книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfПодставим разложения (2.22) в равенство (2.20) и прирав няем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
K ' V |
= £„, |
|
|
2 |
= 0 |
( * = 1 , 2 , |
). |
<=0 |
|
|
|
Отсюда, учитывая (2.12) и (1.5), находим
= м ,
Mw = — М V |
(* = 1.2, ). |
* Аналогичным путем из (2.21) следуют рекуррентные фор мулы для построения членов разложения R (т, е):
R0 = AQl,
= - V 2 Д Л ы ( * = 1 . 2 , |
). |
1 |
|
Теорема доказана. |
|
а м е ч а н и е 1. Построение матриц Ко и Л* не зави сит от вида функции / (t, т, е), так что решение однородной системы
л с*. |
(*.»>* |
определяется равенствами
р~
*= 2 # а ( Т , е)^а, С—1
~A(J (T, 8) (а = 1, . . . , /?),
где (т, е), Aj (т, е) — матрицы, представляемые фор мальными рядами (2.6), члены которых определяются вы шеприведенными соотношениями.
^ З а м е ч а н и е 2. Определение первых членов рядов
Ко и Л0 (см. (2.12)) допускает известный произвол. Можно было бы принять
К ? 1 = / с А ,
где No — произвольная, невырожденная, нужное число раз дифференцируемая матрица порядка В связи с этим,
естественно, возникает вопрос, каким образом влияет вы бор матрицы Na на выражения для членов формальных ря дов. Следующий параграф посвящен этому вопросу. В част ности, будет показано, что матрицы ф0 (сг = 1, 2, р) не зависят от Na.
ЧП р и м е р . Рассмотрим систему уравнений
-р - = tx1+ Хг + X, + /,(0,
|
-ТВ1- “ (21 - -£-) хг + |
(2< |
|
|
h (О- |
|
|
|||
С Собственные |
значения |
матрицы этой |
системы |
|
= tt |
|||||
J |
t, |
A3 = |
J |
|
|
|
|
|
t2) (* i> |
|
Аз = |
в любом замкнутом промежутке Ult |
|||||||||
>■ 0), |
не содержащем точки |
t = |
1, могут быть разбиты на |
|||||||
две непересекающиеся группы: |
1) А,}1* = |
А2, |
^ |
и |
||||||
2) А}2) = |
А3. В соответствии с такой разбивкой собственных |
|||||||||
значений на группы произведем |
расщепление заданной |
си |
||||||||
стемы уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ В данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
i i (У) = |
( 1 / - ЯрЯ.) = |
0 |
|
- ( , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
2 |
- 7 г ) 2 {‘ — г ) _ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
AA U )= (U -X \'% )(U -- |
ЯрЯ.) = |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
“0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 (< — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
— 2 / / |
- И |
(‘ |
<‘ / |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^Поэтому |
можно принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
"1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
— (t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* 1 = |
|
-+ ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
— 2 | |
|
|
|
|
|
|
L— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
= |
- Ы ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
о 2 ( t — L ) |
|
- 1 _ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
— 1 |
|
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м = к ~ 1= |
|
|
О |
|
|
|
1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
О |
|
i |
2 (‘ - ■ г ) |
|
+ |
||
|
|
|
t |
t |
|
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л = мик = |
О |
|
t |
|
|
о |
|
|
|
||
|
|
|
О |
|
о |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
1 |
- |
|
|
1 |
|
|
|
||
гг |
|
|
м 2 = |
(О |
2 1); |
||||||
Л11 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
о |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
< - 1 Г |
|
|
|
|
|
|
л _ |
_L |
* |
|
л , = |
|
|
|
|
|
|
|
|
**■2 |
f3 |
|
t
i Определим теперь к \п, М '1. Л(|], М 1]. В данном случае
|
“ О |
О |
Г)[°] _ |
О |
- ' ( 1 + - г ) |
Di ~~1Г |
О |
2 |
|
а М ^ 03 и MaD[i°], как легко проверить,— нулевые мат рицы.
