книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

$ 7]

определению некоторого числа квадратных матриц меньшего порядка.

Исходя из указанного в начале данного параграфа раз­ биения собственных значений матрицы U на группы, мож­

значений Jis, будет отвечать диагональный блок As матрицы Л с ks кратным собственным значением A.s.

Итак, наряду с (6.2) имеет место легко реализуемое пред­

позволяет свести задачу по построению преобразующей мат­

(а это в прикладных задачах наиболее вероятный случай), то Ns можно построить путем непосредственного решения относительно элементов этой матрицы системы алгебраиче­ ских уравнений, соответствующей матричному равенству

AsNt = N J t (K).

§ 7. Случай матрицы простой структуры

Из теорем предыдущего параграфа непосредственно сле­ дуют два результата.

Если /га-кратному собственному значению матрицы от­ вечают в форме Жордана ka клеток Жордана первого по­ рядка, то

I*.® = 4 1».

и обратно.

Если U — матрица простой структуры порядка п, то

2 й!" = 2 4 ° = п,

S—1 S=1

и обратно.

Приведем еще некоторые предложения, касающиеся матриц простой структуры.

Л е м м а 7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (3.1) и tip — какое-нибудь

то 1) все собственные значения группы а равны между собой;

2)матрица Л а является диагональной матрицей.

До к а з а т е л ь с т в о . 1) Из (7.1) следует, что все ненулевые столбцы матрицы Да (U) являются собственными

векторами, соответствующими собственному значению tip. Так как ранг матрицы Дс (U) равен ka, то собственному значению tip соответствуют ka линейно независимых

собственных векторов. Это значит, что tip является по крайней мере 6а-кратным собственным значением матрицы.

Но кратность tip, очевидно, не может быть больше, чем число собственных значений, включенных в группу о, т. е. больше, чем k0. Значит, кратность собственного значения

tip в точности равна ka.

2) Представим равенство (7.1) так:

(U - X f E n) КаМм = 0.

Лемма доказана.

Т е о р е м а 7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (3.1), причем в каждую группу включены только равные между собой собственные^ значения. Для того чтобы V была матрицей простой

структуры, необходимо и достаточно, чтобы

матрицу для удобства представим в виде квазидиагональной матрицы

Л = diag(Л1э Ла, . . . , Лр),

где As— диагональная матрица, на главной диагонали ко­ торой расположены собственные значения матрицы U, вклю­ ченные в группу s. Пусть К — матрица, преобразующая V к диагональному виду Л, и М — К~“1:

и потому

А (£/) = 0.

Матрица А (U) является множителем левых частей всех равенств (7.3), что и подтверждает справедливость этих ра­ венств. Теорема доказана.

Равенство (7.5), как мы видели, является необходимым условием того, чтобы U имела простую структуру. Можно показать, что (7.5) является в то же время и достаточным условием.

Действительно, из (7.5) следуют равенства

собственные значения матрицы V . Для того чтобы матрица U имела простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы

Д (У) = п (U — >,£„) = 0 .

5=1

С л е д с т в и е Если U — матрица простой струк­ туры с одинаковыми собственными значениями, равными X, то непременно

U = ХЕ.

§ 8. Разложение квадратной матрицы на составляющие

Равенство (3.9) после перемножения блочных матриц /С, Л и М можно записать в виде

составляющими матрицы U. Каждая составляющая Ua

матрицы U отвечает группе а собственных значений этой ма­ трицы. Собственные значения матрицы U, включенные в группу о, являются собственными значениями и для ее

из того, что матрица MUaK, подобная матрице Ua, явля­ ется квазидиагональной матрицей, в которой диагональным

и, кроме того, удовлетворяют еще следующим соотношениям:

U'S = КаКМ„ (т = 1 , 2 , ...),

UU„ = UJJ = U*.

Как уже отмечалось, в выборе матриц /Со (сг = 1 , 2 ,...»р) при данном разбиении собственных значений матрицы U на группы имеется определенный произвол (см. § 5). Со­ ставляющие же Uа при данном разбиении собственных чи­ сел на группы определяются однозначно; они инвариантны относительно произвола, имеющегося в выборе /(с- Дейст­ вительно, принимая вместо Ка матрицу KaNa, будем иметь

й„ = КАаМо = KnNaN7'KNaN^M a = К Л Ж = V,.

Пусть f (А,) — многочлен скалярного аргумента Л. Если две матрицы А и В подобны и матрица Т преобразует А в В,

то матрицы / (А) и f (В) также подобны, причем та ж е мат­

f(U) =

Отсюда непосредственно вытекает следующее разложение матричного многочлена f (£/) на взаимно ортогональные со­ ставляющие:

Разложение (8.2) справедливо при произвольном разбие­ нии собственных значений матрицы U на группы согласно условию (3.1).

Посмотрим, какой вид приобретает формула (8.2) в том частном случае, когда в каждую группу объединены только равные между собой собственные значения.

Допустим сначала, что все собственные значения матри­ цы U порядка п простые и эти собственные значения разби­ ты на п групп. В данном случае

— матрицы ранга 1 и потому каждая из этих матриц раз­ лагается на произведение п х 1-матрицы Ка на 1 х X л-матрицу Мое:

Дa(U) ** КаМоа.

Преобразует (8.2). Учитывая, что в данном случае А а = = Ха и, следовательно, f (Ла) = f (Яо) — скаляр, и исполь­ зуя (3.4), будем иметь

/ ( ( / ) = ^К оН Х а)Ма =

а=1

Вычислим М о а К а .

Матрицу, присоединенную к характеристической мат­

где

А(Х) = П(Х — V

S=1

—характеристический многочлен матрицы U. Прежде всего покажем, что

что и доказывает справедливость равенства (8.5). Продифференцируем равенство (8.4) по X и в полученном

соотношении положим X = Ха- Будем иметь

§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ!19

Примем

Примем

Преобразующая матрица

К= (К,Кг) =

м= к ~ ' =