Глава двенадцатая
ВЫ НУЖ ДЕННЫ Е КОЛЕБАНИЯ Н ЕЛ И Н ЕЙ Н О Й СИ СТЕМ Ы
С УЧЕТОМ РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ П РИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВО ЗБУЖ Д ЕН И И
1. Исходные уравнения
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний нелинейной колебательной системы с одной степенью сво боды с учетом диссипации энергии может быть записано в виде
т |
-f с [х + е/ (*а)1 + sax8 = еР cos (vt-f ф), (12.1) |
|
где т — масса; с — жесткость; |
a — коэффициент пропор |
|
циональности; еР — амплитуда |
вынужденных колебаний; |
|
v — частота |
возмущающей силы; ef (х) — член, учитыва |
|
ющий рассеяние энергии, который в общем виде может быть представлен как
( 12.2)
где х — перемещение; ха — амплитудное значение переме щения; 6 — декремент колебаний, который может быть функцией как амплитуды перемещения (деформации) ха, так и скорости или ускорения. Стрелки, направленные вправо в выражении (12.2), означают восходящее движе
ние, стрелки, направленные влево — нисходящее движе-
—*
ние. В уравнении (12.1) член се/(ха), характеризующий диссипацию энергии, является малой величиной порядка е, такого же порядка малости является амплитуда возму щающей силы еР, что обеспечивает баланс подводимой и рассеиваемой энергии в области резонансных колебаний системы.
Для упрощения записи перепишем исходное дифференииальное уравнение (12.1):
17r + ©2x=eO (x) + e/1(vO, |
(12.3) |
|||
|
со2 = |
— |
; |
(12.4) |
|
|
т |
’ |
|
еФ (х) = |
— ©2ef(xa) — —■х8; |
(12.5) |
||
e/i (v>t) = |
cos (vt + |
ф) — e<7cos vf; |
(12.6) |
|
|
|
eP |
|
(12.7) |
|
e?== — |
|
||
|
7 |
m |
|
|
2. Колебания системы в резонансной зоне
Резонансный случай будет иметь место тогда, когда © «
жv, где р и q — некоторые взаимно простые числа.
Здесь могут быть два случая: рассмотрение самой резо нансной области; изучение подхода к резонансной области из нерезонансной зоны.
В качестве исходного уравнения при рассмотрении ука занных случаев возьмем уравнение (12.3), которое для сокращения записи представим в виде
+ tfx=e/(x,f), |
(12.8) |
где |
|
/ (х, t) = — ©2еФ (х) — ^ x 3 + eq cos v/. |
(12.9) |
При этом в выражении для мгновенной амплитуды и час тоты необходимо ввести зависимость от угла сдвига фаз.
Решение уравнения (12.8) будем искать в виде
х *= и cos 0 + т г (и, vt, 0) + e2#2 (и, vf, 0) - f ..., |
(12.10) |
где |
|
0 = ~ v/ + ф = © f-f ф. |
(12.11) |
Ч |
|
Амплитуда и и сдвиг фаз ф должны быть определены из
следующей системы дифференциальных уравнений:
-jjr = &АХ(и, ф) + еМ2 (и, ф) + ...
