Глава шестая
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ СТЕРЖ Н ЕЙ
1. Свободные колебания
Одними из распространенных колебательных систем в ин женерном деле являются системы, содержащие стержни, совершающие поперечные колебания. В настоящей главе мы попытаемся асимптотические методы решения колеба ний систем с сосредоточенными и с распределенными па раметрами распространить на случай поперечных колеба ний стержней, т. е. колебательных систем с распределен ными параметрами, движение которых описывается урав нениями четвертого порядка в частных производных.
Будем исходить из следующего простейшего дифферен циального уравнения свободных поперечных колебаний стержня постоянного сечения с учетом рассеяния энергий в колебательной системе:
|
|
|
|
|
-О , |
(6.1) |
где EI— жесткость стержня |
при |
изгибе; w (х, t) — прогиб в |
||||
любой |
момент |
времени |
t в |
сечении балки на расстоянии х |
||
(рис. |
13) от |
начала координат (координата х направлена |
||||
вдоль |
оси |
балки); |
т — масса |
единицы длины |
балки; |
|
в |
|
— некоторый функционал, учитывающий рас |
||||
сеяние энергии в материале стержня при колебаниях; при сутствие в нем е в виде множителя указывает на слабое возмущение, вносимое в нелинейное уравнение (6.1) по сравнению с невозмущенным уравнением (при е = 0 ):
(6.2)
Вводя обозначения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
|
|
еФ ч»-) = |
- ^ . ^ - |
[ |
е | ( ^ ) ] |
, |
(6.4) |
||
исходное уравнение (6.1) можно переписать в виде |
|
|||||||||
d*w |
. |
a |
d*W |
еФ"(w"). |
|
|
|
|
||
дх* |
а |
dt* |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
|
|
|
|
При |
отсутствии |
возмущения, |
|
|
|
|
||||
т. е. при |
е = 0 , |
колебания |
бу |
|
|
|
|
|||
дут гармоническими с постоян |
|
|
|
|
||||||
ной амплитудой ии равномерно |
|
|
|
|
||||||
вращающимся углом |
(завися |
|
|
|
|
|||||
щим только от начальных ус |
|
|
|
|
||||||
ловий), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
*L = |
0* |
dQ |
= СО |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
Рис. 13. Схема к поперечным |
||
|
(0 = cot + ip). |
|
|
|
колебаниям тонкого стержня. |
|||||
Наличие |
нелинейного |
возмущения |
(е ф 0) вызывает появле |
|||||||
ние в |
решении |
уравнения |
(6.5) |
обертонов, |
обусловливает |
|||||
|
|
|
|
|
„ |
|
dQ |
|
и вызо |
|
зависимость мгновенной частоты |
-щ- от амплитуды |
|||||||||
вет в нашем случае систематическое уменьшение амплитуд ды колебаний за счет рассеяния энергии на необратимые процессы в колебательной системе. Решение уравнения (6.5) будем искать в виде разложения
w (х, i) — шр (х) cos0 + Щ (и, х, 0) -f е2«2 [и,х, 0) + ..., (6.6)
в котором ф(ж) cos0 — решение невозмущенного однород ного уравнения (6.2), или
dlwдх* + а2 dt*d*w = 0. |
(6.7) |
Функции Ui(u, х, 0), иг(«, х, 0), входящие в ряд (6.6), представляют собой периодические функции угла 0 с пе риодом 2я, при этом, следуя теории нелинейной механики, можно амплитуду и и фазу 0, представляющие собой функ
ции времени, определить из дифференциальных уравнений
= |
еЛх (и) + |
&Аг (и) + ...; |
|
|
(6 .8) |
"3J- = |
® + еВх(и) + е2Да(и) + ..., |
|
где ©— собственная |
частота |
колебаний стержня при от |
сутствии рассеяния энергии, движение которого описыва ется уравнением (6.7).
В дальнейшем наша задача будет состоять в подборе соответствующих выражений для функций
(6.9)
с таким расчетом, чтобы выражение (6.6) с учетом (6.8) оказалось бы решением уравнения (6.5).
