книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Пусть оператору А в базисах g и $ в пространствах R и S отвечает матрица А. Выясним, как изменяется матрица

Здесь Т и N — невырожденные матрицы порядков соот­

Используя (6.10), из второго равенства (6.11) находим

Сравнивая полученное соотношение с первым равенством (6 . 1 1 ), находим

Таким образом, один и тот же линейный оператор Л, отображающий R в S, в зависимости от выбора базисов в/? и 5 представляется разными матрицами, общий вид кото­ рых дается формулой (6 .1 2 ).

§ 7. Матрица как линейный оператор в численных пространствах

Пусть А — оператор, который каждому вектору х из /г-мерного векторного пространства R относит вектор у из m-мерного векторного пространства S :

вектора дгв базисе g, а у — столбцовая матрица координат £/и Уг* .... Утвектора у в базисе # , то (см. § 6)

Введем теперь в рассмотрение л-мерное численное про­ странство R, изоморфное пространству R и /п-мерное числен­ ное пространство 5, изоморфное пространству S. Каждому

вектору х из R с координатами xlt x2t ...» хп в базисе g поставим в соответствие вектор

и каждому вектору у из S с координатами уъ у2, ..., ут в базисе $ поставим в соответствие вектор

х В силу введенного взаимно однозначного соответствия между векторными пространствами R и $, с одной стороны, и векторными численными пространствами R и 5, с другой, оператору А , отображающему пространство R в S, соответ­ ствует матрица А линейного преобразования (7.2), которое каждому вектору х из R относит вектор у из 5.

Таким образом т X «-матрица А выступает как линей­ ный оператор, отображающий «-мерное численное про­ странство R в /«-мерное численное пространство5 .

Матрицу-оператор А можно рассматривать как упоря­ доченную систему п m-мерных векторов — столбцовых матриц

из «г-мерного численного пространства 5 :

А = (ага2 ап).

Множество всевозможных линейных комбинаций линей­ но независимых столбцов матрицы А образует подпростран­ ство Sj пространства S.

Преобразование (7.2) относит каждому вектору х £ R вектор у подпространства пространства 5. Действительно,

С другой стороны, каждый вектор у подпространства Slt являясь линейной комбинацией столбцов матрицы А, пред­ ставляется произведением Ах, где х — столбцовая матрица

Выясним, какова размерность подпространства Sv Покажем сначала, что максимальное число линейно не­

зависимых столбцов произвольной прямоугольной матри­ цы равно рангу матрицы.

Пусть ранг матрицы А = {ага2... ап) равен г и не равный

Допустим, что эти столбцы линейно зависимы, т. е.

рицы коэффициентов равен числу неизвестных. Но это зна­ чит, что столбцы alx, a,t, ..., atr линейно независимы.

Число линейно независимых столбцов матрицы А, с другой стороны, не может быть больше, чем г. В самом деле,

рицы коэффициентов, имеет ненулевое решение.

Итак, максимальное число линейно независимых столб­ цов произвольной прямоугольной матрицы равно ее рангу.

Заметим, кстати, что при транспонировании матрицы строки становятся столбцами, в то время как ранг матрицы не меняется. Поэтому в прямоугольной матрице число ли­ нейно независимых столбцов всегда равно числу линейно независимых строк.

Пусть теперь ранг матрицы-оператора А в преобразова­ нии (7.2) равен г и линейно независимыми являются столб­

«Sj есть подпространство, порожденное г линейно независи­ мыми векторами atl, ait, ..., at , и потому его размерность

Эти векторы образуют в R некоторое подпространство RA. Размерность этого подпространства равна п — г. В са­ мом деле, так как ранг матрицы А равен г, то система ал­ гебраических уравнений

эквивалентная соотношению (7.4), имеет ровно п — т ли­ нейно независимых решений.

Число измерений d пространства RA, состоящего из всех векторов х £ R, удовлетворяющих условию (7.4), на­ зывается дефектом матрицы-оператора Л.

На основании вышеизложенного

л-мерное S, ^-мерное Т — и линейные операторы — прямо­ угольные матрицы: А с размерами q X п и В с размерами

п X т.

Через dx обозначим число линейно независимых реше­ ний уравнения (8.3), принадлежащих подпространству BR. Так как BR cz S, то

В подпространстве BR, размерность которого равна гв, имеются dx линейно независимых решений уравнения (8.3). Значит, в этом подпространстве имеются гв — dx линейно независимых векторов, которые уже не являются решения­ ми уравнения (8.3). Эти векторы образуют некоторое под­ пространство размерности гв — dx. Учитывая это, всю совокупность векторов z, удовлетворяющих равенству (8 .1 ),

пространства Т.

Векторы (8.7) линейно независимы. В самом деле, до­ пуская их линейную зависимость, будем иметь

нулю означало бы, что векторы ух, у2, ...» у{ линейно зави­ симы), но тогда равенство (8 .8) противоречит тому условию, что векторы подпространства Sx не являются решениями

определяющие соотношение между рангами матриц А и В с размерами q X п и п X т соответственно и рангом их произведения АВ.

С л е д с т в и е . При умножении матрицы ранга г в любом порядке на неособенную матрицу ранг произведения остается равным г.

Пусть А — неособенная матрица порядка ft, а В — мат­ рица размеров п X т и ранга г (г <; т, п).

Применяя неравенства Сильвестра к произведению

С=АВ,

получим

Г+ п — п < ТС < Г, п.

Отсюда

ГС = г .

Точно так же, если А — неособенная матрица порядка т, то для произведения

С = В А

будем иметь

т-\- г — m < f c С г,т.

Отсюда снова

гс — г.

§ 9. Разложение матрицы на прямоугольные множители

Пусть дана прямоугольная матрица с размерами т х п, т. е. матрица вида

С = (<ас2 сп),

где ct — столбцовые матрицы-векторы m-мерного численно­ го пространства R.

Пусть ранг матрицы С равен г.

Столбцы матрицы С порождают г-мерное подпростран­

имеющую размеры т X г.

Для любой таким образом построенной матрицы А су­

Ранг матрицы коэффициентов уравнений А равен рангу расширенной матрицы

(ага2 а,с{),

ибо А составлена из г линейно независимых векторов под­

Учитывая, что в данном случае Гс = га = г, неравенст­ ва Сильвестра (8.12) можно записать в виде

г + гв — г < г < г , Гд.

Отсюда

гв = г.

Г л а в а III

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Вл-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Кольцо линейных операторов

Линейный оператор, который каждому вектору х из п- мерного векторного пространства R относит некоторый век­ тор у из того же пространства /?, будем называть линейным оператором в R.

Рассмотрим совокупность всех линейных операторов в R. В этой совокупности операции сложения и умножения естественно ввести так. Пусть А и В — операторы, относя­ щие вектору х векторы

Зти операции сложения и умножения, как легко проверить, обладают следующими свойствами: