Глава десятая

Подставив выражение (10. 21) в уравнение (10.20), с учетом (№• 2) найдем

Полученное уравнение ( 10.22) и будет тем исходным

дифференциальным уравнением поперечных колебаний пластины с учетом рассеяния энергии в колебательной си­ стеме, отличающимся от обычного уравнения, не учитыва­

ющего энергетических потерь добавочным членом еФ(а>), значения которого для двух полуциклов будут разные, на что указывают стрелки над символом Ф.

Решение уравнения (10.22), содержащего малый пара­ метр е, естественно искать в виде разложения в ряд по степеням малого параметра:

где ф (г, 0) — решение известного невозмущенного уравне­ ния, которое можно получить из уравнения (10.22), поло­ жив в нем е = 0; (ма>г, 0, т), и2 (иа, г, 0, т ) , ...— периоди­ ческие функции аргумента т с периодом 2я.

Амплитуда иа и фаза колебаний т зависят от времени и определяются из следующих дифференциальных урав­ нений:

- f = еЛ1(«а) + еМ2(«а) + -..;

(10.24)

jjp = ю + еВ{ («а) + е2В2(иа) + ••• >

где со — собственная частота. колебаний пластины, описы­ ваемых невозмущенным дифференциальным уравнением (без учета рассеяния энергии в материале).

Дальнейшей задачей является подбор выражений для функций

в таком виде, чтобы ряд (10.23) с учетом выражений

(10.24), (10.25) оказался бы решением уравнения (10.22). Для однозначности функций «i(«a. г, 0, т), и2 (иа, г, 0 , г), ...

на последние должны быть наложены требования об от­ сутствии в них первых гармоник, т. е. они должны удов­ летворять условиям

(10.26)

Подставив в левую часть уравнения (10.22) решение в виде ряда (10.23), с учетом выражения (10.24) получим

где

*D g ’

разложим по степеням малого параметра е также пра­ вую часть уравнения ( 10.22):

(10.29)

X их (ивг, 0, т) + е3...

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра правых частей уравнений (10.27) и (10.29) и приравнивая их между собой (поскольку е^О ), получаем

где

Пользуясь уравнениями (10.30) и (10.31), можно ре­ шить задачу соответственно в нулевом (без учета рассея­ ния энергии) и в первом приближении с учетом рассеяния энергии, т. е. в приближении, вполне достаточном для ре­ шения рассматриваемого класса слабонелинейиой задачи.

При решении дифференциального уравнения нулевого приближения (10.30) запишем его в виде

Решением этого уравнения будет каждое из решений сле­ дующих дифференциальных уравнений:

Р - + 4 £ + ^ ) - * ] ф, = 0;

(10.34)

Функцию, удовлетворяющую уравненкю (10.33}, будем ис­ кать в форме произведения двух функций

откуда

(10.37)

Поскольку левая часть отношения (10.37) зависит толь­ ко от г, а правая — только от 0, то равенство между ними

возможно при условии, что каждое из них равно одному и тому же постоянному числу, которое мы приняли рав­ ным —п2.

Тогда уравнение (10.37) распадается на следующих два уравнения:

Решение уравнения (10.38) может быть записано в виде F(Q) = С sin «0. Оно представляет собой уравнение Бессе­ ля, которое в случае положительного знака k2 примет вид

Решение уравнения (10.40), как известно, может быть пред­ ставлено функцией Бесселя первого рода л-го порядка: Ri (г) =1п (kr) . Заметим, что решением уравнения (10.40) является также функция Бесселя второго порядка (или функция Неймана), но ею нельзя воспользоваться, посколь­ ку при г= 0 эта функция обращается в бесконечность, а

потому не может быть использована при определении форм колебаний сплошных пластин без отверстия в середине.

Решением этого уравнения будет функция Бесселя первого рода п-го порядка от мнимого аргумента Rz(r)=Jn(ikr). Тогда общий интеграл уравнения (10.40)

R (г) = Ri (г) + R2 ( г ) = AIn (kr) + BJ (ikr), (1°-4 1)

где Л и Б — произвольные постоянные.

На основании выражений (10.39) и (10.41) общее ре­ шение уравнения (10.35) может быть представлено в виде

Ф (г, 0) = Qsin л0 [AIn (kr) -f BJ (ikr)],

где постоянные С и р должны быть найдены из условий закрепления края пластины. При рассмотрении сплошных пластин граничных условий будет два. Подставив в эти условия (10.42) и исключив С и р , получим одно транс­ цендентное уравнение относительно k, корни которого, найденные по таблицам функций Бесселя, определяют соб­ ственные частоты колебаний пластины.

Узловые линии на пластине определятся как геометри­ ческое место нулевых значений функции ф(г, 0), опреде­

ляемой по формуле (10.42):

Из формулы (10.43) видно, что на круглой пластине воз­ можны две системы узловых линий. Одна из них, соот­ ветствующая узловым диаметрам, определяется уравнени­ ем sin «0, корнями которого являются

вторая соответствует узловым диаметрам с радиусами гь П, г3, ... Значения этих радиусов представляют собой кор-

В соответствии с разложениями (10.23) и (10.29) выражение

функционала в первом приближении [еФ (01)]1=еФ [ма, <р (г, 0),

т(/)] получим, если в уравнение (10.48) вместо w подста­ вим первый член ряда (10.23), т. е.

ш(иа, г, 0, 0 i = “аФ (г, 0) COS T == ua<pcosт,

где <р(г, 0), как известно, есть решение (10.42) невозму­ щенного уравнения (10.30).

Для решения задачи в первом приближении умножим правую и левую части уравнения ( 10.21) один раз на

Ф cos xdrdQdx, а второй раз на ф sin xdrdQdx и проинтегри­ руем полученные выражения по площади пластины с на­ ружным радиусом га за один цикл:

Подставляя полученные выражения Ai и Bt в дифферен­ циальные уравнения (10.24), последние для решения зада­ чи п первом приближении запишем в виде

ГН 2Я

2ла2<оиа И ф® («а>ф> 0 drAQ

ОО

Пользуясь дифференциальными уравнениями (10.56) и (10.57), можно определить изменение амплитуды иа сво­ бодных колебаний пластины и фазы колебаний т с тече­ нием воемени.

2. Вы нуж денны е колебания

При рассмотрении вынужденных установившихся колеба­ ний круглой пластины ранее полученное дифференциаль­ ное уравнение для свободных колебаний (10.22) надлежит

дополнить членом, характеризующим подвод энергии извне такого же порядка малости е, что и член, характеризую­ щий утечку энергии, т. е. дифференциальное уравнение должно иметь вид

ной возмущающей силы, меняющейся по косинусоидально­ му закону с частотой ш.

Согласно принятой нами методике, основанной на ис­ пользовании асимптотических методов нелинейной меха­ ники Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова с использовани­ ем асимптотических разложений по степеням малого

Синус сдвига фаз получим из уравнения (10.71):

ГН 2Я 2Я -*

гн 2 я

nq J J <pdrdQ

о о

Подставляя выражение (10.72) для Ai в разложение (10.60), получаем формулу для определения частоты коле­ баний:

<—

учете выражения для еФ(«а, Ф, т) в соответствии с выра­

жением (10.48), предусматривающим использование экс­ периментально полученных параметров, характеризующих демпфирующие свойства системы, можно построить ампли­ тудно-частотную резонансную кривую колебаний круглой тонкой пластины с учетом демпфирования, обусловленного различными потерями энергии в колебательной системе.