Для однозначности функций (6.9), согласно теории по строения асимптотических решений [5], на функции uit «2,... должны быть наложены условия об отсутствии в них
первых гармоник, т. е. должны выполняться условия
2л 2 я
О |
о |
|
(6. 10) |
о |
о |
Указанные условия физически означают, что в качестве величины и в выражении (6.6) принимается полная ампли туда первой основной гармоники колебаний.
После подстановки выражения (6.6) с учетом перемен ности и и 0 в соответствии с выражениями (6.8) в левую часть дифференциального уравнения (6.5) будем иметь
+ еа2| — 2а>А1 (и) <p (х) sin 0 — 2жВх(и) ср (х) cos 0 -f-
— 2mBz
+ |
A (u)~~du~ aJ Ф(x) sin 0 + |
2© ^ ( и ) |
+ |
+ |
2fflB1(U) ^ - + ffl» ^ H - A |
^ L } + e 3... (6.П) |
|
Представим также в виде разложения в ряд Тейлора функционал еФ'^а»")» входящий в уравнение (6.5):
еф" (о;") = бФ " [Ыф" (х) cos 0] + б2®" [ыф"(х) cos 0] их+ е3...
(6.12)
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s в правых частях выражений (6.11) и (6.12) до членов т-го порядка включительно.
Ограничиваясь принятием т = 2 , получим следующую систему уравнений:
|
|
р2Ф<х) = |
0; |
(6.13) |
а2 [— 2шф (х) А1(и) sin 6 — 2шшр(х) Bt (a) cos 9] + |
+ |
|||
|
+ />*Tgr = Ф '[нф"М а»в]; |
(6.М) |
||
а2 {[ Л, <“) р г р - — «В? (и) — 2ошВ2 W] ф (х) cos 9 — |
|
|||
- [2шЛ2 (и) + |
2 Д (а) (а) + А («) т |
г «] ф (*) sin 9 + |
||
+ 2«А («)S |
+ |
2ФВ, (и) | й . ) + ,р2- ^ - + - g 2- = |
||
|
|
—► |
|
|
где |
= |
Ф" [и, ф" (х) COS 0] «!, |
(6.15) |
|
|
р2 = «2^2. |
|
(6.16) |
|
|
|
|
||
Полученные уравнения (6.13)— (6.15)и являются теми
исходными уравнениями, на основании которых могут быть найдены решения задачи в нулевом, в первом и во втором приближениях.
Общее решение уравнения (6.13), совпадающего с урав нением (6.7), представляющим собой с точностью до по стоянного множителя невозмущенное уравнение (6.5) при
6=0, может быть записано в виде |
|
|
Ф(х) = Сх(cos kx + |
ch kx) + C2 (cos kx — ch kx) + |
|
+ C3 (sin kx + |
sh kx) +C 4 (sin kx — sh kx), |
(6. \) |
в котором постоянные интегрирования Си С%, С3 и С40 каждом частном случае легко определяются из условий 0
концах стержня. Тогда решение уравнения |
(6.5) в |
ну.г |
вом приближении согласно выражению (6.6) |
может |
6 ь ф |
представлено в виде |
|
|
W —Иф {х) cos 0. |
|
(6.0) |
Чтобы учесть влияние рассеяния энергии на поперечна колебания нашего стержня, рассмотрим уравнение (6.1)» которое перепишем в виде
|
^ |
[ |
“Ч*" М « я 1в) + |
|
|||||
|
+ a2[2<fli41 (и) ф (х) sin 0 + |
2тВх (и) ф (х) cos 0]. |
(6 9) |
||||||
|
Чтобы определить ^i(n) и Bi(u), |
помножим уравнеие |
|||||||
(6.14) один раз на ф(х) cos QdxdQ, |
|
|
а |
второй |
раз на |
||||
ф(х) sin QdxdQ и полученные при этом |
выражения |
пран- |
|||||||
тегрируем по длине стержня (от 0 до |
|
/) |
и по циклу (с О |
||||||
до 2л): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12Л |
