книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdf— изображения Лапласа функций х и h. Из (4.3) находим
L (х) = {рЕ — U)~l х (0) + (рЕ — U y 1L ф). (4.4)
Л е м м а 4.1. Для произвольной квадратной матрицы U имеет место равенство
|
|
L - ' [ ( p E - U r ' ) |
= eut. |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
К = (KtK2 ...Кт) — |
||||
матрица, преобразующая U к форме Жордана |
|
|||||
|
J = diag (Jг(A,!), Jз(Ь2), |
. . . , |
Jm(A.m)), |
|
||
• |
|
•м- /МЛ |
|
|
|
|
|
|
\м я |
|
|
|
|
так что |
|
лпг/ |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
и = KJM = 2 |
*С<Л {К) м в. |
|
|||
Тогда |
|
0=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СрЕ - U)-' = (рКМ - KJM)-' = U U pE -J) /И]-1 = |
|
|||||
Но |
|
|
|
|
= K ( p E - J ) - l M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(рЕ — J) = diag l(pEkt — Л), |
. . . » |
(/?£*m— V JJ. |
|
|||
Учитывая это, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
(ря - |
у г ‘ = 2 |
|
- |
л,)-1 /Wo. |
|
|
Отсюда |
|
0=1 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я-' [(р£ - |
У)-1] = 2 |
K °L ~' КрЧ - •/о)-1] м . |
(4.5) |
|||
|
|
0=1 |
|
|
|
|
Имеем (см. |
(5.9.9)) |
|
|
|
|
|
(р£ь0— Jo) |
1— \{р— К) Eka— HkaI 1= |
|
||||
|
|
Я , |
Я |
|
я*" |
' |
|
|
|
|
|
||
- р — л0 + ( P - V + ( P - V + |
+ (р-К )ка |
На основании последнего соотношения
L~' [(рЕк, |
kQ |
(4.6) |
|
|
Ч,)* |
Здесь принято Ща = |
Ека- Но |
^Ь?=Ы " ‘ ® |
Г С1—/оо ^ |
d p |
|
|
||
|
|
|
|
I |
(I = |
V — 1). |
|
|
|
(V — 1)1 |
|||
а |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
H t |
Hh t |
|
H it а |
|
|
|
/ V = £ * 0 + |
- ^ |
+ |
- ^ |
+ |
+ (*ст — |
1)! |
(так как tfjfj = 0 при г :> ka). Поэтому |
|
|
||||
LTl [{pEk(J— Ja)~l] = е*ка*е^ = |
|
*= eJ° {Ка) *. |
||||
Подставляя (4.7) в |
(4.5), |
будем |
иметь |
|
(4.7) |
|
|
|
|||||
I T 1[(рЕ — U)~l] = |
2 |
(Я<т) *М„ = |
/С*л Л4 = |
|
||
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
Используя эту лемму, вместо (4.4) записываем |
|
|||||
L ( x ) - L (еш)х(0) + |
I (еи/) L (Л). |
|
||||
Применяя обратное преобразование Лапласа, отсюда на ходим
* (0 = ешх (0) + L "1[L (eut) L (Л)]. |
(4.8) |
Для скалярных функций g и h имеет место теорема о свертке
Г - 1[L (е) L (А)] = j в (< - *) Л(S) * . |
(4.9) |
о |
|
Эта формула, очевидно, остается справедливой, когда одна из функций, например h, — векторная функция. Можно показать, что формула, аналогичная (4.9), имеет место и
в нашем случае, когда одна функция матрица, а вторая (h) — вектор.
Действительно, так как (см. (4.7) и (4.6))
т
L {еш) = (рЕ — {/)- = £ К»(/?£*„- J „ r ' М„ =
|
|
|
|
m |
*о |
1 |
|
|
|
|
а—1 |
|
|
|
|
ТО |
|
|
|
|
а=1 |
v=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L~' lL(eu,)L (ft)] |
|
|
|
|
|
||
- j ; |
K |
o ^ K |
^ X i . - 1^ |
;v |
] I (ft)l = |
||
<T=1 |
V=1 |
|
|
|
(v -1 )1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
|
|
|
|
,v—I |
|
|
S * • S ' W |
1 - т а г |
* = |
|||||
а=»1 |
v=l |
|
^ |
|
|
||
m |
} |
k° |
H l~ l (f — s)v_1 . ,, |
|
|||
j |
* . f |
S |
|
(V— 1)1 |
|
|
|
0=1 |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
< Я1 |
KaeHk<J {t |
s)e ^ lt- s)Moh(s)ds = |
|
|||
= f J |
|
||||||
о |
4-1 |
^ /П |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
f 2 |
/C0ey<J(*a) u-s)Ma/i{s)ds= |
f ev ('“ s) h(s)ds. |
|||
С учетом последнего результата соотношение (4.8) при мет вид
х (t) = ешх (0) + f ги {t~s)h (s)ds. |
(4.10) |
6 |
|
Остается х (0) выбрать так, чтобы удовлетворялось гра ничное условие (4.2). Имеем
х (Q = ео((,,* (0 )+ (' еи <'*~I)A (s) ds.
Отсюда
х (0) = е~т,х (t0)— f’e~Vsh (s) ds.
Подставляя значение х (0) в (4.10), получаем
x(t) = eU(,- ‘°)x <<„) - (' еи u~s)h (s)ds + (в" и~% (s) ds.
о |
oJ |
Отсюда |
|
х (t) = еи (t~to)x (t0) + |
J eu {t~s)h (s)ds. |
§ 5. Интегрирование путем замены переменных
Решение однородного уравнения
|
( 5 - 1 ) |
при начальном условии |
|
x(Q = с |
(5.2) |
можно построить и так.
Пусть К — матрица, преобразующая матрицу U к жордановой матрице У, так что
и |
= К Л С ' = K J M |
(М = к ~ ') . |
(5.3) |
|
В уравнении |
(5.1) произведем замену переменных |
|||
Получим |
|
х = Ку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ - - к -'и к и . |
|
|
или, учитывая |
(5.3), |
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
Матрица J |
имеет квазидиагональную структуру: У = |
|||
= diag (Ух (Xj), ..., Jр (Хр)). Столбцовую матрицу у |
разобьем |
|||
на блоки так, |
|
чтобы число строк |
/-го блока |
равнялось |
порядку клетки Жордана Jf (X/). Тогда будем иметь
Ji(Xj)
Как видно, наше векторно-матричное уравнение распа дается на р независимых уравнений
% - = ЫЦУ1 ( / = 1 . 2 .......... |
р). |
(5.5) |
Каждое из векторно-матричных уравнений (5.5) представ ляет собой систему с треугольной матрицей. Уравнения этой системы могут быть легко проинтегрированы последователь но, начиная с последнего. Построим решение уравнения
■ $ -= J,M y„ |
(5.6) |
пользуясь, однако, другим, более удобным способом. Фундаментальная матрица системы (5.6) имеет вид
|
|
|
|
Yj = eJi |
1 |
|
||
или, так |
как |
Ji(К/) = |
XjEk. + |
Hkj, Yt = e V /V . Имеем |
||||
"к,' |
= £ * / + |
H k .t |
|
H i t * |
|
H kr \ ki 1 |
||
e ' |
— — H----21— Ь |
+-1ГГГГ |
||||||
Легко видеть отсюда, |
что |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
‘ |
т |
|
f r |
x |
|
Hn.t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
tkr |
2 |
||
|
в |
* = |
О |
1 |
t |
|
||
|
|
(А/-2)1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
• « |
• |
• |
• |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
Таким образом, |
|
2! |
СЩ- 1)! |
Yt —eKi* О 1 t |
tki~2 |
|
(*/-2)1 |
0 0 0
Зная фундаментальные матрицы уравнений (5.5), можно построить фундаментальную матрицу уравнения (5.4) в виде квазидиагональной матрицы
~Уг
Общие решения уравнений (5.4) и (5.1) имеют соответ
ственно вид
y(t) = Y(t) у,
х (t) = KY (0 у.
Чтобы выполнялось условие (5.2), должно удовлетво
ряться равенство
x(t0) = KY(t0)y = c.
Отсюда
4 = Y -'(t0)K~'c = Y -'(t0)Mc.
Итак,
x(f) = KY (t)Y~l (t0)Mc.
Можно показать, |
что |
KY (f) Y~' (t0) М — еи |
|
Действительно, |
так |
как |
МК = Е, то |
K Y ( t ) Y - l ( t „ ) M = |
|
|
|
= К diag (К, |
(0 YT'(ta).......... |
Yp (t)Yj\t„))M = |
|
= К diag |
|
......... eJp‘e~Ji>,’)M = |
|
= /Cdiag(eA |
......... |
= |
|
-= KeJ |
=- e17 |
. |
§ 6. Расщепление системы на |
независимые |
|
|
|||
подсистемы меньшего порядка |
|
|
|
|
||
6.1. |
Преобразование |
квадратной |
матрицы к квазндна- |
|||
гональному виду. Пусть собственные значения |
матрицы U |
|||||
разбиты на р групп M0)» •••> |
(о = |
1, ...» |
р\ ^оk a — п) |
|||
при условии |
|
|
|
|
|
|
|
| ^ 0) |
- |
I > |
О |
|
(6.1) |
|
(<* Ф s; г = 1, |
, |
ka\ / = |
1, |
, |
k s). |
Тогда, как было показано в гл. V, существуют такие блоч ные матрицы
|
- л . |
к = (К,.......... Кр), |
О |
» |
'М,'
М =
ЧТО |
|
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = КAM, |
|
|
|
(6.2) |
|
МК = КМ = Е |
|
(М = К~') |
|||
|
|
||||
И |
|
|
|
|
|
и = |
2 |
кЛпМо, |
|
(6.3) |
|
|
а=1 |
|
|
М0 (а — 1 ,2 .......р) |
|
причем между субматрицами /Са, Л0 и |
|||||
имеют место равенства |
|
|
|
|
|
МаК, = |
| £ ‘“’ |
S=" |
a’ |
(6.4) |
|
|
I |
0, |
s ^ c r, |
