книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdf$ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ 121
Д3 (U) = (U- XthEJ (U- ЯтЕ,) (U- Я<*>£,) =
— 36 |
24 |
— 12 |
24\ |
|
— 72 |
48 |
— 24 |
48 |
1 |
— 72 |
48 |
— 24 |
48 |
Г |
— 36 |
24 |
— 12 |
24/ |
|
Примем
Д4 (U) = ( U - Я(1)£ 4) (1и - X(2)EJ (U - Х(3>£ 4) = |
|
|
|
— 24 |
О |
О |
24ч |
— 36 |
0 |
0 |
36 |
— 24 |
0 |
0 |
24 |
,— 12 |
0 |
0 |
12, |
Примем |
|
|
|
Преобразующая матрица |
<2 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
К = |
(K^K sK 4) = |
3 |
4 |
2 |
3 |
» |
4 |
5 |
2 |
2 |
|||
а |
|
<2 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
м = |
/ г ’ |
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
= |
— 1 2 — 3), |
Л4г = |
(0 |
0 |
— 1 2), |
|
М„ = (— 3 2 - 1 2), /И, = (1 О 0 - 1).
|
, что |
Л1 == |
я(1) = |
1 |
= ~ 1 , |
||
Л8 |
(4) |
_ |
—2. Поэтому |
|
|||
|
/ 1 |
0 |
0 |
|
о\ |
|
|
|
л = 1 |
° |
— 1 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
||
|
1 |
° |
|
|
|||
|
0 |
0 |
-- 2 / |
|
|||
|
\ о |
|
|||||
Составляющие |
матрицы U: |
|
|
|
|
||
U x = К А Ж =
U й = К 2А 2М ъ =
и я = К А Ж =
U , = К А Ж =
§ 9. Матрицы ортогонального проектирования
Введем в рассмотрение матрицы |
|
|
Р. = КоМ0 ( а = 1 , 2 , |
р), |
(9.1) |
где Ко, Мо — матрицы, фигурирующие в разложении (8.1). Матрицы Ра инвариантны относительно Ко• Действи
тельно,
Р а = К аМ а = K a N a N j ' M a = КаМ а = Ра-
Непосредственной подстановкой выражения (9.1) в (8.1) получаем
UPa = PJJ = Ua (<J=1, 2.......... |
р). |
Как видно, с помощью матрицы Ра можно выделить ор тогональную составляющую Ua матрицы U, соответствую щую изолированной группе о собственных значений этой матрицы.
Отметим еще следующие равенства, справедливость ко торых устанавливается без труда:
Да (U) Рв — РаДо {V) = Дa(U) |
(СГ = 1, 2, .. ., р). |
С использованием равенств (3.5) легко доказывается, что Ра (о — 1, 2, р) — проекционные матрицы, удовле творяющие соотношениям
Ра = Ра |
(or = 1; 2.......... р; |
т = 1, 2,. ..), |
Paps = 0 |
|
.(9.2) |
= |
|
7 |
0=1 |
|
Вышеизложенное позволяет чисто алгебраическим пу тем построить проекционные матрицы Р0 (а — 1,2, ...» р). Хорошо известно другое представление проекционных матриц, а именно, матрица, ортогонально проектирующая л-мерное векторное пространство R на £0-мерное инвариант ное подпространство R0, соответствующее изолированной
группе собственных значений |
Я(2а>....... |
Ai*J матрицы U, |
|||
равна |
(см., например |
[54]) |
|
|
|
Ра = |
-2ST $ №„ - |
у Г ‘л |
(° = |
1. 2.......... |
Р), (9.3) |
|
v<T |
|
|
|
|
где уа — спрямляемая замкнутая дуга, проходящая в комплексной плоскости на положительном расстоянии от собственных значений (спектра) матрицы U и отделяющая
собственные |
значения Х\а\ Ai0>, ..., |
от остальных соб |
|
ственных значений |
матрицы U. |
|
|
Свойства |
матриц |
(9.3) вполне |
аналогичны свойствам |
матриц (9.1), т. е. матрицы (9.3) удовлетворяют равенствам
(9.2).
Мы покажем, что, более того,
|
~ |
ф (ХЕп - |
V)-' dX а |
КоМо |
( с т = |
1 , 2 , |
. . . , |
р ) . ( 9 .4 ) |
||
|
|
Уа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
Ni |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N■ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
NP. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— квазидиагонадьная |
матрица, |
приводящая |
квазидиаго- |
|||||||
нальную |
матрицу А |
к |
нормальной |
форме Жордана |
||||||
J |
= |
diag (Jlt JZt ..., Jp). Тогда, принимая во внимание (3.9) |
||||||||
и |
(3.7), |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
(ХЕ„— ( / ) - '= |
[К(ХЕ„ — А) М\~'= [KN (ХЕ„- J) |
|
||||||||
|
|
= |
M~lN (ХЕа — У)"1 N~'K~' = KN (ХЕ„- |
J)~'tГ ' М . |
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(ХЕп- |
U)-' = |
£ |
№ |
. - Л Г ' NT' М,. |
(9.5) |
|||
Матрицы Js являются квазидиагональными матрицами, диагональные блоки которых представляют собой клетки
Жордана Jis):
Js = diag {J?).