|
|
1 2 Я |
-► |
|
||||
П |
IT * - + Р Т ® Н » м |
“ S вЛй» - |
f f {$■ [ирг (*) С08 в]f |
||||||
0 0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
+ |
а2 [2ооЛх (и) ф (х) sin 0 + |
2тВ1(и) ф (х) cos 0)} ф (х) cos Bd№; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(120) |
12Л |
|
|
|
12 Я |
_> |
|
|||
| J[ Ц г + Л2 -|§ г ] Ф (X) sin QdxdQ = |
J j |
|
(Ф" N>" (х) cos 0 + |
||||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
+ |
а2 [2ооЛ1 (и) ф (х) sin 0 + |
2 т 3 1 (и) ф (х) cos 0)} ф (х) sin Bdi0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
('•SI) |
Интегрированием по частям можно показать, что |
|
||||||||
|
j 7д?*Ф (*)<*# = |
j dip (х) |
|
uxdx; |
|
||||
|
|
|
dx* |
|
|
|
|
||
о |
о |
в связи с чем на основании выражения |
(6.13) |
||
I 2л |
|
|
|
) (’ [ |
+ Р2 - ^ - 1 Я> (л) sin erf*d0 = |
||
О6 |
|
|
|
I 2Л |
|
|
|
d*у (х) |
— р2 <р (х) uxsin |
QdxdB = 0. |
|
dx* |
|||
|
|
||
Аналогичным путем можно показать, что и левая часть уравнения (6.21) также равна нулю.
Тогда из уравнения (6.20) найдем выражение
/2я_*
^J Ф [ы<р" (х) cos 0] ф (х) cos QdxdQ
Вх (и) = |
- |
-2 |
-2 |
-----------------j---------------------- |
, |
(6.22) |
|
|
|
|
2иа2шл J ф2 (х) dx |
|
|
а из уравнения |
(6.21) |
|
о |
|
|
|
определим |
|
|
||||
|
|
I 2л-t |
|
|
||
|
|
j |
^ |
Ф" [иф" (х) cos 0] ф (х) sin QdxdQ |
|
|
А (и) = |
- |
-2-2------------------- |
7-------------------- |
. |
(6.23) |
|
|
|
|
|
2 л а 2о) j* ф2 (х) dx |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Функционал Ui(u, х, 0) определим, решая уравнение (6.19), которое запишем в виде
4 ^ + |
|
= F |
х»е)> |
(6.24) |
|
где |
|
|
|
|
|
F (и, х, 6) = Ф" [ucp" (х) cos 0J -f а2 [2<йАх (и) <р (х) sin 0 + |
|||||
+ |
2т В х(и) ф (х) cos 0). |
(6.25) |
|||
Далее представим функции щ{ц, |
х, 0) и F(ti, х, 0) |
в виде |
|||
разложения в ряды Фурье: |
|
|
|||
«х (и, х, 0) = щ (и, х) + |
2 К («>х) cos л0 + и*п(а, *) sin п0]; |
||||
|
|
/7=1 |
|
|
|
|
00 |
|
|
(6.26) |
|
F (и, х, 0) = £ 0 («. х) + |
[£п («. х) cos пВ + hn(и, х) sin п 0], |
||||
2 |
|||||
|
Л=1 |
|
|
||
где
. |
2я |
go («.*) ~ Т |
J F х’ rf0; |
|
О |
о
2Л
К (а, х) — J _ J р (и, х, 0) sin nQdQ.
о
Определение щ{и, х, 0) сведется теперь к решению си стемы дифференциальных уравнений, составленных по ти пу (6.24) с использованием соответствующих членов раз ложений (6.26) и (6.27). При этом Ui(u, х, 0) получим как сумму членов ряда, представленного правой частью разло жения (6.26). Методика решений аналогичных уравнений детально изложена в монографии [5].
Заметим, что поскольку нас интересует первое прибли жение, то для функции прогиба можно с достаточной сте пенью точности ограничиться формулой (6.18), так как с учетом уравнения (6.28) степень точности формулы (6.18) будет такая же, как и формулы первого приближения:
w — щ (x) cos 0 -f е ( а , х, 0).