*1Г = ш |
Т v + |
(“• Ф) + е25а («* Ф) + |
••• • |
(12.12) |
|||
причем разностьмежду |
собственной |
частотой |
ичастотой |
||||
возмущающей нагрузки |
при вынужденных |
колебаниях, или |
|||||
расстройка |
|
v ), не обязательно мала. |
|
|
|||
Как и в предыдущих случаях, для |
определения функций |
||||||
их(a,v t,0), At (м,ф), |
Вi(fi,ф) при i — 1 ,2 ... |
сперва |
находим |
||||
производные du |
и |
dhi |
; |
|
|
|
|
На основании выражений (12.12) находим
йЧ |
|
|
|
|
е2 |
M L |
|
dtа |
* |
е (“ - Т |
|
|
|||
|
|
да |
|
||||
+ |
(ю |
|
|
|
|
|
|
ааф __ |
е ©• |
р_ |
dBj |
в2 |
dBj |
А + ^ - в 1 + |
|
л» |
я v) |
дф |
аФ |
||||
£ 3 - •(— * ’)* + *[**+ (— * \* ] +
+ е8...;
+ e2|Bi + 2Ва ю —— vjj + e8...,
(12.15)
после чего, подставляя в левую часть уравнения (12.8) знаЛ2v
чения х из (12.10), из (12.14) с учетом выражений
(12.12) и (12.15) и располагая результат по степеням малого параметра, получаем
■дат+ <Л( = |
в{[( ш ~ 2- v) |
- 2шВ,] COS |
v< + ф) - |
|
- j (® ' - f |
» ) “ |
+ 2 т Л 1] s in ( f * + 1 1) + I P + |
||
+ |
f |
l |
[ |
ди |
дв 1
-1 Lаа
+•
+2
uА1^ |
|
ач> в г -- |
В?и j cos ( t |
- + |
t )— |
|||
, |
|
d A i |
|
|
|
|
|
|
Л1 + |
1 |
dtpВ г |
+ |
2А хВ |
г sin |
+ |
Ф) + |
|
я |
д в 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зя|з |
+ Qj|s> |
f |
,\ i& . |
+ |
||
|
|
J |
|
|||||
|
|
d A i |
|
|
|
|
|
|
- f v ) в , + 2 Z |
) A |
Ш |
в ' + |
|||||
|
|
|
|
|
1 + |
2 |
|
|
+ 2 d&u dЧty \1 © — f v ) A ] )4- es ..
Правую часть уравнения (12.8) согласно выражениям (12.10), (12.11) и (12.13) можно представить в виде
е/ (v/, х) = |
ef |vf, иcos |
v/ + |
ф|j -f- |
||
+ е2 {/* [v*»и cos ( у |
vf + |
+ f'x, |vf, и cos |
vt + фЭД X |
||
X |л х cos ^ |
v/ + ij)j — ttBj sin ^ |
vi + |
t|>^ + |
||
+ ^ |
( W- | |
v)]} + e8 - |
|
(12Л?) |
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ма лого параметра в правых частях уравнений (12.16) и (12.17), получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
^ |
+ 2 m |
\ & ~ |
i |
v ) + w |
{ G i - |
T |
v ) 2 + d t U l = = |
|||
= |
fo(и.vt, 0) |д® — “ vj U |
+ |
2<йАхj sin |
v f+ ip j — |
||||||
|
— [ ( ® - у |
v) y f |
— |
|
c o s ^ |
v/ + |
ф) ; (12.18) |
|||
а/а |
2 aipa/ |
(ш |
<? |
VJ + |
(® |
T |
v) |
Л' <0Й2_“ |
||
= h (". v/, В) + [((o2- ^ - v ) w - ^ - + ш А2 + (« -у г Л +
+ » ^ f B 1 + 2 A1B1 )y i n [f ^ + ^ )[ « — f v) ^ —
|
|
Аг + |
дАу |
Вг —иВ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
аф |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о («, vt, 0) = / [* , и cos |
|
|
+ ф ||; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 12. 20) |
fi («. vt, 0) = |
f'xJvif, и cos |
|
v/ + |
i|)jj «x + |
||||||
-f /^, J\’/, UCOS |
-Pj-vt -f 'ф)]^ 1 COS (Jj-vt + |
Ф^ — |
||||||||
x dAL _ d u L ( |
___P_ |
\ d jh _ |
2 ^ |
L By (a — |
v) — |
|||||
x дф |
аф |
\ш |
|
q v) аф |
z а/2 |
^ |
? ) |
|||
__2 |
д2ц1 л |
__ г>д3ц1 |
о |
__ о |
|
(® |
v\ 4 |
|||
2 |
dudt Al |
2 афdt |
Bl |
1 дидф |
<7 Vj Л** |
|||||
Функции |
/ ft (u, v£, 8) являются периодическими с периодом 2п |
по обеим |
угловым переменным vt и ^ vf + ф |. |
При определении щ(и, vt, 0), Ai(u, ф), Bi(u, ф) из
уравнения (12.18) для однозначности выражений J4I (H, ф) и Bi(u, ф) следует иметь в виду соблюдение условий, при которых в выражении для ui(u, vt, 0) должны отсутство
вать члены, знаменатели которых могут обращаться в нуль
(при ю = ^ v). |
|
|
|
|
Представив U i { u , |
vt, |
0), а также правую часть |
(12.18) |
|
в виде конечных сумм Фурье, будем иметь |
|
|||
иг (и, vt, 9) = |
|
2 fnm(«) е |
[nv<+m(JLvf-Hl’)] _ |
(12.21) |
2 |
1 |
|||
пт
fo(и» vt, 9) — 2 |
|
:[nvt+m(-£-vH-iI>)] |
2 fnm (w) £ |
(12.22) |
|
n |
m |
|
Подставив правые части выражений (12.21) и (12.22) в урав нение (12-18), найдем
+ [(a)_ Z . v) „ |
^ + |
2o>41] sin(-|-W + 4|))+ > (12.26) |
|
mi l*[/iv*+m( |
" |
] |
|
+ S S /S . W < 1 |
“ 0; |
||
n m |
|
|
|
[nq -f (m ±: l)p] = |
0. |
|
|
Суммирование в уравнении (12.26) идет по всем целым п, т (положительным, отрицательным и нулевым), для которых
nq + (tn ± \)р = 0, |
(12.27) |
в связи с чем в данном случае имеются комплексные экс поненты, имеющие вид
—<[(л+т— )vH-mf] t[(nq+mp)—<+тф]
— е 4 |
— е |
4 |
= |
= ['008 |
г sin |
vt + |
e~i{m±l). |
Кроме т о г о , |
следует иметь в' виду, что в силу выражений |
|||||
(12.21) /п± 1 делится |
на q, так |
что можно записать |
этот |
|||
сомножитель в виде |
|
|
|
|||
|
|
|
qo(— о о < ( у < 4- оо). |
|
||
Приравняв коэффициенты при cos |
vt -f ф| и sin ( ~ v f + |
ф|* |
||||
в уравнениях (12.20) и подставив при этом выражение |
для |
|||||
fnh{u) согласно формуле (12.24), получим |
|
|||||
|
|
(“ ~ Т |
+ |
|
|
|
|
|
2Л 2JC |
|
|
|
|
2л* ^ |
eim |
J |
J f0 (и, vt, ( f v t |
+ ф|) erb** sin Ы {vt) d0;) |
||
а |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.28) |
|
|
|
|
(“ ~ |
f |
|
|
|
2Л 2Л |
|
|
|
||
= 2НГ 5 |
f |
I |
f. k |
V/, (i> v t+ 4 ) ] e - itia\osQd(vf)dQ, |
||
a |
о |
0 |
^ |
^ |
|
|
(12,29)
где
0 =* ~ vt + "Ф; sin 0 = |
е/в_-е-'е |
(12.30) |
|
2 i |
|||
|
|
Полагаем, что внешняя периодическая сила меняется по синусоидальному закону, так что член, содержащий малый параметр в уравнении (12.8), согласно выражению (12.9) может быть представлен следующим трехчленом:
—* |
|
е/ (*i 0 = — ю2еФ (х) — е ~ х3 + vq cos \ t , |
(12.31) |
где о^еФ(х)— член, учитывающий рассеяние энергии в ко
лебательной системе; е х3— член, учитывающий нелиней-
ность упругой характеристики колебательной системы; eq— амплитуда внешней возмущающей силы. Тогда для первого приближения при p = q = 1 имеем х = «cos 0, а уравнение
(12.28) может быть представлено в виде
ef (х, t) = вФ0(«, cos 9) + в^ «8 + zqsmvt, |
(12.32) |
|||
где |
|
|
|
|
&Ф0(«, cos 0) = |
— ©2еФ(«, cos0) — ea«3cos30. |
(12.33) |
||
Обозначая далее vt = |
т и имея в виду, |
что = |
0 — т, сум |
|
му интеграла правой |
части уравнения |
(12.22) |
запишем в |
|
виде |
|
|
|
|
2Я 2П
= 2 е'0* J $ ®Фо(«. 6) e“ io(9~'r)cos QdxdQ+
ао о
+ 2 |
^ |
| j e^sin те iale~x)cos QdxdQ = |
= 2 |
e‘a* J |
e®o («. 6) e~m cos 0rf0 j Л т -f |
(12.34)
Так как для всех о, кроме о —О,
апри о а* О
впервой сумме конечного выражения (12.33) будем иметь одно слагаемое, имеющее вид
2Я |
|
2л J вФ0(«, 0) cos 0d0. |
(12.35) |
о
Из рассмотрения второй суммы выражения (12.33) сле дует, что интеграл
2Я |
2Я |
f cos Qe~m dB = | cos 0 (cos o0 — tsino0) dQ — |
|
о |
о |
|
2Я |
2Л |
|
= f cos 0 cos oQdB— ^ i cos 0 sin o0d0= я |
(12.36) |
|
о |
о |
|
при о = 1 и при о = — 1, поскольку второе слагаемое обра щается в нуль при любом о,, а первое слагаемое при о = 1 и о = — 1 будет равно
