Глава восьмая

ПОПЕРЕЧНЫ Е КОЛЕБАНИЯ ТУРБИ Н Н Ы Х ЛОПАТОК

п е р е м е н н о г о с е ч е н и я

в ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖ НЫ Х с и л

1. Исходные уравнения

Расчет колебании лопаток современных турбин, часто име­ ющих сложную форму, затруднителен. Это обусловлива­ ется переменностью сечения лопатки, естественной ее за­ круткой и т. д. Отметим, что обычно применяемая теория расчетов, основанная на рассмотрении лопатки как стерж­ ня постоянного или переменного сечения, может быть при­ нята только условно, так как в большинстве случаев ло­ патки, строго говоря, представляют собой естественно за­ крученные оболочки переменного сечения.

Однако учет всех факторов при практических расчетах нам кажется нецелесообразным. Роль отдельных факторов должна учитываться на основе развития точных методов расчета, но приближенные методы, по-видимому, будут иг­ рать доминирующую роль, поэтому следует разумно оце­ нивать роль отдельных факторов, исключать второстепен­ ные, чтобы не усложнять методику расчета.

При выборе рациональной расчетной схемы с учетом тех или иных факторов помимо теоретического анализа существенное место отводится экспериментальным исследо­ ваниям.

В расчетах турбинных лопаток особое внимание должно уделяться определению их напряженного состояния при различных формах колебаний и оценке необходимых за­ пасов прочности.

Следует подчеркнуть, что теоретическая оценка высших тонов колебаний сопряжена со значительными трудностя­ ми и при замене лопатки-оболочки стержнем совершенно исключает возможность определения частот реальных пла­ стинчатых лопаток при высших формах колебаний, не го­ воря уже об установлении узловых сечений этих форм колебаний. Подобные задачи просто и надежно решаются

экспериментально.

Иными словами, функция w(x, t), соответствующая действительному движению лопатки, должна давать экс' тремум интеграла

и

где Т и U — соответственно кинетическая и потенциальная энергия системы.

Для получения экстремального значения интеграла (8.2) при функции w(x, t) необходимо, чтобы первая ва­ риация этого интеграла обращалась в нуль, т. е.

Уравнение (8.3) и является тем исходным уравнением, из которого мы получили дифференциальное уравнение поперечных колебаний и граничные условия на конце ло­ патки. Чтобы уравнение (8.3) записать в развернутом ви­ де, необходимо прежде всего определить потенциальную и кинетическую энергию рассматриваемой колебательной системы.

Потенциальная энергия деформации изгиба лопатки

Подставляя полученные выражения (8.4) — (8.6) в уравнение

Отсюда следует, что при х = 0 вследствие жесткого за* крепления лопатки и линейное и угловое смещение (вариация) невозможно, а следовательно,

Однако при х= 1 на свободном конце лопатки возмож­ но как линейное, так и угловое смещение, поэтому, чтобы удовлетворялось равенство (8.9), необходимо выполнение

вынужденных установившихся колебаний.

Если бы в процессе колебания реальных лопаток от­ сутствовала периодически действующая возмущающая си­ ла, то подведенная однажды извне энергия в виде тепла вследствие рассеяния энергии убывала бы, а колебания затухали. Поэтому поддержание колебаний с постоянной амплитудой необходимо, чтобы энергия подводилась не­ прерывно; при этом количество энергии, подведенное за каждый цикл, должно равняться рассеянию энергии за тот же цикл.

Предполагая, что основная энергия деформации при колебаниях лопатки определяется в основном действующи­ ми нормальными напряжениями (влиянием поперечных сил с известной степенью точности для рассматриваемого типа достаточно длинных лопаток пренебрегаем), в уравнение (8.8) следует включить некоторый член

представляющий собой функционал, который учитывает рассеяние энергии, обусловленное различным^ источника­ ми, выражаемое через декременты колебаний. При нали­ чии такого члена установившиеся колебания возможны только в том случае, если дифференциальное уравнение

содержит некоторый возмущающий член такого же по­

рядка.

На практике, естественно, всегда имеют место силовые импульсы, меняющиеся по определенному периодическо­ му закону и поддерживающие колебания лопатки. Если при этом наблюдается существенное демпфирование коле­ бательной системы, то в процессе работы, даже при резо­ нансных частотах, максимальные динамические напряже­ ния не будут превышать допускаемые.

Таким образом, дифференциальное уравнение вынуж­ денных поперечных колебаний лопатки с учетом рассея­ ния энергии на основании уравнения (8.8) может быть представлено в виде

(8.12)

Прежде чем перейти к решению уравнения (8.12), еще раз напомним, что при выводе этого уравнения лопатка представлялась в виде тонкого стержня переменного сече­ ния, в котором влиянием на деформацию поперечных сил, сил инерции вращения массы и естественной закруткой можно пренебречь.

