книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

что означает линейную зависимость векторов x lt Jea, ...,^«+1.

применить оператор А, то полученные векторы Ах', А х " , ...

также будут принадлежать одному и тому же классу, кото-

л

рый обозначим через Ах. Линейный оператор А, таким образом, переводит класс в класс и потому является ли-

нейным оператором в пространстве R.

Многочлен ф (Я) называется аннулирующим многочленом вектора х по mod I, если

Ф(Л)а: = 0 (mod/).

Аннулирующий многочлен вектора х по mod I наимень­ шей степени называется минимальным многочленом векто­ ра х по mod /.

Многочлен, который является аннулирующим для лю­ бого вектора х из R по mod /, называется аннулирующим многочленом пространства R по mod /.

Аннулирующий многочлен пространства R по mod / наименьшей степени называется минимальным многочленом пространства R по mod /.

Минимальный многочлен вектора (пространства) по mod / есть делитель минимального многочлена вектора (пространства). Пусть, например, фА(Я) — минимальный

многочлен вектора х по mod /, а ф (Я,) — минимальный многочлен того же вектора х. Тогда

<р(л4) х = О

и, следовательно,

Ф (Л) х за 0 (mod /).

Значит, ф (Л) в то же время является и аннулирующим мно­ гочленом вектора х по mod /. Степень этого многочлена не меньше, чем степень многочлена ф2 (А,). Разделив ф (Я) на Ф2 (Я), получим

Ф (Я) = фх (Я) и (Я) + г (Я),

где г (Я) — многочлен меньшей степени, чем ф2 (Я). Из по­ следнего соотношения находим

г(А )х = 0 (mod/).

Так как степень г (Я) меньше, чем степень многочлена Ф2 (Я) (минимального многочлена вектора х по mod /), то полученное равенство означает, что г (Я) = 0 .

Точно так же можно показать, что справедливы и другие предложения, касающиеся аннулирующего и минимального многочленов вектора и пространства по mod /, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе свойствам аннулирую­ щего и минимального многочленов вектора и пространства. Это обусловлено тем, что сравнения по m od/, по существу,

означают равенства, только не в пространстве R, а в про-

л

странстве R.

В частности, справедливо следующее утверждение, кото­ рое будет использовано ниже: в пространстве R существует вектор, минимальный многочлен по mod / которого совпада­ ет с минимальным многочленом по mod / всего простран­ ства.

§ 5. Циклические подпространства векторного пространства

линейно независимы, а вектор А ре есть линейная комбина­ ция этих векторов:

А ре = ~ аре — ap-i А е — — а ,Л р_У (5.2)

Далее, в R существует векто𠧕*, минимальный много­ член по mod А которого совпадает с ф2 (Я):

(modА),

т. е. существует многочлен X (А) степени < т — 1 такой, что

многочленом вектора е и потому делится без остатка на

Учитывая (5.6), из (5.5) получаемф2 (Л) [g* — к1(А)е] = 0, или

mod А и для вектора g. Если к тому же учесть равенство (5.7), то будет ясно, что ф2 (А) является также и минималь­ ным многочленом вектора g. В таком случае векторы

g, Ag, A p~lg (5.9)

линейно независимы и образуют базис некоторого подпро­ странства А-

Так как ф2 (А) — минимальный многочлен по mod А вектора g t то векторы (5.9) линейно независимы по mod Jv т. е. никакая линейная комбинация векторов (5.9) с не рав­ ными одновременно нулю коэффициентами не может рав­ няться линейной комбинации векторов (5.4). Так как век­ торы (5.4) сами линейно независимы, то векторов

е, Ае, . . . , A m~le, g, A g .......... Ap~lg

линейно независимы и образуют базис инвариантного под­ пространства А + А с числом измерений т + р.

Если п = т -j- р, то R = Д -f- / а. Если же п > т + р, то, рассматривая R по mod (/х + /я)» выделим следующее циклическое подпространство / 5 с минимальным многочле­ ном я|)3 (X), который будет делителем а|)х (Я) и я|)2 (Я). Так как R конечномерно, этот процесс приостановится на некотором подпространстве /, (t С п). Таким образом, имеет место следующая

Т е о р е м а 5.1. Пространство всегда можно расще­ пить на циклические относительно данного линейного опера­

ко тогда, когда степень его минимального многочлена равна

симы. Это значит, что минимальный многочлен пространства есть многочлен степени п,

И обратно, пусть т =

е, А е , ..., А п~ хе,

где е — вектор из R, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом пространства R, образуют базис в R. Значит, R — циклическое простран­ ство. Теорема доказана.

Т е о р е м а б.З. Циклическое пространство расщепля­ ется только на циклические подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть циклическое простран­ ство R расщеплено на инвариантные подпространства / х и 1г\

R — I\ 12*

Обозначим числа измерений пространств R, 1г и / я соответ­ ственно через п, пг и я2, минимальные многочлены этих пространств — через i|> (Я), я|>х (Я), \|)2 (Я), а степени этих многочленов — через т, тх, т%.

странства сами циклические. Такое же расщепление допу­ скают и остальные подпространства / 2, / 3, .... /*. Приходим к следующей теореме.

Т е о р е м а 5.6. Пространство всегда может быть расщеплено на инвариантные циклические подпространства так, чтобы минимальный многочлен каждого из этих под­ пространств был степенью неприводимого в поле Vi много­ члена.

§ 6. Нормальные формы матрицы

Пусть дано расщепление л-мерного пространства R на два подпространства: /? = /j + / 2, где/j и / 2 — инвариант­ ные относительно А подпространства. Пусть, далее, 8 i =

где 8 = (8 i 82)* а А — матрица, отвечающая в выбранном базисе 8 оператору А. Представим эту матрицу в виде блоч­ ной матрицы:

А = i^ 11

= (8l Ац -f- 82^21 8l^l2 4“ 82^22)*

Отсюда

А 8 1 — 8 ^ Ц 4“ 82^ 21» А 8 а — 8 .1Д12 4" 8 J^ 22*

S в]

Из (6.2) находим

0 0

Про квазидиагональную матрицу, диагональные блоки которой являются матрицами типа (6.4), говорят, что она имеет первую естественную нормальную форму.

Если принять расщепление пространства согласно тео­ реме 5.6, то в соответствующем базисе матрица оператора также будет квазидиагональной матрицей с диагональными блоками вида (6.4), только в данном случае характеристи­ ческий многочлен каждого диагонального блока будет сте­ пенью неприводимого в поле VCмногочлена. Про квазидиа­