Учитывая это, из равенств (2.16) получим
|
СЙ 1= о, |
= |
0. |
|
Полагая равными нулю |
и произвольные |
матрицы QI*1 |
||
и QS, будем иметь |
|
|
|
|
Тогда |
= 0, |
QI11 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
K tl] |
= K Q W = |
(#Сх ЛЩ ( ^ |
| = 0. |
|
Далее, |
|
|
/3+2 |
|
|
|
|
|
|
л '11 = |
— M jD |01 = |
r3-f 2 |
|
|
|
|
0 — |
|
|
а [1] = — M 2D[0] = 0.
Используя (2.10), получаем D513 = 0, D^13 = 0. Это вле чет за собой равенство нулю матриц /(Р3, Aj23, А?3. Ясно, что и вообще все последующие матрицы (Л{3], К? 3, А р 3, ... ) суть нулевые матрицы.
Таким образом,
Т |
1 |
|
0 |
0 |
— ft— |
* 1 |
1 |
К = К = |
[ |
р 1 |
|
|
2 |
+) |
— 1 |
|
/ 1 |
|
;з + 2 |
|
t — 7Г + |
||
Aj =» Aj -j- А]13 —
/3 + 2
А- -- Ао -- —7ST •
Далее,
Mll] = — MKlllM = 0,
так как /С[11 = 0. И вообще, |
|
||
М[А] = |
0 |
(6 = 1,2, |
). |
Наконец, так как |
А = Е3, то R = |
£ 8. |
|
Следовательно, исходная система уравнений приводит ся к следующим двум независимым подсистемам:
= Л.9. + W
где |
|
|
|
^8dt |
—Agt/g + Afj/, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
МО |
|
|
|
|
|
|
|
|
МО |
|
|
или в развернутом виде |
|
МО |
|
|||||
|
|
|
||||||
Л |
= |
, |
i* |
1 , |
/3 + 2 |
|
||
t&U+ |
^ ---- ]Г + |
tц3— 1) ) ^12 + |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
— (M 0 + M 0). |
|
|
|
|
|
|
+ /1 (0 — |
|||
dy18 |
|
|
|
|
|
г ~ ~ ¥ ~ |
||
= |
[t - Т^гУг)- )Уи + |
----Ц —tfa (0 + |
Л (0) |
|||||
dt |
||||||||
И |
|
|
|
|
|
* ~~ 1Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
~ м |
~ ~]г У2 |
2f2( 0 + МО- |
|||
§ 3. Общий вид матриц /Со*3, А ^3. Инвариантность матриц Q®*3
В равенствах (2.11) положим
К1а]в KoNo, |
A?3 = IK'AoNo, |
где Л^ст —. произвольная, достаточное число раз дифферен цируемая матрица порядка 60.
При этом первое равенство (2.11) снова обратится в то ждество. Действительно,
UK[o] = i; K,ASMSKaNc = K „AW AJV„ = |
. |
Для построения величин в k-u приближении умножим
{k + 1)-е равенство (2.11) слева на М> а справа на N71. Получим
Ш К 1а^Ы 71= |
М К аЫ+ Л ск}М ё '+ |
или, обозначив |
MKlan N a\ |
Qc1 = |
\Q ln = Q[,4 A„ + MKaNaAl^ N 7 ' + M D ^-']N7'
Последнее равенство эквивалентно следующим р неза висимым матричным равенствам:
+ M sK aN 0K ^ N 7 ' + M sD lf ~ nN 7' |
(s = ........1 p). |
Отсюда
A„Q $ — Qlia’Ao + |
NO№ N 7 ' + |
/М оО^-Чд^1, |
(3.1) |
ASC$] = Q ^]A„ + |
M,D\k~nN7' |
(Эфа). |
(3.2) |
Из (3.1) получаем |
|
|
|
Л ‘‘> = N 7 ' (A„QLa — Qo‘ ]A a — M |
M k ~ l l N 7 ' ) N „ |
|
|
Здесь по-прежнему Q[,o — произвольная, достаточное число раз дифференцируемая матрица порядка ka.