Предполагается также, что рассеяние энергии в колеба­ тельной системе мало (порядка е) и что при установив­ шихся колебаниях в околорезонансной области для поддер­ жания постоянства амплитуды необходима внешняя сила с амплитудой порядка малости е, компенсирующая рассея­ ние энергии.

Покажем, как исходя из дифференциального уравнения колебаний лопатки (8.12), отражающего наличие демпфи­ рования колебаний последней, построить амплитудно-час­ тотную кривую вынужденных колебаний в зависимости от частоты возбуждения (резонансную кривую) под действи­ ем моногармонической, равномерно распределенной по длине возмущающей силы с некоторой амплитудой интен­ сивностью &q.

Поскольку найти точное решение уравнения (8.12) не­ посредственным интегрированием невозможно, для его ре­ шения следует искать приближенные методы. Следует от-

степени малого параметра, и, приравняв нулю множители

при различных степенях малого параметра, получим сле­ дующую систему уравнений:

5 1 М Щ ~ Р®2^ / (Го + 1 ) F (?) 4 +

X

— (г0 + х ) Р ( х ) Щ - Ро)2/? (*) Ui _ pF (х) д 1Йф cos 0 +

Ягcos (0 — ф0) — 0; (8.18

Нетрудно видеть, что (8.17) — уравнение нулевого при­ ближения — представляет собой невозмущенное уравнение незатухающих колебаний, которое 'может быть получено из уравнения (8.12) при 8 = 0 , т. е. если предположить, что источники поглощения и подвода энергии в колебательной системе отсутствуют.

Для решения задачи в первом приближении с учетом демпфирования колебаний необходимо найти решение уравнения первого приближения (8.18), исходя при этом из предварительного решения нулевого приближения (8.17).

2. Решение задачи в нулевом и первом приближениях

При решении уравнения (8.17) целесообразно выразить момент инерции 1{х) и площадь поперечного сечения F(x) в функции координатной оси х.

Как показывает анализ реальных типичных лопаток га­ зовых турбин, изменение минимального момента инерции лопатки и площади ее поперечного сечения с достаточной степенью приближения можно представить следующими

Тогда интеграл, входящий в уравнение (8.17), может быть представлен так:

(fr.+av.+y+ад<*=г- ,л*--('£ + -2-г»)*~

Решив уравнение (8.37) относительно sin ф0) получим

Для представления правых частей формул (8.39) и (8.40) в явном виде необходимо иметь выражения функ­

ционала § (тйТ a cos 6), учитывающего рассеяние энергии

в колебательной системе, обусловленное как упругими не­ совершенствами материала лопатки, так и аэродинамиче­ скими потерями и конструкционным рассеянием энергии в месте соединения лопатки с диском.

Согласно принятым в данной работе физическим обос­ нованиям сути энергетических потерь в колебательной си­ стеме, приводящих к образованию некоторой условной петли гистерезиса, описываемой определенными математи­ ческими зависимостями (1.21), указанный функционал формально должен иметь такой же вид и в любом другом

где ф (х )— функция прогиба, определяемая решением (8.31) уравнения (8.36) (нулевое приближение); 62 — сум­ ма декрементов колебаний, характеризующая демпфиру­ ющие свойства колебательной системы; z и у — коорди­ наты элемента сечения турбинной лопатки.

Подставляя выражение (8.41) в (8.39), квадрат часто­ ты в первом приближении с учетом рассеяния энергии в материале турбинной лопатки, в соответствии с разложе­ нием (8.14), можно определить по формуле

I

рг = ©2 -+- пар ^F (х) фЧх X

о

Учитывая выражения (2.52) и (2.53), последние формулы можно переписать в виде

(8.43)

Пользуясь формулами (8.42) и (8.43), молено постро­ ить резонансную кривую колебаний лопатки в поле цент­ робежных сил при соответствующем значении амплитуды возмущающей равномерно распределенной нагрузки.

Для иллюстрации применения указанной выше теории расчета приведем примерный расчет амплитудно-частотной резонансной кривой колебаний реальной лопатки газовой турбины при следующих исходных данных: длина лопатки

та вращения ротора турбины п = 1 3 3 с-1; плотность мате­ риала лопатки p = y /g = 8 ,0 0 2 -103 кг/м3; модуль упругости при растяжении £ = 2 ,2 * Ю5 МПа. Согласно уравнениям:

(8.44)

Подставляя приведенные значения в формулу (8.31), читывая выражения (8.26)— (8.29) и (8.32) и используя раничные условия (8.1) для функции прогиба <р(х), по­ учаем уравнения

в Л2(30,3734 + 8,684-Ю-8©!) + А3(1105,15 +

+ 1,0191-10_5©7) = 0;

&2ML = л2( _ 17Д06 + 5,091510“V C) + А3(518,816 +

-f 3,5829-10"VC) = 0.