Поэтому при рассмотрении задачи в первом приближе нии нет нужды подробно останавливаться здесь на выводе окончательных формул для определения ui{u, х, 0).
Подставив выражения (6.23) и (6.22) для определения Ai(u) и Bi(u) в выражения (6.8), можно найти формулы для определения амплитуды колебаний и и фазы 0 в за висимости от времени t:
|
f j |
еФ* [иф* (ж) cos 0] ф (ж) sin QdxdQ |
|
du |
о о |
________________________ |
(6.29) |
dt |
|
i |
|
о
12Я
’Г еф" [и, ф" (ж) cos 0] Ф (ж) cos QdxdQ
dQ dt
Чтобы дифференциальные уравнения (6.29) и (6.30) можно было записать в явном виде, необходимо предста вить в развернутом виде функционал 0/'[шр"(х) cos 0]. С этой целью будем исходить из выведенной в первой гла ве нелинейной зависимости между нормальными напряже ниями о и относительной деформацией % (1.21), в которой применительно к рассматриваемому случаю изгиба прямо-; угольного стержня шириной b и высотой h выражения от носительных деформаций будут иметь вид
(|) |
- . g » . |
A - |
L |
*Ф(*) |
I |
с/ д2«! |
\ |
, |
А |
|
'V m a x |
а*а |
2 |
[U |
dxa |
+ |
6 ( |
«Эх2 |
/0=() + '* |
2 » |
|
Sa |
'*и/тах |
ft |
|
# |
+ |
8 |
дх* |
)в=0~^ |
У1 |
|
|
I = |
u i ^ |
- |
co se+ |
|
|
+ |
•■•]#. |
|
|
а выражение функционала Ф(/(ш”) в соответствии с выраже нием (1.21) может быть записано так:
еФ" (w") = |
da |
d2<p(x) |
а2«г |
|
|
|
d*2 |
dx2 |
+ ® dx2 |
X |
(1 “F 2 cos 0 |
cos2 0) |
i W ] = = F - f -зр - X |
|
|
|
(F> |
J |
|
X |
^ + e |
|
4=2COS0 — COS20)j. (6.31) |
|
Ограничиваясь решением в первом приближении и учи тывая наличие малого параметра е в качестве множителя в правой части уравнения (6.5), выражение (6.31) можно представить в виде
еФ" (w") = =F -I* |
tV<P" (*)] (1 =F 2 cos 0 - cos2 0), (6.32) |
где для сокращения обозначено ср" (х) =
й ч р (х) d*a •
Подставляя выражения (6.32) в (6.29) и (6.30) и учитывая
(2.52) и (2.53), будем иметь i
du |
(6.33) |
|
dt |
||
|
Т |
\ ~ W |
W I ч М dx |
- g - = m + _ |
! !--------- |
,------------------ (6.34) |
cc2uco ^ фа (x) dx
о
Имея выражение функции прогиба ср(х) для конкретно го случая закрепления стержня в соответствии с выраже нием (6.17), а также выражения для декрементов (2.33) , слагаемые которых могут в общем случае быть функциями прогиба, решая дифференциальные уравнения (6.33) и (6.34), можно получить U= fi(t); Q=f2(t).
2. Вынужденные колебания
Дифференциальное уравнение установившихся колебаний балки постоянного сечения с учетом рассеяния энергии в колебательной системе может быть в общем виде представ лено следующим образом:
с , |
. |
д2ш . |
5* f J?» / d2oi Y] |
, |
ос, |
|
дх* |
|
“Ь дхъ |
jj |
е(7cospt, |
(6.35) |
|
где ц — амплитуда |
возмущающей |
равномерно распределен |
||||
ной силы; х — координата, |
направленная вдоль оси стержня; |
|||||
а2 г ^ з%\1 |
некот°Рыи функционал, |
характеризующий |
||||
|
||||||
рассеяние энергии в колебательной системе такого же по рядка малости, как и внешняя возмущающая сила.