|
|
2л |
|
|
( 4 — i-sin20) I = 4 -2 л = я- |
(12.37) |
|
|
|
О |
|
Преобразуя последний |
интеграл правой части |
выраже |
|
ний (12.34), |
будем иметь |
|
|
2ft |
2Я |
|
|
j |
sin xei<rtdx — £ sin т (cos от *f tsinox) dx — |
|
|
|
2л |
2л |
|
= |
f sin xcos oxdx -f- J tsiti xsin ax — ± in, |
(12.38) |
|
|
о |
0 |
|
где in будет при o = l , a —in — при o = —1. Таким обра
зом, вторая сумма выражения (12.34) будет состоять из
двух слагаемых (при о = 1 и при о = — 1), т. е. будет иметь
вид
Поскольку
2i |
= simj) |
|
выражение второй суммы в уравнении (12.29) согласно (12.36) примет вид e<72jt2 sin ч|). Тогда окончательно урав
нение (12.26) можно переписать так:
|
|
|
|
1 |
2Я ^ |
|
|
|
|
|
2п ^ еФд. (и, 0) cos |
0d0 — |
|
|
|
|
|
2яа |
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
— 2egjx2sin i|) |
(12.40) |
||
Теперь |
рассмотрим |
интегралы, входящие |
в правую |
|||
часть уравнения |
(12.25): |
|
|
|||
|
2 Я 2Я |
|
|
_ |
|
|
2 e~ia^ f [ [еФ0(и, 0) + |
s^sin т] е-/а(0-т) sin BdxdB — |
|||||
а |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
2Я 2 Я |
|
|
|
= |
2 |
eta* J J |
еФ0 (и, 0) sin 0е - га(° - т) dBdx + |
|||
|
о |
|
о о |
|
|
|
|
+ |
2 |
2Я |
__ |
|
|
|
j e^sint6“/0(0"“T)sin 0d0dx = |
|
||||
|
|
a |
0 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qe-lo*dQ J elaxdx + |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2JC |
2зt |
|
|
+ |
2 |
* |
sin 0e~,o0d0 ^ sin xei0Xdx. |
(12.41) |
|
|
|
a |
|
|
о |
|
Рассмотрим отдельные интегралы, входящие в правую часть выражения (12.41):
2Я
j elaxdx Ф 0 лишь при а = 0,
о
поэтому первая сумма выражения (12.41) будет представлена членом
231 ^
2я j еФ0(и, 0) sin 0d0.
о
Интегралы, входящие во вторую сумму (12.28), могут быть
преобразованы следующим образом:
ЙЯ |
|
2 * |
|
in |
Г sin 0e_io0dQ = |
^ sin 0 (cos об — isin о0) dQ = |
± |
||
о |
|
о |
|
|
(— in при о ~ |
1, a |
in при о = — 1); |
|
|
291 |
|
2П |
|
|
j sin <velaxdT = |
^ sin т (cos си? + isin or) dx = |
± |
in |
|
о |
|
о |
|
|
(in при o = l , |
a —in при o = — 1). При любых других зна |
|||
чениях о последний интеграл обращается в нуль. Таким
образом, вторая сумма правой части выражения |
(12.41) |
||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
tqe1^ (— in) in -f- e~l^in (— in) eq = |
|
||||||
= |
eqn2 (e1^ + |
e~1^) = |
2n2s^cos ф. |
(12.42) |
|||
Следовательно, |
окончательно |
уравнение (12.41) |
может |
||||
быть представлено как |
|
|
|
|
|||
((0 _ v) и |
+ |
|
|
1 |
Г |
2я ^ |
+ |
2соЛ «= — |
2я j еф0(и, 0) sin Ш |
||||||
|
|
|
-f |
28<7n2cos фj |
(12.43) |
||
Уравнения (12.40) |
и (12.43) могут |
быть переписаны в виде |
|||||
ЯА |
— 2m B i = |
I 2Я |
^ |
|
|
||
(< o _ < v )^ |
J еФ0(«, 0) cos 0d0 — egsin ф; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(12.44) |
|
|
|
(ю— v) w ~ i - + 2^ i = |
|
|||
|
|
, |
2Я |
|
|
__ |
|
= — |
- |
j еФ0(и, 0) sin 0d0— e^cos ф. |
(12.45) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Решая совместно уравнения (12.44) и (12.45), можно определить искомые функции Л*(ы, ф) и Bi(u, ф) следу ющим образом. Так как дифференцируем только по ф, то и можно считать параметром и вместо частных производ ных можно писать обычные, т. е.