Поскольку As и As не равны нулю, то, очевидно, опре­ делитель, составленный из коэффициентов при А% и Аз, Должен быть равен нулю, т. е.

(8.46) ( Раскрывая детерминант и решая полученное уравнение относительно собственной частоты колебаний ©с, находим

Следовательно, разница в собственных частотах коле­ баний реальной лопатки, представляющей собой средней

толщины оболочку переменного сечения, и стержня экви­ валентной жесткости составляет примерно 6 %, т. е. в пределах погрешности опытов и значений модуля мате­ риалов образца и лопатки.

Таким образом, для определения основной частоты ко­ лебаний лопатки можно пользоваться теорией изгибных колебаний тонких стержней; для учета влияния центро­ бежных сил на частоту, как показывают расчеты для рас­ сматриваемого типа лопаток, существующие приближен­ ные формулы типа формул Стодоля неприменимы, в таких случаях приходится пользоваться более сложными метода­ ми расчета, приведенными выше.

Зная значение юс и решая совместно одно из уравне­

ний (8.45) и уравнение (8.13) при условии [w{x, £)]ж=5,= 0 /=*О

впервом приближении

Ф(0 = А2(92,16 + 1,17119. 1СГ7ш2)-Мз(884,7 + 7,3745 • 10~6х

можно определить коэффициенты Ап, входящие в выраже­

Зная круговую частоту (8.45) и функцию прогиба ф(х) согласно выражению (8.48), запишем выражение для дек­ ремента колебаний

сеяние энергии в материале, который, в частности для ста­ ли 14Х17Н2 [8], может быть представлен формулой

обусловленный рассеянием энергии в замковом соединении (конструкционное рассеяние энергии), который обычно пропорционален максимальному изгибающему моменту у

корня лопатки, т. е.

кривой колебаний турбинной лопатки переменного сечения, в поле центробежных сил, заменим лопатку стержнем Пе­ ременного по длине сечения, которое эквивалентно сече­ нию турбинной лопатки, выраженному уравнением (8.20).

Выбирая эквивалентный стержень переменного сечения постоянной ширины, на основании уравнения (8.20) можно

Подставляя выражение (8.49) в (8.42) и (8.43), с учетом (8.50) и (8.51) получаем

(8.53)

Формула (8.43) при этом примет вид

Подставляя выражение (9.2) в (9 .1), получаем

Нелинейная связь между напряжениями и относитель­ ными деформациями в рассматриваемом случае плоского

Рис. 18. Схема внутренних усилий, действующих в ко­ леблющейся пластине:

а— схема моментов; б — схема поперечных сил.

напряженного состояния, приводящая к образованию петли гистерезиса, в соответствии с зависимостью (1.21) должна

быть представлена в виде

При этом знак -> относится к описанию восходящей ветви петли гистерезиса, а -<----- к нисходящей. Тогда выражения для изгибающих и крутящих моментов в соответствии с выражением (9.4) могут быть представлены следующим образом:

M ^ + ^ L < 1 :F2 cose- “s,e)j:

$ V * = - L S ' ± " F 6’г (w ) „ „ X

—h/2

X (1 = F 2 C O S 0 — cosz 0 )j .

Дифференциальное уравнение колебаний пластины пред­ ставим в виде

где h — толщина пластины.

Взяв вторые производные от выражений изгибающих и крутящих моментов, представленных формулами (9.5), учи­ тывая при этом, что в общем случае декременты б2 и б'и

могут являться функциями амплитуды деформации, под­ ставив их в уравнение (9.6) и разделив при этом все члены уравнения на цилиндрическую жесткость пластины D, по­

нейности, пользуясь принятой методикой нелинейной меха­ ники, будем искать в виде следующего разложения по сте­ пеням малого параметра:

где ф(лс, у) — решение невозмущенного дифференциально­ го уравнения

Ui(u, х, у, 0), и2 (и, х, у, 0),... — периодические функции

аргумента 0 с периодом 2я. Амплитуда и и фаза 0 опре­ деляются следующими дифференциальными уравнениями:

где ю — собственная частота колебаний пластинки при от­ сутствии потерь энергии, движение которой описывается уравнением (9.13).

Функции

должны быть подобраны таким образом, чтобы выражение (9.13) с учетом (9.14) было решением уравнения (9.12).

Для однозначности функций (9.15) на функции щ(и, х, у, 0), иг(и, х, у, 0),... должны быть наложены дополни­

тельные требования отсутствия в них первых гармоник.

приближении в виде следующего двойного ряда:

откуда Aii = l .

Так как аналогичное рассуждение можно провести для второй, третьей и следующих форм, то

A,i = 1 4 / , M = 2 s i n - £ s r .