Равенства |
(3.2) |
однозначно |
определяют |
(s =£ a). |
Покажем, |
что |
Qjj1 (s Ф a; |
A: = 1, 2,...) |
не зависят от |
Na. Для этого, очевидно, достаточно показать, что матри |
||||
цы MsD^a~1^ N71 не зависят от Na. |
|
|||
При k = |
1 |
|
|
|
o S W = |
|
лг'ед™ + 4r4Jtf>Ag>>W = |
||
— |
—- ^-h K a — |
^ |
|
— |
Л / 0B \K* o— - f - A Ao o |
A j / C |
||
Ho (CM. (2.10)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
^B^K,c - |
A| - |
o |
A |
o 1A , A |
T |
a A= o а£ст*— |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
? 1 = |
|
D |
™ |
К о |
d x |
* |
|
а
MsD™Nol = MsDor°3 \Na„Efta |
(sФ a). |
(3.3) |
Подставим (3.3) в (3.2): |
|
|
A,Qso3==Qso3А0-f- MsD\j ^ |
(s |
|
Сравнивая последнее равенство с равенством (2.16), ви дим, что tfi1 = Q[i] U0=£fe{r, И, значит, с точностью до Произвольной субматрицы QoJ
При 6 = 2 |
1 = |
Ob4 Uo-e*,- |
(3.4) |
||||
|
|
|
|
|
|||
W |
|
+ |
л - ' ( л |
+ |
|
- |
|
- а д У 4 + |
|
|
+ л ^ л у А = |
|
|||
= |
|
(Ллгй - QH S A '- M J J V 'N ? ) N , + |
|
||||
+ |
d (WyJATj |
|
|
|
|
|
|
|
4~ A>1 |
|
|
|
|
||
-{- |
aiV^ Л СА |
/ 0 -j- A y K a N o N 7 |
(AoQoa -— QcroAa |
|
|||
— |
M a r t 03^ |
1) Na + A zK aN aN o ]lAoNa] = |
|
|
|||
= |
KQa1(AoQoa |
QooAo— MaDa 3 U0-E fea--- --2. |
|
||||
+ ii^ ! L w<, + w y ^ |
+ V |
Л ^ |
" „ + |
|
|||
+ |
a /v 0 |
r |
|
|
Л ^ Ч д ^ |
|
|
S |
i ----- BAQa 3W„ — fijKJVo + |
|
|||||
+ лк® !л„<йу—Q^ A,,- |
|
|
4- |
|
|||
ж0ср] |Wo_£l _ i j t |
+ |
||||||
|
|
7 |
/ |
|
° *» |
dx ‘'о I Na |
|
4- 4IA'0A0,V(,J = |
|A’Q4) (д^Ц _ |
_ |
д,о£,[о] |
|
|||
■E*J +
+ ~ s s + Л° '[ Л‘“a r - BiKQP—Вгк<, + л,К<$]д о.
+ AtKa (Л0Q«? QovAa—MaD»11'Vo—£*„) + 4,/(aA<Jjj д,^
|
Отсюда в силу равенств (2.17) и (3.4) |
|
|
||||||||
О'Ч = |
[КУ'Л',1’ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
«и®1 |
|
|
|
||
|
+ |
Л |
+ |
Л |
^ л У |
1 + |
Л , ^ 0]Л ?]) ]j |
No, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJ\No=Eka |
|
т. е. |
Do1 = D o1|wa-B*0 |
NB. |
|
|
|
|
|||||
|
На основании последней зависимости из (3.2) следует, |
||||||||||
что Qsa] = |
QSa11Nts=Eka |
и, |
значит, с точностью |
до произ |
|||||||
вольной матрицы ($$ |
Qa 3 = |
Qa1 Uc=£A(J. |
Допустим, что |
||||||||
установлены инвариантность Qa3, ..., |
Qx?~l] и зависимости |
||||||||||
D a3 = |
£ # 3 Ua=Ek(j |
Na |
|
(/ = |
1, . . . , |
k — 2). |
Покажем, |
||||
что тогда |
Qa*3 инвариантна |
относительно |
Na. а |
|
|||||||
|
|
|
D ^“ l] = D ^ -11 \ы^Еко |
Na. |
(3.5) |
||||||
Преобразуем выражение для |
D ^-13 |
в |
предположении, |
||||||||
что |
k > 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ =i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
/ |
|
|
|
|
Л— V |
|
. \ |
|
+ Л5-1у; (л,_, |
— Bv^*-vI + £ л-ду-^лУ1)= |
||||||||||
|
|
v=i |
\ |
|
|
|
|
j=o |
|
J |
|
2 |
KlcSnAlJJ + Klok-"A V |
+ |
dK[nk- l} |
|
|
|
|||||