В соответствии с этим
№ , - J ,r ' - |
№ „ - |
(9.6) |
Обозначим через ySs) контур, содержащий внутри себя собственные значения клетки Жордана jjs) (которые, ко нечно, одинаковы), а через у{8) — контур, который не со
держит внутри себя собственных значений |
матрицы J\s) |
и проходит на положительном расстоянии от |
них. |
Покажем, что
§(\E tsl- A sY 'd \ |
= 2niEtsl, |
(9.7) |
|||
v f |
|
|
|
|
|
cf> (XEksl- J ? r ' d X |
= 0. |
|
(9.8) |
||
Действительно, обозначая общее значение равных соб |
|||||
ственных значений |
матрицы Jjs) |
через |
X;s), |
будем иметь |
|
x — xjs) |
— 1 |
|
|
О |
|
|
О |
X - Х\*> |
|
|
О |
|
О |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
О |
О |
|
|
X— x[s) |
Обратная матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|(Х ~ |
|
|
+ |
|
+ (я - |
\Г ? “-*нкя + |
|
|
|
+ (Я - |
я |
+ |
+ |
(Я - |
я!‘У я ‘='-'], |
|
Емsi |
Hkil |
|
|
|
- ЛТ1- X — Xf |
+' (X — Xf'f + |
|
(X — X\5')ks i' |
||
|
|
|
|
|
(9.9) |
Здесь Hksi — квадратная |
матрица порядка |
ksh все эле |
|||
менты которой равны нулю, кроме элементов первого после главной диагонали косого ряда, которые равны единице (матрица сдвига).
Проинтегрируем обе части равенства (9.9) по некоторому замкнутому контуру у. Получим
$ |
- Л Т ‘ Л - |
j) |
, |
(9-10) |
V |
|
|
1 |
V |
так как
V
Если у = у/5>, то контурный интеграл в правой части равенства (9.10) равен 2яг, и мы получаем соотношение
(9.7). Если же у = yjs), то этот интеграл равен нулю, и,
значит, справедливо и другое соотношение — (9.8). Учитывая (9.6), (9.7) и (9.8), находим
Су (kEk(J Ja) |
1d!K= 2niEk , |
(9.11) |
|
Уо |
|
ко |
|
|
|
|
|
ф (hEks— Js) |
l dh = 0 |
(s=^o). |
(9.12) |
Уо |
|
|
|
Наконец, используя равенства (9.5), (9.11) и (9.12), будем иметь
- 5 Г $ № — U T ' A -
Уо
1 |
KSNS<j>(\Eh - JJT 1dXNj'M, |
||
2т |
|||
|
Уо |
||
|
|
||
---- 5НГ K°N° Ф |
- * r ' dWj'Mo = KoMo = Pa- |
||
|
Vo |
|
|
Таким образом, соотношение (9.4) доказано.
В заключение этого параграфа укажем способ преобра зования матрицы U к квазидиагональному виду в случае, когда собственные значения какой-нибудь изолированной группы неизвестны.
Пусть, например, неизвестны собственные значения, включенные в последнюю группу (группу р). Мы можем построить матрицу Ар (С/), поскольку остальные собствен ные значения матрицы 0 предполагаются известными, а значит, можем построить и Рр.
Из последнего равенства (9.2) находим
р — 1
Линейно независимые столбцы матриц Р -р и Рр обра зуют матрицу {К-рКр), преобразующую матрицу U к квазидиагональному виду
причем собственными значениями матрицы А__р являются известные собственные значения матрицы U, включенные в первые р — 1 групп. Таким образом, задача по приведению матрицы U к квазидиагональному виду в соответствии с раз биением ее собственных значений на р групп сводится к задаче по приведению к квазидиагональному виду матрицы А _р в соответствии с разбиением ее собственных значений (известных) на р — 1 группу.
§10. О приведении к квазидиагональному виду
иразложении на составляющие одной матрицы
специального вида
Рассмотрим квадратную матрицу и и матрицу U, опре деленную равенством
Такое соотношение, в частности, встречается при пере ходе от системы дифференциальных уравнений второго по рядка к системе уравнений первого порядка.
