
любой |
квадратной |
матрицы, |
так как сходится скалярный ряд
у1МГ
Р=0ft Р1 ’
составленный для нормы этой матрицы.
Из сходимости ряда (1.1) для любой квадратной матрицы следует сходимость и ряда
|
{At? |
( . ) |
V Ш |
1 2 |
|
1л |
р\ |
|
P- |
о и |
|
где t — скалярный множитель. Этот ряд представляет собой экспоненциал произведения At, т. е. eAt.
Сходимость ряда (1.2) в любой конечной области комп лексной плоскости параметра t равномерная в силу равно
мерной сходимости в этой области |
ряда |
^ |
А^ j t ^ . Отме |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р ь |
|
|
|
|
тим некоторые свойства экспоненциала. |
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
|
= |
eAteAs = |
eAseAt |
|
(t, s £ К). |
|
|
|
||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e A te A s = |
" |
Aki k |
“ |
|
U |
= |
со |
|
P |
|
|
tksp-k |
|
|
|||
|
|
|
|
A 1si |
V АрV |
|
- i i - ___= |
|
|
||||||||
= s 4 r - S |
|
„ |
|
Z |
J |
|
2J |
fc! |
(p — |
ft)l |
|
|
|||||
ft—О |
1=0 |
|
|
|
p=*0 |
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
£ |
|
^ ( Н - У » e A (ei+ s)' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P—0 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как ел <*+*> = |
ел (s+*>, то |
|
из |
приведенной |
цепочки |
||||||||||||
равенств следует также коммутативность |
матриц |
|
ем и eAs. |
||||||||||||||
Полагая s = —t, будем иметь eAte~At = еАа = Е. Значит, |
|||||||||||||||||
2) ем — всегда невырожденная матрица и ее |
обратная |
||||||||||||||||
матрица равна er~At. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) Если АВ = |
ВА, тоеА+в = еАев = евеА. Покажем это. |
||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
оо |
|
|
|
||
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
А р В |
__ |
Ар |
^ |
Bq |
|
|
|
|
|
АрВА |
|
|
|||
|
|
еле |
“ |
£ |
р\ |
Y i~ q \ |
|
|
Ц |
|
S |
p\q\ |
* |
|
|||
|
|
|
|
р=0 |
|
|
р=0 |
|
|
|
Р = 0 q= О |
|
|
|
|||
Положим р + |
q = s (s = |
О, |
1, 2, |
...). Тогда, |
учитывая, |
||||||||||||
что р •< s, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
W |
S |
л П гчС |
о |
|
ОО |
|
, |
S |
|
|
, |
А>В*->. |
|||
елев = у |
у |
* |
В |
" „ |
у |
|
1 у |
|
|
51 |
|||||||
|
|
ZJ |
ZJ |
pl(s — p)t |
Z J |
S! |
ZJ P US — P)1 |
|
|
||||||||
|
|
S=0 p= 0 |
|
|
|
|
JseO |
|
|
P=0 |
|
|
|
|
|
||
С другой |
|
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
eA +fl=S |
4 - ^ + B)‘ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и так как А и В перестановочны, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
<л + В ) 1 |
= |
£ |
г |
п |
|
^ |
ЛРВ" '- |
|
|
|
||||
и, значит,
еА+в = 2 |
- г i щ т ^ АРВ‘- р=еАеВ- |
S—0 |
р—О |
4) Производная экспоненциала.
Ряд, полученный формальным дифференцированием ря да (1.2), также сходится равномерно, поэтому законно по членное дифференцирование ряда (1.2). Учитывая это, полу чаем
= Л + П ^ + Т Г + — AeAt = eAtA.
§ 2. Решение дифференциальной системы в форме экспоненциала
В силу свойства |
4) экспоненциала матрицы матрица |
еи (/—f0) представляет |
собою решение матричного уравнения |
7 T - U X , X(t,) = E
и, значит, является фундаментальной матрицей системы
В соответствии с этим общее решение неоднородной си стемы (0.1) при условии х (/0) = с можно представить в виде
t
x(t) = ePv-'Oc + J eW-Ue-Vb-Uh (s) ds,
x (it) = eU(t~iob + |
^ eUlt~s)h (s) ds. |
|
tr |
|
|
§ 3. Метод Эйлера |
|
|
Решение векторно-матричного уравнения |
||
= Ux, |
*(/<>) = с |
(3.1) |
будем искать в виде |
|
|
ж = |
|
(3.2) |
где К — постоянный вектор |
(столбцовая |
матрица). |
Отсюда видно, что (3.2) представляет собой частное ре шение уравнения (3.1), если X есть собственное значение мат рицы U, а К — собственный вектор этой матрицы, отвечаю щий собственному значению X.
Рассмотрим различные случаи, которые могут иметь место.
1. Матрица U имеет п различных собственных значений Xlt Х2, ..., Х„ (п — порядок матрицы V). Каждому простому собственному значению X, отвечает единственный (с точ ностью до произвольного множителя) собственный вектор Kj, причем собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. Общее реше ние уравнения (3.1) может быть представлено в виде
* = £ |
(3.3) |
где у/ — произвольные постоянные.
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что соот ветствующим выбором постоянных у/ можно удовлетворить любому начальному условию, ибо, очевидно, (3.3) обращает уравнение (3.1) в тождество. Прежде всего представим (3.3) в ином виде. С этой целью введем матрицы
К = ( Я Л Кя),
Тогда вместо (3.3) будем иметь
* = Кел,г
Отсюда при t = t0 получим
* (t0) = КеА,у. |
(3.4) |
Так как /( и eAta — невырожденные матрицы, то уравнение
(3.4) разрешимо относительно у:
у = е- л,’К~'х (t0) = е~м°К~'с.
Таким образом, действительно, если все собственные зна чения матрицы U простые, то общее решение уравнения (3.1) представляется выражением (3.3).
2.Число различных собственных значений матрицы U
меньше, чем п, но каждому собственному значению крат ности Гу отвечает ровно г;. линейно независимых собственных
векторов /С}1), ...» КрК В этом случае общее решение одно родной системы можно представить в виде
3. Число различных собственных значений матрицы U равно или меньше, чем л, и каждому собственному значению Ху кратности Гу отвечает один или несколько (но не более, чем Гу) собственных векторов (общий случай). Этот случай будет рассмотрен позже при описании другого метода.
§ 4. Преобразование Лапласа
Построим решение векторно-матричного уравнения
|
*L = Ux+k(t) |
|
(4.1) |
при начальном |
условии |
|
(4.2) |
|
|
|
|
с помощью преобразования Лапласа. |
|
e~pi и |
|
Обе части уравнения (4.1) умножим справа на |
|||
проинтегрируем по t в пределах от 0 до оо. Получим |
|
||
оо |
оо |
со |
|
с |
|
|
|
или |
|
|
(4.3) |
pL(x) = UL(x)+L(h) + x(0), |
|||
где
ОО |
оо |