|
d% + |
|
|
|
|||||||
/=2 |
|
[fc-v] |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В Л 1^ |
|
|
|
|||
+ V |
2 |
л ,_ | ^ |
-------V |
v |
+ |
|
|
||||
|
|
V— 2 |
|
|
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ V ^ iW CP-^A S4 + V |
|
^ Л Д У " " 1^ ' 1 + |
|||||||||
|
|
v=»l |
|
|
|
|
v=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A—v>l |
|
|
|
||
+ A° ' X S
V^l/~2
Но |
|
|
|
|
|
fc-i |
к ? -,,л£л = |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
/-2 |
k-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= у K $ - nN jK ' (Л Д З - с?Шл,(- м (,о!,/- ,^ 1 ч д, |
1 |
|||
|
/«2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
лгог=»е* |
а, |
|
|
L/'=2 |
|
|
|
«Р -Ч А ?! + -** £ |
П =K<№~"NaN7' ЛоСЙ - |
Qoo4c |
|
||
|
— Mo (D L01 |N„—eft(f Л/о + Ко |
j к i |
-f |
|
|
|
+ l |
Wo + K Q ^ -'1- ^ |
|
|
|
|
|
К ?-Ч Л ‘Ч + |
|
N |
K„; |
|
|
|
|
|
|
2 |
а д '* -ч = 2 |
= f 2 |
BvKS,‘- vl |
ЛА |
|
V = l |
V = 1 |
l v = l |
|
"o=£b |
a» |
|
|
||||
2 |
A VK ^ - V]A S,01 = |
у A , K <3S,*-V1A W |
'A „/V„ = |
|
|
V = 1 |
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
2 A,Klr v]№ |
|
A/a; |
|
|
|
v-1 |
|
^cr=£fc |
|
|
|
|
|
||
2 |
*2 AvK^_v_,]Atn = |
|
|
|
|
V-J /«2 |
|
|
|
|
|
|
= 2 2J AvK Q Lck- V 4]N aN o ' (ЛaQaa — <2сЙЛс |
|
|||
|
v=l /=2 |
|
|
|
|
|
— А1о£)(о,- ,)КГ1) К о = Г 2‘ * 2 A * K P |
v яАоя |
■INgef. |
A/,- |
|
|
|
V=1 /=2 |
|
|
|
[Л—V)
v=2 |
V=1 |
|
А—I |
/ WA't*—'V—1] |
|
= £ |
Л ( — |
1 = |
V=1
[fe-v f d(KQ о
- £ *
V=1
-13
- я „ + KQ V v~'1 |
+ |
|
+ KQlo ~ ^ ‘1NaN7' [л„(5Й - |
QWA 0 _ |
|
|
|||||||||
|
- л Ц о Е . 01 |
|
|
|
^ |
+ |
к |
0- ^ - ) л /„ - 1|л '<,) = |
|
||||
|
[ к |
|
|
|
vi |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
S A--. - T 7 — + |
2 |
A ^ - v",1Ai4 |
•ЛГ*. |
|||||||||
|
v= -2 |
|
|
|
|
|
v=l |
|
|
|
Na—Ek- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На |
основании |
этих |
соотношений |
|
|
|
|
||||||
Тем самым равенство (3.5) доказано. Тогда из (3.2) сле |
|||||||||||||
дует, что Q[? = |
QsS1 |
|
, |
|
и, |
значит, |
с точностью |
до |
|||||
произвольной |
матрицы |
who |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
п№ — п1к1\к, |
в |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ца |
— Vo |
\Na=Efcg, |
|
|
|
|
|||
что означает инвариантность матрицы Q?] относительно |
Nc- |
||||||||||||
В силу вышеизложенного по индукции получаем. |
|
||||||||||||
|
ОЕ.1=' |
D |
p |
- |
N |
c |
|
|
(г |
=1 ,2 , |
), |
|
|
|
Q p= |
Q p k - e * 0 |
|
|
|
(/•= 1 ,2 , |
) |
|
|||||
и, далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tfP = |
KP k |
- E*o • Nv |
|
(r = 0,1,2, |
), |
|
||||||
Л-P = Nc |
|
|ло=£. |
*Na |
|
(r = |
0 ,2,3, 4, |
), |
|
|||||
№ |
= N p A P \Nc_Ek |
|
|
|
dNr |
|
|
|
|||||
Na- N p — |
|
' |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||