книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Произвольный проекционный оператор Р в R осуществ­ ляет проектирование R на подпространство S — PR парал­ лельно подпространству Т = R — S.

Действительно, множество векторов

образует некоторое подпространство 5 пространства R. Все пространство R можно рассматривать как прямую сумму двух подпространств 5 и Т = R — S. Произвольный вектор х £ R разлагается на сумму

Проекционному оператору в произвольном базисе отве­ чает проекционная матрица.

Действительно, если Р — матрица, отвечающая опера­

трицы. Для того чтобы матрица

Р = Р г + Р ,

также была проекционной, необходимо и достаточно, чтобы

матрица, непосредственно следует из леммы 7.1, так что оста­ ется показать, что ранг матрицы Р равен rx -f г2.

Матрицы Рх и Р2 разложим на множители:

Рг = KxMlf Р2 = К2М2,

где /Ci, Мх — матрицы ранга гх и размеров п X гх и rx X п соответственно, /С2, М2— матрицы ранга г2 и размеров п X г2 и г2 X п соответственно.

Матрица

соответственно имеют ранг, равный Я. Действительно, учи­ тывая (7.12), имеем

Отсюда видно, что ранг произведения МК равен г'. Но ранг сомножителей не меньше, чем ранг произведения, и, поскольку ранг матриц М и К не может быть и больше г', их ранг в точности равен г'.

Остается к произведению КМ применить неравенства Сильвестра:

К -f г' — г <^г

Отсюда

г = г' = г1 + г2.

Здесь К, М — невырожденные квадратные матрицы поряд­ ка п. Умножая равенство (7.15) справа на К и учитывая, что

МК = Еа

в) 4~ Дi 4" 4~ Р р ~ Я».

и А — некоторая квадратная матрица такая, что

где 0 и Е — соответственно нулевой и единичный операторы. Тогда P lt Р 2, ..., Рр— проекционные операторы, расщепля­ ющие пространство R на подпространства R ly /?2, ..., R p (Rt = PiR)t m. e.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так же как и в предыдущей лемме, по умножении равенства б) на P t убеждаемся в том, что операторы Р { (i = 1, 2, ..., р) — проекционные.

Далее, из условия б) получаем

Г л а в а IV

РАСЩЕПЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА НА ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА.

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ

§ 1. Минимальные многочлены вектора, векторного пространства, матрицы

Рассмотрим я-мерное векторное пространство R над чис­ ловым полем ЗС и линейные операторы в нем. Если А —

тать, что нулевая степень любого линейного оператора в

линейным оператором А тоже представляет собой некоторый линейный оператор, а именно:

f(A) = а0Ат4- «1Л'П- 1 4 - 4 - a,„_iА 4- а „ Д

З а м е ч а н и е . Пусть / (Я) и g (Я) — два многочлена относительно скалярного аргумента с коэффициентами из поля 3i. Тогда в силу того, что для любых целых неотрица­ тельных р и q (а в случае невырожденного оператора для любых целых р и q)

Л М * = Л Р+* = А М Р,

имеем

f(A)g(A)=g(A)f(A),

т. е. любые два многочлена с коэффициентами из поля 3£ относительно одного и того же линейного оператора ком­ мутативны.

Многочлен скалярного аргумента А, со старшим коэффициентом, равным единице,

Ф (^) = ^ + ctjA?- 1 -f- -f- «21 • ■• *

называется аннулирующим многочленом вектора х , если

ср (А)х = 0 .

Аннулирующий многочлен вектора х наименьшей степе­ ни называется минимальным аннулирующим многочленом векторах или просто минимальным многочленом вектора х .

Допустим, что степень минимального многочлена век­

линейно независимы, так как нет многочлена степени р — 1 ,

ф(А)=гО.

Действительно, если допустить, что ф (А,) Ф 0 , то соглас­ но (1.1) ф (А,) — аннулирующий многочлен для х , что невоз­ можно, так как степень минимального аннулирующего мно­ гочлена вектора больше, чем степень многочлена ф (А,).

Каждому вектору х отвечает только один минимальный многочлен. В самом деле, пусть

— два минимальных многочлена вектора х , т. е.

Но степень многочлена ф (А) — <р (А,) во всяком случае меньше, чем р, поэтому в силу равенства (1 .2 )

ф W ~ <РW = 0,

и, значит,

=(/ = 1 , 2 , . . . , р).

Пусть ф (А,) — произвольный аннулирующий многочлен вектора х , а ф (А)— его минимальный многочлен. Тогда

Ф (А,) нацело делится на ф (А,).. Действительно, степень ф (А,)

г*

не меньше, чем степень ф (А,). Разделив ф (А.) на ф (А,), полу­ чим

нимального многочлена ф (А,).

Многочлен ф (А,), который является, аннулирующим для любого, вектора х из R, называется аннулирующим много­ членом пространства R.

Пусть g = (e\ ez ...en) — базис пространства R , а ф (А,) — аннулирующий многочлен пространства R:

ф (Л ) * - 0 (<— 1 , 2 ............я) (1 .6)

Таким образом, ф (Я) является аннулирующим многочле­ ном пространства R . Из всех многочленов с равными едини­ це старшими коэффициентами, удовлетворяющих соотноше­ ниям (1.6), ф (Я) является многочленом наименьшей степени. Этот многочлен называется минимальным многочленом про­ странства R.

Заданием линейного оператора минимальный многочлен пространства определяется единственным образом. Из един­ ственности минимального многочлена всего пространства следует, что он не зависит от выбора базиса.

Минимальный многочлен пространства /?, являясь ан­ нулирующим многочленом для любого вектора из /?, де­ лится на минимальный многочлен любого вектора х £ R без