Будем предполагать, что и — матрица простой струк туры порядка п. Заметим, что отсюда не следует, что V так
же будет матрицей простой структуры. |
|
|
Выясним прежде всего, в каком соотношении |
находятся |
|
собственные векторы и собственные значения матриц и и U. |
||
Пусть vlf v2, |
vn — собственные значения, |
a x lt х2, ... |
..., хп — соответствующие собственные векторы матрицы и. Введем следующие обозначения:
где
|Л — X.-1
В соответствии с этим будем иметь
10, |
i ^ l , |
»W = й / = |
n i = i, |
11, |
= V/, u = 2 J v№ • /=1
Допустим, что /С/— собственный вектор матрицы С/, отвечающий собственному значению Л/. Представим К в виде
хО)
|
|
(2) |
V |
|
|
|
X |
|
|
где х«о — некоторый |
л-мерный |
вектор (матрица-столбец). |
||
По определению |
|
UKi = ЦК,, |
|
|
или |
|
|
||
|
|
|
|
|
\£„ |
0 |
Д * го / |
V |
2'/ |
Отсюда |
— ««и = |
|
(10.1) |
|
|
|
|||
|
|
кЧ> = Я./КС2». |
(10.2) |
|
Подставив (10.2) в (10.1), получим |
|
|||
|
ш*<2>= —-^х(2>. |
(10.3) |
||
Равенство (10.3), очевидно, будет удовлетворяться, если |
||||
х<2>= |
Ху, |
|
|
|
ft? = |
— V/ |
(/ = |
1,2, . . . , л). |
|
Таким образом, каждому собственному значению V/ мат рицы и соответствуют два собственных значения матрицы U, которые даются формулами
^ « ^ ( c o s ^ + i s i n - ^ ) ,
(10.4)
ЦК = i V \ M (cos argv' + 2rt + «sin .argvf + 2 n ), (где i =■ V — 1 — мнимая единица.)
Из (10.2) находим
к\" = Х\"к}, |
>4П = |
4 'Ц , |
|
||
так что собственным значениям |
(10.4) матрицы U отвечают |
||||
соответственно два |
собственных |
вектора |
|
||
К\п = |
, |
К р = |
, |
(Ю.5) |
|
линейно независимых при любом v ^ O .
Аналогичным путем для транспонированных собствен ных векторов транспонированной матрицы £/' получим сле дующие выражения:
Ai^ = (fi/ XS'Vy),
M i " = (\if M'V/).
Легко видеть, что
|
M W |
=0 |
((а —s)2 +•(I - г)г Ф 0). |
|
||
Если V/ Ф 0, то удобнее принять |
|
|
||||
|
|
|
м " 1= |
-ф - ft»/ |
М® w), |
( 10.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м5л = |
- ф - ( и , |
tfV j). |
|
При этом |
будем |
иметь |
|
|
|
|
Mia)A‘5) |
= M |
ff5 |
(/, |
г - 1 , 2; |
а, s = l , 2, |
л; |
|
|
|
Vo, Vs ^*0), |
|
|
|
м Р икР - А Я
Если V/ =£ 0 (/ = 1, 2, .... я), то квадратная матрица по рядка 2я, составленная из 2п собственных векторов (10.5), преобразует матрицу U к диагональному виду.
При наличии нулевого собственного значения матрица V уже не может быть приведена к диагональному виду, ибо векторы (10.5) становятся линейно зависимыми.
В этом случае U может быть преобразована к квазидиагональному виду. С этой целью введем в рассмотрение прямо
угольные матрицы |
|
|
к, = (*‘ |
* , - ( ■ * « ° 1 |
(10.7) |
Очевидно, |
|
I — /» |
|
js |
f |
|
|
Далее, нетрудно проверить, что |
|
|
|
MtVKt = h t |
(t = 1, |
2, .. |
Л). |
где
М!г)
Пусть
|
V/т^О |
(i = |
1,2, |
г), |
|
|
v, = 0 |
( i - r + 1 |
.......... п). |
|
|
Составим матрицы |
|
|
|
|
|
|
к = (*}"/$> |
K V № K ' +i |
К п), |
||
|
м ’ = (Л)!1)'м ^ 1' |
м ({гм['гм ',+j |
м'„), |
||
где KV\ |
м \п (I = 1; 2; / = |
1, 2, |
г) определены форму |
||
л а м и ^ ) . (10.6), а |
Л4;- (t |
— Л -{- 1.......«) — формулами |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
где |
|
М //Т = Л, |
|
||
|
|
|
|
|
|
Л = |
diag (Я.)11, |
|
М°, |
Л,+1, |
Л„), |
|
|
|
|||
а
В соответствии с этим разложение U на составляющие имеет вид
где