_ d4*_. dBj _ dBj
Зф йф ’ (1ф йф *
Для решения системы уравнений (12.44) и (12.45) продиф ференцируем первое уравнение по ф, учитывая, что
j еФ0(и, 0) cos 0d0= const:
о
(<й ~~ v) |
= e?cos ^ |
откуда |
|
|
= s |
[<® - |
v(> |
- e?c° s * ] |
|
Подставив значение dBtdi|) в уравнение (12.45), |
получим |
||||
^ 2 |
1 г \ (® — v) |
+ 8<7C0S ф] + 2й>А = |
|||
= |
1 2" |
^ |
|
|
|
— - I еФ0 (и, 0) sin 0d0 — egcos ф |
|||||
|
о |
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
2л —У |
|
|
|
|
|
|
|
(<° ^ V> |
+ |
2М , = |
- 1 |
J еФ0 (и, в) sin Мб - |
|
|
|
|
|
О |
|
|
— (3 — + |
l) egcos ф. |
(12.46) |
||
Будем искать частное решение полученного уравнения в виде
Ах — a -f Ьсоэф; ^ |
= |
— 6cosф. |
(12.47) |
Подставляя эти значения в уравнение (12.46), |
получаем |
||
(Q)_<у\2 |
2© {а + 6cos ф) — |
||
------- 2" - bcos ф -f |
|||
2Л |
|
3(о —v - |
|
= — — J еФ0(и, 0) sin QdQ ’ |
|
||
egcos Ф* |
|||
Приравнивая коэффициенты при cos ф и свободные члены, получаем систему
(оа — v)a |
b + 2соЬ —За>— у |
eg; |
2© |
2(0 |
|
1 2jt
2<м = — — f еФ0(а, 0) sin 0d0,
ЭХ v
о
из которой |
определяем постоянные а и Ы |
|
|
|
|||||||
|
|
|
. |
|
2 Я |
|
|
6 = - |
- |
|
|
|
а = |
Ш |
|
S e O (« ,0 ) s inQ d Q ; |
^ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Тогда в соответствии с уравнением |
(12.42) |
выражение для |
|||||||||
функции окончательно примет вид |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2rt |
^ |
|
— |
|
|
|
|
* |
— 2яа $ еФ0(«, 0) sin 0d0 — |
cos ф, |
(12.48) |
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
а ее |
производная |
Л4, |
80 . |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
-— |
= —г— sm ф. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dty |
© + v |
т |
|
|
|
Подставляя |
выражение |
иЦЭ в уравнение (12.44), получаем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
— 2«©В1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2Я |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
~ |
я |
^ еФ0(и, 0) cos 0<30 — e^sin ф, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
откуда окончательное выражение для функции Bi(u, ф) |
|||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2rt |
|
|
— |
|
|
В,(«.Ч>) = |
- |
2й г - $ |
еФ ,(И. 0)с о 8М в + ;пД 5) 8иИ). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
(12.49) |
|
Подставляя |
найденные |
значения i4i(«, ф) |
и Bi(u, |
ф) |
со |
||||||
гласно формулам (12.48) и (12.49) в разложения |
(12.12) |
||||||||||
для |
рассматриваемого |
случая основного резонанса |
( р = |
||||||||
= ( 7= 1), дифференциальные уравнения первого прибли |
|||||||||||
жения для определения амплитуды и и фазы 0 можно |
|||||||||||
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2зт |
-V |
|
—. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
О |
еФ о(« . в ) s i n е а 0 — |
COSЧ>; |
(12 .50) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/I |
» |
_v |
|
. |
2и |
|
_ |
|
sim|>. |
||
т |
= |
_ |
|
j |
