Глава третья

КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1. Исходные уравнения

При выводе дифференциальных уравнений крутильных ко­ лебаний системы с одной степенью свободы (рис. 8) с учетом рассеяния энергии в колебательной системе будем исходить из следующих зависимостей между касательны-

ми напряжениями т и деформацией сдвига у применитель­

но к симметричному циклу для восходящей и нисходящей ветвей петли гистерезиса, записанных по аналогии с не­ линейными зависимостями (2.32):

где G — модуль упругости при сдвиге; Ya — амплитудное

значение деформации сдвига; 26 — сумма декрементов ко­ лебаний, обусловленных различными источниками потерь энергии колебаний.

Деформация сдвига элемента пружины — материала стержня, находящегося на расстоянии р от центра сечения круглого стержня,— определяется известной формулой

а амплитудное значение сдвига в данной точке

где <р — угол закручивания; х — координатная ось, совпа­

дающая с осью стержня.

Правая часть уравнения (3.21) также может быть пред­ ставлена в виде ряда Тейлора:

(О2 (ip r + um) = фт - 1 (и, 0) 4 2соЛт sin 0 4 2т Втcos 0

Интересуясь в дальнейшем решением в первом приближе­ нии, определим щ ( и , 0), A i { u ) , B i ( u ) . С этой целью пред­ ставим разложения Ф0(«, 0) и 0), входящие в первое уравнение (3.28), в виде рядов Фурье

1 2я

hn (и) — ( Ф„ (и, 0) sin nQdQ.

Подставляя правые части уравнений (3.30) в первое урав­ нение системы (3.28), получаем

Приравнивая в последнем уравнении коэффициенты при одинаковых гармониках, будем иметь

откуда с учетом выражений (3.31) получим

Так же определены все гармонические компоненты функ­ ции «i(«, 0), кроме первых t>i(и) и щ (и). Однако в силу того, что эти функции не содержат первой главной гар­ моники, будем иметь i>i(«)=0; Wi(u) = 0 . Тогда на осно­ вании выражений (3.30) найдем

Подставляя выражения (3.40) и (3.41) в (3.38), будем иметь

Подставляя выражения (3.42) и (3.43) соответственно в уравнения (3.37), будем иметь

где С —- постоянная интегрирования, которая определяется из начальных условий

Тогда окончательно можно записать формулу для опреде­ ления амплитуды свободных колебаний в функции време­ ни в следующем виде:

В том случае, если декремент бг зависит от амплитуды де­ формации, как это имеет место при учете рассеяния энер­ гии в материале, интегрирование уравнения (3.45) будет

сложнее. Интегрируя уравнение (3.45), найдем выражение для фазы

3.Вынужденные колебания

врезонансной золе

Перепишем дифференциальное уравнение (3.18) вынуж­ денных крутильных колебаний (3.18) с учетом (3.19) в виде

со — собственная круговая частота; q = - j- .

Используя принятый выше общий метод построения асимптотических решений, будем искать общее решение (3.51) в виде следующего разложения по степеням малого параметра:

где

г = p t -f- ар.

Амплитуду деформаций «, фазу т, а следовательно, и сдвиг фаз определим из дифференциальных уравнений

~ljf- = eAj (и) + еМ2(и) + ...;

(3.54)

■^- = (о + еВ1 (и) + егЯ2 (« )+ •••

или уравнения

= © _ р + еВt (и) + е2В2 («) +

Заметим, что в общем случае вынужденных колебаний при любой расстройке о —р следует считать и амплитуду и и фазу т зависящими от сдвига фаз ф и определять их из

т, е. случай, когда сдвиг фаз является величиной постоян­ ной, можно считать и и ф независимыми от сдвига фаз и пользоваться для их определения приведенными выше дифференциальными уравнениями (3.54). Как и прежде, будем полагать, что члены ряда (3.53) не содержат глав­ ных гармоник и являются периодическими функциями угла х с периодом 2л.

Взяв вторую производную от выражения угла закручи­ вания qp согласно выражению (3.53) с учетом (3.54) и под­ ставив в левую часть уравнения (3.51) с учетом (3.54) и затем в полученном выражении собрав члены при одина­ ковых степенях е и приравняв их правой части уравнения (3.6), содержащего малый параметр в первой степени,

Поскольку при установившихся вынужденных колебаниях

Ли

j еФ (<р) sin x d x = са^ и ;

о

2«

£ 6 Ф (<р) COSxdx = З ж и ^ п ,

о

формулы (3.66) и (3.67) можно окончательно представить в виде

Формулы (3.68) и (3.69) и являются теми окончатель­ ными формулами, пользуясь которыми можно построить резонансную амплитудно-частотную кривую вынужденных крутильных колебаний системы с одной степенью свободы.