книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

ментарного делителя не может превосходить кратности соб­ ственного значения Я;- матрицы £/, а кратность собственно­ го значения Я/ матрицы U совпадает с кратностью Яу как корня многочлена Да (Я) (в правой части (3.2) множитель (Я— Я;) повторяется столько раз, какова кратность Я/). Поэтому дефект матрицы До (U) равен сумме степеней эле­ ментарных делителей, соответствующих всем собственным значениям, не включенным в группу а, или, учитывая, что сумма элементарных делителей, соответствующих данному Я/, равна кратности Я/ как собственного значения матрицы

числу собственных значений матрицы U (с учетом их крат­ ностей), включенных в группу а.

При возведении матрицы Д0 (U) в целую степень нену­ левые числа V/ увеличиваются,.в то вр.емя как все ^ остаются без изменения. Поэтому ранг любой целой степени этой матрицы также равен ka.

Матрицу До (U) как матрицу ранга kaможно представить в виде произведения матрицы Ко типа п X ka с ka ли­ нейно независимыми столбцами на матрицу MQ0 типа ka X

ka линейно независимых линейных комбинаций столбцов этой матрицы.

где Ко и Мои — какая-нибудь пара матриц, удовлетворяю­ щая условиям разложения на множители матрицы Д„ (U) в форме (3.3). Тогда множество всех матриц, удовлетворяю­ щих условиям разложения на множители Дст (£/) в форме (3.3), может быть представлено соотношениями

Всамом деле, Ко и А1о<т также являются матрицами типа

пX ka и ka X п соответственно и ранга ka и в силу (5.1)

С другой стороны, если

Д0 (U) = КоМоо

и

Дa (U) = КоМ0о,

то существует такая невырожденная матрица No порядка kg, Ч Т О

Ко = KoNo.

Действительно, умножая обе части равенства

K ONIQO = K OM QO

справа на Ко (MQOKO)*1» получим

Ко = КаМооКо(МоаКоГ\

т. е. Ко представляется как произведение матрицы Ко на матрицу

Na = МоаКа(МоаКаГ'

типа k0 X ka.

Остается доказать, что No — невырожденная матрица. Для этого достаточно показать, что МооКо — невырожденная

матрица. Что это так, видно из равенства

До ('JJ) До (U) — КаМцаКоМоо»

В левой части этого равенства стоит матрица ранга kat поэтому ранг каждого сомножителя в правой части не может быть меньше, чем ka. В частности, не меньше, чем ka, ранг

матрицы МооКо, а так как ее порядок равен kCt то ранг этой матрицы в точности равен ka-

Теперь о М 0о — втором сомножителе в разложении матри­ цы Д0 (U).

Если Ка = KoNa, то, как было отмечено выше, матрица

Ма1Моа удовлетворяет условиям разложения матрицы Да (U) (см. (5.3)). Покажем, что это единственная матрица, удовлетворяющая соотношению (5.3) при выбранном первом

сомножителе /(0. Действительно, пусть

До (U) = Кг.Мйо и Д0 (U) = КоМ°оа.

Вычитая из первого равенства второе, получим

/Со (Моо — Д^Осг) = 6»

Отсюда, учитывая, что Ко есть матрица с ka линейно неза­ висимыми столбцами, имеем

^ —о

MQO — MQQ.

Итак, выражения (5.2) определяют общий вид сомножи­ телей матрицы Д0 (V) в разложении (3.3).

Выясним далее, в каком соотношении находятся ма­ трицы

Подставляя в правую часть второго равенства соотно­ шения (5.2) и сравнивая с первым равенством, находим

Ма = Ы7'м„.

Наконец, сравнение друг с другом матриц

ряющая соотношениям (3.3), (3.4), (3.8), a Na— произволь­ ная невырожденная матрица порядка kQ, можно рассмат­ ривать как общий вид отвечающих группе а собственных значений матрицы U блоков преобразующей матрицы, матрицы, обратной преобразующей, и соответствующей квазидиагональной матрицы.

В соответствии с вышеизложенным множество всех матриц, преобразующих квадратную матрицу к квазидиагональному виду при данном разбиении собственных значе­ ний матрицы U на некоторое число р групп, исчерпывается выражением

K = KN.

где К — какая-нибудь матрица, приводящая U к квазидиагональному виду А, а N — квазидиагональная матрица, у которой /-я диагональная клетка (/ = 1 , 2 , .... р) занята произвольной невырожденной матрицей того же порядка, что и /-й диагональный блок матрицы А.

§ 6. Построение жордановой формы матрицы

Вопрос о построении жордановой матрицы, подобной данной, и соответствующей преобразующей матрицы может быть решен различными путями. Мы здесь приводим один простой способ решения этих задач, в котором используется алгоритм преобразования матрицы к квазидиагональному виду, изложенный в предшествующих параграфах.

Пусть дана квадратная матрица U порядка п. Собствен­ ные значения этой матрицы, которые предполагаются из­ вестными, разобьем на группы в соответствии с условием (3 . 1 ) при дополнительном требовании, чтобы в каждую груп­ пу были включены только равные между собой собственные значения. Итак, если U имеет р различных собственных

значений Я,х, Х2, ...»Хр, то при указанном разбиении собствен­ ных значений на группы будем иметь р групп, причем в пер­ вой группе окажутся, например, все собственные значения матрицы U, равные во второй группе — все собственные значения, совпадающие с Х2, и т. д. Как и прежде, число собственных значений, включенных в группу ст, будем обо­ значать через ko. Рассмотрим какую-нибудь группу, на­ пример группу s, объединяющую ks равных собственных значений матрицы V. Этой группе в жордановой форме матрицы будет отвечать одна или несколько клеток Жорда­ на, сумма порядков которых равна ks. Для построения жор­ дановой формы матрицы нужно знать, сколько клеток Ж ор­ дана отвечает данной группе, и порядок этих клеток. От­ вет на указанные вопросы может быть получен с помощью теоремы, которая приводится ниже.

Введем некоторые обозначения. Положим

f(%) = U — XE.

{kfкратное) матрицы U. Тогда число клеток Жордана т-го

..., p) является матрицей Жордана, состоящей из одного или нескольких клеток Жордана.

З а м е ч а н и е . Общее число клеток Жордана с соб­ ственным значением Х< равно dil). Это следует, например, из первого равенства (6.4), если положить в нем т = 1.

Теорема 6.1 указывает простой путь построения жордановой формы матрицы. Однако в случае матрицы высокого порядка определение дефектов матриц fv (Xs) (v = 1, 2, 3, ...) может оказаться довольно трудоемкой операцией. Во избежаниеэтого целесообразно предварительно преобразовать матри­ цу U к квазидиагональному виду в соответствии с алгорит­ мом, изложенным в § 3. При том разбиении собственных чи­ сел матрицы U на группы, которое было указано в начале настоящего параграфа, группе s, состоящей из ks одинако­

совпадают. Учитывая это, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 6.2. Пусть Х%— собственное значение (к5-кратное) матрицы U, Л5 = MSUKS— диагональный блок квазидиагональной матрицы, подобной U, отвечающей груп­ пе ks равных собственных значений Xs. Тогда число клеток Жордана т-го порядка (m = 1, 2, 3, ...) с собственным значением Xs в жордановой матрице, подобной матрице U,

связано с дефектами матриц

Теперь рассмотрим вопрос о построении матрицы Т, преобразующей матрицу U к форме Жордана У. Мы здесь не будем приводить методы построения преобразующей матри­ цы Т, описанные в имеющейся литературе (см., например, 19]), а ограничимся указанием способа сведения задачи о построении преобразующей матрицы Т л-го порядка к