Для решения рассматриваемого слабонелинейного урав нения (6.35), содержащего малый параметр е, целесооб разно применить асимптотические методы нелинейной ме ханики. Следуя этим методам, функцию деформации w(x,t), квадрат частоты колебаний р и сдвиг фаз ф пред ставим в виде следующих асимптотических разложений:
w (х, t) — щ (х) cos (at + 6% (х, t) -f- 82м2(х, t) -f |
(6.36) |
||
р» = |
о»»+вА1 + |
в*Дя+ |
(6.37) |
ф = |
ф0 + ефг + |
е2ф2 + |
(6.38) |
При этом предполагаем, что щ(х, t); Uz(x, t) и т. д. не |
|||
содержат главных гармоник. |
|
|
|
После подстановки разложений (6.36) — (6.38) |
в урав |
||
нение (6.35) и приравнивания множителей, стоящих при различных степенях малого параметра е, уравнение (6.35)
распадается на следующую систему уравнений:
|
|
El |
— mm2ф (х) = 0; |
(6.39) |
EI |
+ |
m<°2 I F |
“ тД 1«Ф(*) cos 9 — 9 cos (9 — гр0) + |
|
|
|
Cr |
[Ф («cp" (JC) cos 0)] = 0; |
(6.40) |
|
|
&Ca |
||
EI - ^ r + |
mc°2 тщзп + mAx -^1-----тД 2ф (*)« cos 0 + |
|||
|
+ |
-^ 5- № (*> 0) — Ф<7 sin (0 — ф0)] = 0, |
(6.41) |
|
где XF (x, |
0) — функционал, уточняющий учет |
рассеяния |
||
энергии в материале во втором приближении; |
|
|||
|
|
|
0 = />/4-ф. |
(6.42) |
Для определения функции деформации ф(х) и частоты колебания to в нулевом приближении, т. е. без учета рассе яния энергии в колебательной системе, необходимо решить
невозмущенное уравнение |
(6.39), представляющее собой |
|
не что иное, как уравнение |
(6.35) |
при е = 0. |
Уравнения (6.38) в точности |
совпадают с уравнением |
|
(6.13), решение которого (6.17) |
известно. Поэтому в даль |
|
нейшем будем считать, что нам известны функции дефор мации q>(x) и собственная частота колебаний со.
Для решения задачи об учете демпфирования в инте ресующем нас первом приближении рассмотрим уравнение (6.40). Пользуясь принципом энергетического баланса, умножим уравнение (6.40) один раз на ф(х) cos QdxdQ, а второй раз на ф(дс) sin0dxd0. Полученные уравнения про интегрируем по длине стержня I и по циклу колебаний. Интегрированием по частям по х и по 0, учитывая при этом граничные условия, а также то обстоятельство, что функция и(х, 0) не содержит главной гармоники, получим
следующую систему уравнений:
2Л |
I |
|
д% |
|
|
|
+ тсс2 |
Ф (х) cos QdxdQ = 0; (6.43) |
|
о |
о |
аез |
||
I |
|
|
||
|
2Я |
|
|
|
|
] |
j | — шпДаф (я) cos 0 — q cos (0 — ф0) -f |
||
|
о |
о ' |
|
|
|
+ -|г[Ф (шр" (х) cos 0)1J ф (х) cos QdxdQ = |
0; |
(6.44) |
|
2Я 1 |
|
|
(6.45) |
|
j |
П EI - 0 . + mo)2 |
1 <р (х) sin QdxdQ - |
0; |
|
0 |
0 |
|
|
|
2я l .