/=I

Для решения задачи в первом приближении умножим уравнение (9.20) один раз на <р cos QdxdydQ и второй раз на Ф sin 0 dxdydd и проинтегрируем по основным размерам

пластинки за полный цикл:

I Ь 2я

Я f

0 0 0

(9.30)

— 2а2до>£1фcos 0 — Ф (и, ф, 0)| ф cos QdxdydQ = 0;

I Ь 2 Я

Ш [ ^ + 2 тЙ ^ + ^ +^ - « ■ * * * • -

0 0 0

(9.31)

2а2и(йВ^ cos 0 — Ф («, Ф, 0)J ф sin 0 dxdydQ == 0.

2 naauat J ^ ф3<Ы(г

о о

Ul

Подставляя в дифференциальные уравнения (9.39) и (9.40) выражение функционала (9.23) с учетом принятого решения (9.28) и производя интегрирование, находим функциональные зависимости от времени амплитуды про­ гиба u=fi{t) и фазы Q—fzit).

2. Вынужденные колебания

Исходное дифференциальное уравнение установившихся поперечных колебаний тонкой пластины с учетом демпфи­ рования при частоте возбуждения, близкой к собственной, можно получить исходя из уравнения свободных колеба­ ний (9.11), выведенного в предыдущем параграфе, допол­ нив его членом, характеризующим подвод энергии в си­ стему, для компенсации потери энергии за счет внутренних несовершенств материала пластины:

(9.41) где eq — амплитуда равномерно распределенной внешней возмущающей силы того же порядка малости е, что и член

еФ (и>), учитывающий рассеяние энергии в колебательной системе.

При решении уравнения (9.41) функцию деформации w(x, у, t), частоту колебаний © и сдвиг фаз ф ищем в шде следующих разложений:

эффициенты при различных степенях малого параметра е, вместо уравнения (9.41) получаем систему дифференциаль­ ных уравнений

(9.47)

— qcos (0 — фо) — <7tt sin (0 — to) + Y (*, y, 0) = 0,

где 4*“(x, y, 0) — некоторый функционал, уточняющий учет

рассеяния энергии в материале во втором приближении;

Уравнения (9.45) — (9.47) и являются теми исходными диф­ ференциальными уравнениями, с помощью которых можно исследовать колебания пластины в нулевом, первом и во втором приближениях.

Функцию поперечного перемещения пластины и частоты колебаний в нулевом приближении, т. е. без учета рассея­ ния энергии, можно получить, решив невозмущенное диф­ ференциальное уравнение (9.45), представляющее собой не что иное, как уравнение (9.41) при е = 0 . Согласно дан­ ным предыдущего параграфа решением уравнения (9.45) будет

/=1

Решение задачи в первом приближении можно получить из рассмотрения уравнения энергогармонического балан­ са, для чего, следуя принятой методике, умножим уравне­ ние (9.41) один раз на ф(я, у) cos QdxdydQ, а второй раз на ф(дг, у) sin QdxdydQ и полученные выражения проинтег­ рируем за цикл (от 0 до 2л) и по размерам пластины:

X a2cos 9 — qcos (0 — to) — Ф (и, ф, 0)j ф (x, у) cos QdxdydQ—0;

(9.50)

l bin

Интегрируя полученные выражения по частям и учи­ тывая принятые выше граничные условия (9.30), а таюке вытекающие из них (9.33) и (9.34) и то, что щ (х, у , t) не содержит главной гармоники, из выражения (9.50) бу­ дем иметь

X ф (х, у) sin BdxdydB.

В случае необходимости уточнения функции прогиба значе­ ние ui{u, х, у, 0) может быть определено из уравнения

(9.46). 4 Зная выражение для Ai согласно уравнению (9.53), а также определив соэфо на основании формулы (9.54) как

cos ф0 = У"1 — sin2ф0,

формулу, по которой может быть построена амплитудночастотная кривая u = f(c о) в первом приближении, сог-

ласцо выражению (9.43) можно представить в виде

Для иллюстрации использования полученных расчетных формул (9.54) и (9.55) рассмотрим примерный расчет вы­ нужденных поперечных колебаний опертой по контуру тон­ кой пластины следующих геометрических размеров: I—

Будем полагать, что демпфирование обусловлено двумя факторами: рассеянием энергии в циклически деформиру­ емом материале пластины ба и сопротивлением среды, про­ порциональным частоте колебаний б», т. е. б2= б а+б», где

бв — амплитудно-зависимые декременты колебаний (6 а= =бж+бу+бжу), выражения для которых согласно рис. 33 [7], могут быть с достаточной степенью приближения представлены линейными зависимостями

=F 2 cos 9 — cos2 8);

околорезонансной зоне, можно принять постоянным: bv—

— г) — 0,03.

При расчетах колебаний пластины демпфирование за счет рассеяния энергии в материале учитывается автома­ тически путем интегрирования потерь энергии по объему