8Ф„( и , в )cos0d0 + |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.51) |
|
В случае стационарного режима стационарное значени
амплитуды и и фазы ф в первом приближении можно по лучить из уравнений (12.50) и (12.51), приравняв правые их части нулю:
|
dt |
— о |
Л |
— о |
|
откуда |
и’ |
at |
“ и* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ДТ |
|
|
cosф = |
— |
2л(087 |
f еФ0(и, 0) sin 0сШ; |
(12.52) |
|
|
|
$ |
|
|
|
- |
2Я |
|
|
— |
|
v- “ = - 1H5S-J бФ»(“• cosМ0 - (in^TTisin’I’-
о
Умножим последнее уравнение на v+co и, произведя неко торое преобразование, получим
2Л |
-> |
__ |
•Ж “ * — е т г $ |
8®o(u ,0)cose((0 - J L s i n i | i . (12.53) |
|
о |
|
|
Пользуясь формулами (12.52) и (12.53), можно построить амплитудно-частотную характеристику рассматриваемой
колебательной |
системы, описываемой |
дифференциальным |
||||
уравнением ( 12.1). |
|
|
|
|
||
Прежде чем получить окончательную расчетную форму |
||||||
лу, определим |
выражение э т ф , |
входящее в |
уравнение |
|||
(12.53). На основании формул |
(12.52) |
получим |
|
|||
|
|
Б тф = ± |
— L— х |
|
|
|
|
|
|
2пгд<о |
|
|
|
/ |
|
|
Г2Я |
|
|
|
4я2со2 |
(eq) 2— (со - f v)2 |
Lo |
еФ0(и, 0) sin 0d0 |
(12.54) |
||
|
j |
|||||
Подставляя выражение (12.53) в (12.52), имеем
а, 2Я ^
"а5" = 1 “ 2яШ \ еФо(«. 0)COS0 =F |
X |
||
|
|
2я — у |
|
/ ■ |
4я2со2(eg)2— (со + v)2 |
^ Ф0(и, 0) sin 0сШ |
. (12.55) |
|
|
|
|
Для того чтобы воспользоваться формулой |
(12.55) |
для |
построения кривой w = /( v ) , представим в |
явном |
виде |
еФ0(*л |
0). На |
основании выражений (12.9), |
(12.17) и |
|
(12.33) |
с учетом |
(2.32) можно получить |
|
|
^ |
|
± |
о |
— u3cos 0. |
еф 0(и, 0) = |
4 - б2«<в2(1 =F 2cos 0 — cos20) + |
|||
|
|
|
L О |
/71 |
Рис. 23. Амплитудно-частотные резонансные кривые колебательной сис темы с нелинейной характеристикой.
Учитывая, что согласно формулам (2.52) и (2.53)
2Я |
(1 |
=F 2cos 0 — |
cos20) sin 0d0 |
| - ; |
|
=F j |
|||||
о |
|
|
|
|
|
2П |
|
|
|
|
|
=F J |
(1 =F 2cos 0 — cos2 0) cos 0d0 = |
2jt, |
|||
0 |
|
|
|
|
|
а также |
|
|
|
|
|
2Я |
|
2Я |
|
2Я |
|
^ cos30sin 0d0 = |
0; £ cos30cos 0d0 |
^ cos40d0 «= - i . , |
|||
0 |
|
o |
n |
|
|
уравнение (12.55) в случае, если бг не зависит от ампли туды, можно переписать следующим образом:
|
а> + у |
/ |
Зжоабды |
Зяаы»\ |
|
|
<в3 |
2яиш8 \ |
4 |
' |
2т 1 |
|
|
+ 5 ^ 7 |
] / я!о>г(Е?)г - |
(v + |
t o ) W 6l . |
(12.56) |
||
Задаваясь конкретными |
параметрами |
т, а , со2 = |
, зная |
|||
демпфирующие способности системы, характеризующиеся па раметром б2, представляющим собой сумму декрементов, за висящих от различных факторов, пользуясь формулой (12.56),
можно |
построить |
резонансную кривую |
и = / |
|
j . Такие |
||||||
кривые для |
случая |
62 = 5 % |
приведены |
на |
рис. 23. |
При |
|||||
этом |
кривая |
1 |
построена для |
в# = |
4,108 |
и |
= |
24,67 - 108; |
|||
кривая |
2 — для |
e q ~ 3,9512 и |
= |
12,32* 10е и |
кривая |
3— |
|||||
для |
гд = 3,755 |
и |
-%■ = 24,65* |
10°. |
|
|
|
|
|
||