Лл |
) |
) 1 — |
(x) cos 0 — q cos (0 — ф0) -f |
6 |
6 |
|
+ |
[Ф(шр" (x) cos 0)]| ф {x) sin QdxdQ = 0. (6.46) |
|
Решая уравнения (6.43) — (6.46) относительно искомых вели чин sin ф0 и Ац находим
I 2тс
|
|
j |
dx3' |
(“ ф" (*) cos 0)] <р (х) sin QdxdQ |
|
|||
|
sin |
= —------------------ |
|
t----------------------------- |
|
|
|
(6.47) |
|
|
|
|
вдп ^ ф2 {x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
12П |
|
|
|
|
|
t |
|
( |
^ Нс2 |
1вф (“Ф* (* )cos 0)1 Ф (*) cos QdxdQ — nq cos ф0 ( |
ф (ж) dx |
|||||
|
-------------------------------- |
|
|
j---------------------------- |
|
|
b---------- |
. |
|
|
|
|
е и т я \ |
ф3 (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.48) |
Функция Ui(x, |
0) в |
случае |
необходимости |
уточнения |
||||
функции прогиба |
может быть |
определена |
из |
уравнения |
||||
(6.43) |
или |
(6.45). |
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы можно было найти в явном виде выра |
||||||||
жения, стоящие в правых частях уравнений |
(6.47) |
и (6.48), |
||||||
необходимо знать выражение функционала еФ(и, q/'cos 0), имеющегося в уравнении первого приближения в результа те присутствия в исходном02дифференциальном уравнении
(6.35) нелинейного члена ^ [еФ(ц, q/'cosB )], учитыва
ющего рассеяние энергии в колебательной системе. Выясним, что собой представляет функционал Ф (wx") ■
Применительно к рассматриваемым изгибным колебаниям длинны* тонких стержней, когда потенциальная энергия
т
деформации в основном будет определяться нормальными напряжениями, для установления вида функционала
еф |
необходимо исходить из нелинейных зависимо |
стей между нормальными напряжениями и деформациями (1.21) при нагрузке и разгрузке материала стержня, со вершающего поперечные колебания, приводящие к обра зованию петли гистерезиса. Выражения изгибающих мо ментов, действующих в сечении стержня в любой момент времени в течение цикла при нагрузке и разгрузке, могут быть в общем виде с учетом сопротивления, приводящего к рассеянию энергии колебаний, представлены так:
М = Му + Мв] М = Му + Ма,
где Му — изгибающий момент сил упругости; Ms — момент сил внутреннего сопротивления, представляющий собой функционал гФ(тх"). В развернутом виде с учетом зави симости (1.21) последние выражения могут быть записа ны для восходящего и нисходящего движения колеблюще гося стержня следующим образом:
M = i ? f - g ^ ± 4 - ^ ( l = F 2 c o s e - c o s 2 0) y^dF, F
или в первом приближении применительно к рассматриваемо му примеру
М = EI [ - 0 - ± |
( ^ max(l =F 2 cos 0 - cos20) 6S ] , |
откуда
Ms = ± -f- EI8Z(-fy-) |
(1 q= 2 cos 0 - cos2 0) = еФ (of) • |
(6.49)
Подставляя выражение (6.49) в (6.47) и (6.48), получаем
i
=ь -§■ E l J |
(1т2со3 9“ cos8 0)]ф(*)sin0d0 |
sin ф0 =
tqn | ф (х) dx
О
± Т £ / ( |
[ б2 |
<1 " 2 C0S 0 “ COfi2 0) Ф(JC) Х |
О |
|
/ |
|
|
|
|
X cos QdxdQ —cos ipo [ <Р(*) dx |
|
Д1 = |
|
l |
ътпи | ф* (*) dx
о
(6Л)
Учитывая согласно уравнениям (2.52) и (2.53), что
2п
±<f> (1 =F 2 cos_0 — cos2 0) sin QdQ --------|-
±$ О =F 2 cos 0 — cos2 0) cos 0d0 = — 2я,
о
выражения (6.50) и (6.51) можно представить в виде
|
rr |
i’ |
d2 Л |
„ **Ф (х) \ I \ , |
||
|
~ Е! \ |
d j ( 62 “ U |
i - J f f W d x |
|||
sin 1|50 = |
|
|
|
|
(6.5) |
|
|
|
|
zqn |
\ |
ф* (х) dx |
|
— Т Е [ |
I |
6z“ 7 $ |
z] rff(P М dx —cos i|>0 |*ф (x)dx |
|||
0 |
P |
|
|
|
|
|
stnu ^ ф2 (*) dx
(6.53
Подставляя уравнение (6.53) в (5.37), ограничиваясь npi этом первым приближением, будем иметь
|
i |
|
|
i |
I P \ 2_ i |
т \ \ \ ' -jp [в2и 7 |
$ |
z] rfftP w dx— |
f Ф(*) dx |
0 F |
|
________________ Ь ____ |
||
|
|
|
J |
|
|
&2mu j фа(x) dx |
|
||
oJ
Пользуясь формулами (6.52) и (6.54), можно построить амплитудно-частотную кривую резонанса для конкретной колебательной системы. При этом предполагается, что име ются функциональные зависимости декрементов колеба ний, входящие в 6г, характеризующие демпфирующие свой ства исследуемой колебательной системы (рис. 14).
