книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

рой

разбиты

на р групп Я{а),

^<т =

1, 2,

р;

2

ka = п\ так, что на промежутке О-Ст <; L выполняют­

с я

}

ся

условия

| № -

| >

0

(1.1)

( а ф у , 1 =

1 , 2 , . . .

,

k Q\

/ =

1 , 2 , . . .

,

fcs),

при каждом фиксированном т £ [О, L1 можно

представить

так

(см. гл. V):

a = = 2 K c A ffMff|

(1.2)

Ко,

0=1

п X

где

Ла,

М0 — матрицы

типа

соответственно

ka X k0t

ka X п,

удовлетворяющие

равенствам

MaKs =

Ekat

s — о*

(1.3)

О,

Бфи

(Ег — единичная

матрица порядка г).

Собственные значения матрицы Л0 суть собственные зна­

чения матрицы U, включенные в группу а.

Введя блочные матрицы

л

'ЛГ,

л =

K = ( K t

Ю ,

О

°

•

м -

ж

будем также иметь

р—

(1.4)

U = KAM,

МК = КМ = Еп.

(1.5)

Р k s

(1.6)

Да(У)= П П (У—

Пусть /Со, Ла, Мо (<т = 1,

р) — построенные таким

путем матрицы. Тогда выражения

КоМа, М^1Ма, М71Л0Ма,

общим выражением матриц, преобразующих

матрицу U

к квазидиагональному виду.

Для дальнейшего представляют интерес те матрицы Ко,

которые нужное число раз дифференцируемы на

промежут­

что матрица

Д* (U)

дифференцируема на [О, L] по

край­

ней мере

столько же

раз, сколько

раз дифференцируема

матрица

U (т).

Рассмотрим многочлен с коэффициентами, зависящими

от параметра т:

Д (А) = А"

аг(т) А.”-1 -f

+

ап-\ (т) A -f ап(т).

(1.7)

Д (А) •—Дх (А) Д2 (А),

(1.8)

а Д2 (А) — многочлен степени

тс корнями

Ар, ...,

AJ?.

Пусть

Дх М =

Afe + а л.(т) Aft_1 +

-f a ft_, (т) A +

a ft(т),

|

^

Дг(^) =

^т Н" Pi (т) AW 1-f-

~h Pm-l (Т) A +

Pm (T).

,

2)

I х[1)(т) - xf>(т) | > О

( 1. 10)

то коэффициенты а/ (/ = 1, .... k) и Р/ (/ = 1, ...,

т) мно­

гочленов Д2 (X) и Л2 (^) являются по крайней мере I раз диф­

ференцируемыми на [О, L] функциями от т.

много­

Для д о к а з а т е л ь с т в а леммы подставим

Фх =

«1 +

Pi — Gj =

О,

Фг =

0С2 -j- OCJPJ -J- Р2

#2 — 0,

Фз =

аз +

а 2Р1 + а 1Р2 + Рз — о3 = 0,

( 1. 11)

фи—1=

«fcPm—1-f- &k—lPm— #n—1— o,

Фл =

«ftPm

an = 0.

D(фг, . . . , фд)

, л

(0 < т < L).

(1.13)

D (av

pffI) ^

U

«А

f k (flj, • • . ,

(1.14)

водные по alt а2г

ап в

некоторой окрестности точки

(fli (TQ), ... | Qn (TQ)).

= 1, ..., n) — дифференцируемые функ­

Поскольку CLJ (j

ции от т, то из

равенств

(1.14) следует существование

производных по т от а 1? ...,

Рт в окрестности точки т0. Учи­

лучим

dat

dPi

dax

dx

dx

dx

da,

,

dp,

Pi

dax

+

dP„

da2

~аГ + “ i

dx

dx

dx

dx

~лГ~ Pm +

a A dPm

dan

dx

dx

dx

Решая эту систему, будем иметь

dax

i

t l

(®1.

• • •

» Pm>

dar

’ ** * 5

dan \

}

dx

R( Al t A2)

dx

dx

) '

*

dat

*

dpm

_____________J

+Л (“ и

• ••

» Pm»

dan \ .

J

dx

* ‘

»

dx •

(1.15)

здесь ф/ — функции,

дифференцируемые по своим аргумен­

там любое число раз.

Если существуют

вторые

производные

то из

(1.15)

можно

непосредственно

получить

выражения

для

Для этого достаточно

продифферен­

цировать равенства (1.15) пот и в правых

частях

исключить

с помощью тех же равенств (1.15). Этим

путем можно

получить все производные

по

т от a l}

|3т

dla y

dl$

в произвольной точке

ВПЛОТЬ ДО

■>т . Итак,

Ко (Т, е) =

2

| W (*). л „ (т, е) =

2

е‘ лЕ,61 (т),

Л=0

£=0

Л , (т, е) =

f

Л <т- «) =

2

(т).

6=0

А=»0

А(х, Б) S

[е

8)-j/g + Ко(т, е) Ла (т, е) уа +

+

Ка (т, е) Ма (“Г, е) R (т,

е) / (t, т, в)

= В (т, е) ^

Ка(т, е) f/0 + / (*, т, е).

а=1

А(х, в)

dK0 (т, в)

В (т, в) Ко(х, 8) (2.7)

+ Ко (X, е) Ла(т, 8)1=

( 0 = 1 , . . .

, р),

Л (т, е) 2

Ко (Г, 8) Ма (т, в) Я (т, в) - Ея] f (t, х, в) = 0. (2.8)

Для доказательства теоремы

нужно

показать возмож­

одинаковых степенях

в. Получим

А—1

wrrlA—V—1], .

k

k—v

2

л . м

dt - 1+

2 Л, (Т ) £ Л Р*Я (1)А 5Р(1) =

v=o

v=o

/—о

=

У В,(X)Kla~n (Т)

(о = 1,

, р\ k = 0 , 1 , 2 , ...).(2.9)