Глава пятая

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

с р а с п р е д е л е н н ы м и п а р а м е т р а м и

1. Продольные колебания призматических стержней

Классическим примером колебаний упругих систем с рас­ пределенными параметрами являются продольные колеба­ ния призматического упругого стержня.

Дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня получим из рассмотрения условий динамического равновесия элемента стержня длиной dx (рис. 11) с ис­ пользованием принципа Даламбера:

dN — F -Цг (а + <тв) dx.

Имея в виду, что при продольных колебаниях относитель­ ное удлинение стержня

! = - § - ; | = | acos0; e - e r f + ф,

где (cos0),=o = соэфл* 1, можно записать

12П

учитывая граничные условия w , _ „ = 0 ;

l * W U = 0 ; (-§ ■ )„ , = ° и интегрируя по частям, будем иметь

I

Следовательно, левая часть уравнения (5.13) обратится в нуль:

12л

Оо

или, учитывая, что для рассматриваемого конкретного случая согласно формуле (5.12)

<P(*) = sin-JL*; JvgL<p(x) = -±-cos-TXi

При этом имеется в виду, что в общем случае некото­ рые из слагаемых декрементов 62 могут зависеть от амп­

литуды относительной деформации В том случае, когда

Тогда закон изменения амплитуды свободных продольных колебаний (5.23) можно представить формулой

Интегрируя дифференциальное уравнение (5.19), полагая, что 6s=£f(h), будем иметь

(5.28)

о - * ' - - щ г ‘ + с »

где Сг определяется из начальных условий

С учетом (5.26) закон изменения фазы 0 во времени мо­ жет быть окончательно выражен формулой

(5.29)

В случае, когда бs=f(X), задача значительно усложня­ ется из-за возникающей существенной нелинейности и ее решение требует новых подходов, которые нашли отраже­ ние в работе [1].

2. Крутильные колебания стерж ня постоянного сечения

Дифференциальные уравнения свободных крутильных ко­ лебаний стержня с учетом демпфирования получим, исхо­ дя из принятой выше нелинейной зависимости между ка­ сательными напряжениями и деформацией сдвига (3.1).

Учитывая, что относительная деформация сдвига эле­ мента скручиваемого стержня, находящегося на расстоя­ нии г от центра сечения, и ее максимальное значение че­ рез относительный угол закручивания <р' определяются формулами

выражение крутящего момента в сечении стержня радиу­ сом R, исходя из зависимости (3.1) с учетом формул (5.30) можно представить формулой (3.6), которую запишем в виде

= G j* r^'dF ± у 6г J г2 ^ =F 2ф' - X ~J dFj , (5.31)

Следуя принятой теории нелинейной механики, решение уравнения (5.35), обладающего слабой нелинейностью, бу­ дем искать в виде разложения функции угла закручивания ф(х, /) в ряд по степеням малого параметра е:

<р (х, t) = шр0 (JC) cos (ю/ + ф) + еф! (и, х, 0) + в2ф2 (и, х, 0) 4- ..., (5.36)

где ф о (х )— решение невозмущенного дифференциального уравнения (3.35) в случае е = 0 , т. е. уравнения

0=шЦ-ф с периодом 2я; и и 0 — функции времени, опре­ деляемые из дифференциальных уравнений

ствии рассеяния энергии, движение которого описывается уравнением (5.37).

так, чтобы уравнение (5.36) с учетом (5.38) и (5.39) ока­ залось бы решением уравнения (5.35). Для обеспечения однозначности будем полагать, что функции фДм, х, 0), Фг(и, х, 0),... не содержат первых гармоник, т. е. должны выполняться условия

Далее, взяв вторые производные от уравнения (5.36) по х и по t и подставив их в левую часть уравнения (5.35),

циклу (от 0 до 2л):

t 2л

Можно также показать, что равна нулю и левая часть уравнения (5.52). Тогда из уравнений (5.52) и (5.53) соот­ ветственно получим

I 2Я-+

о

/2rt-.

^ J Ф' [и, ф' (ж) cos 0] фо (ж) sin Qdxdb

2й2шя £ фц (ж) rfjc

о

где согласно выражениям (5.24), (5.43) и (5.51)

2kaan щ)f - f xdx

о

(5.58) Заметим, что при интегрировании от я до 2я в послед­ них уравнениях следует брать верхние знаки, а при интег­ рировании от 0 до я — нижние; учитывая это, выражения (5.57) и (5.58) после интегрирования числителей по 6 и знаменателей по х и элементарных преобразований можно

представить в виде

<5-59>

О