(6.5) |
|
WC.=/<А- |
|
|
|||
6.2. Расщепление системы. Предполагая, что собствен ные значения, матрицы U разбиты на р групп при условии (6.1), введем замену переменных
р
X = ^ |
(6.6) |
где Ко — субматрица преобразующей матрицы К типа п х
X ka» у0 — столбцовая матрица |
новых |
переменных типа |
||
k0 X 1. |
|
|
|
|
Подставим (6.6) |
в |
уравнение |
|
|
|
|
- £ - = !/* + А. |
(6.7) |
|
Получим |
|
|
|
|
t K |
j w - = t |
UK°y°+ h- |
||
0=1 |
|
о=1 |
|
|
или, в силу (6.5), |
|
|
|
|
S |
|
(*~НГ— |
“ |
h’ |
Умножим слева |
на М: |
|
|
|
М £ |
|
КУо) = Mh. |
||
Полученное соотношение эквивалентно следующим р ра венствам:
м % |
К о 1 |
- ^ - |
— А а У о ) = |
(S = 1 ,2 , |
|
/?). |
0=1 |
' |
|
' |
|
|
|
Отсюда, |
учитывая |
(6.4), получаем |
|
|
||
|
ф |
= А д ,+ M„h |
(s= 1,2............ |
p). |
(6.8) |
|
Итак, с помощью преобразования (6.6) система (6.7) расщепляется на р независимых подсистем (6.8).
З а м е ч а н и е . Условие (6.1) может быть ослаблено. Так, в качестве матриц Ко можно взять субматрицы мат рицы К, преобразующей U к жордановой матрице J. В этом случае расщепленная система имеет вид
|
- ф |
= |
Jsys + MJ, |
( s = 1 . 2 ............р). |
(6.9) |
причем, |
вообще |
говоря, собственные значения |
субматриц |
||
Jo и J s при s Ф а не обязательно разные. |
|
||||
6.3. |
Случай матрицы простой структуры. В этом случае |
||||
матрица |
К, |
составленная |
из п линейно независимых |
||
собственных векторов матрицы U, преобразует последнюю к диагональному виду:
~К
О
л=
Всоответствии с этим расщепленная система (6.8) может быть представлена в виде
— = XаУа*Ь МдК (О = 1 ,2 , . . . , Л).
6.4. Полное расщепление в общем случае. В общем слу чае, когда U не является матрицей простой структуры, исходную систему можно расщепить на подсистемы вида (6.9). Произведем дальнейшее расщепление подсистем (6.9).
Итак, рассмотрим систему
(610)
где J (А.) — клетка Жордана некоторого порядка /. Систему (6.10) можно представить и так:
^ - = ( Щ + Н,)у + Ш
Положим |
|
|
у |
= х ( 0 |
z. |
|
Получим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
- £ - г + Х - § - = |
(ХЕ, + |
H ,)X (t) г + 4> (/). |
|
|||
Это равенство будет выполняться, если, например, |
||||||
|
|
|
- |- |
= Я,Х |
|
(6.И) |
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
= |
|
(6.12) |
Система (6.11) есть система с постоянной матрицей. Ин |
||||||
тегрируя |
ее, получим |
|
|
|
||
X = еИ{1 = |
Е[ + |
/ / / + |
~2f {НЛ2 |
-\— ц _ |
{Н$)1 |
|
так как Н) = |
0 {k > |
I). |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
tl—1 —1 |
|
|
' |
< |
-5т |
|
||
|
(/-1)1 |
|
||||
9С= |
0 |
1 |
t |
|
tl-2 |
|
|
(/-2)1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
Как видно, X — невырожденная матрица (det X = |
1). Учи |
|||||
тывая это, из (6.12) находим |
|
|
||||
|
Лг |
= |
Яг -|- X |
(t) ф (/). |
(6. 13) |
|
|
di |
|
||||
Пусть |
|
|
T i |
|
|
|
X 1 = |
Г = | |
I, |
г = |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
T i |
J |
\ Ч |
|
Ясно, что (6.13) распадается на I независимых уравнений |
||||||
первого порядка |
|
|
|
|
|
|
-§*- = te* + |
Г,1|> |
(к = 1 , 2 .........../). |
(6.14) |
|||
Итак, каждая подсистема системы (6.9) может быть рас щеплена на независимые линейные дифференциальные урав нения первого порядка вида (6.14), а замена переменных
x = K%(t)z,
где К — матрица, преобразующая матрицу U к форме Жор дана
%х
|
х = |
|
0 |
||
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
||
с субматрицами |
вида |
|
|
V |
|
t |
/2 |
|
|||
|
1 |
t r |
|||
|
|
|
2 |
% - |
|
Х/ = |
0 |
1 |
t |
? Г |
|
(А/ - |
|||||
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
1 |