Для иллюстрации предлагае мого метода расчета приведем конкретный пример расчета по перечных колебаний стальной балки на двух опорах, имеющей следующие геометрические раз меры: 1 = 250 мм; 6 = 4 0 мм; h—
=2 0 мм.
Всоответствии с выражени ем (6.17) для решения задачи в нулевом приближении для балки на двух опорах, для которой гра ничными условиями являются
|
(ф)лг=о= |
0; |
|
)ж=0= |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
(ф)*=/ = |
°; |
( j } |
)^=/= |
|
Рис. 14. Амплитудно-частот |
|||||
|
|
ная резонансная кривая по |
|||||||||
из |
условия |
на |
левом |
|
перечных колебаний стерж |
||||||
конце ня. |
|
|
|
|
|||||||
(х = 0 ) |
находим |
C i= C 2= 0 , |
а |
|
|
|
|
||||
из условий на правом конце |
(х=1) |
|
получим |
известное |
|||||||
уравнение |
частоты: |
s h /г/sin А /=0, |
|
откуда |
(так |
как |
|||||
shkl=£0) получим sin £ /= 0 , т. е. kl—пл, где я = 1 , |
2, 3... |
||||||||||
При |
первой |
форме |
колебаний |
(л = 1). |
зх |
|
|
||||
k— ~ . |
|
|
|||||||||
Из |
граничных условий |
на |
правой |
опоре следует |
С3= |
||||||
= С4, тогда выражение для функции прогиба может быть записано в виде
Ф (х) = 2С3 sin kx.
Используя дополнительное условие (ф) . = 1, получаем
Ф (лг) = sin йлг. |
Х=~Т |
(6.55) |
Подставляя уравнение (6.2), с учетом выражений (5.7), (5.8) и (6.30) находим
d«<p пи.оа dx* № /
откуда, поскольку q>s=sin А:лг, |
а |
= A 4sin kx, |
из урцв, |
нения (6.56) найдем собственную частоту: |
|
||
« _ / |
Ж . |
|
(6.57) |
Учитывая конкретные размеры стержня и то, что k = у ,
т = = 6,35 • 10-5, находим © = 4567,944 1/с.
ё
Принимаем декремент колебаний, учитывающий рассе яние энергии в материале 6а, и сопротивление среды, про порциональное скорости 6«, т. е. полагаем в формуле (6.54)
бл = ба -|~ б0. |
(6.58) |
В качестве материала балкипринимаем сталь 10Х11Н20ТЗР с амплитудно-зависимым рассеянием энер гии, изменяющимся по линейному закону
6а = а |8 = 9,188 и ^ г , |
(6.59) |
а также принимаем декремент зависящим от частоты в виде
= |
= 2,927 |
, |
(6.60) |
где и — коэффициент пропорциональности. Тогда расчет ные формулы (6.52) и (6.54) можно переписать соответ ственно в виде
или, учитывая, что
cos -ф0 = Y 1 — sin2яр0,
а также учитывая выражения (6.59) и (6.60), расчетные формулы (6.61) и (6.62) можно представить в виде
• ли |
_ |
£ |
{ M2jt* ГяА |
|
, |
п т |
1 ■) |
|
sm |
|
2zql |
{ /* |
[ 9/ |
““ + |
8Е |
J “} ~ |
|
|
|
n*bh2E |
I nh |
, |
я/оАп |
/а соч |
||
|
|
= ~2zqF~ (ИГaW |
|
8Я |
) |
<663) |
||
I р \ 2 |
, |
ZEh№nl / Ля |
. |
ягшт) \ |
||||
(F |
) = |
1 - |
1 л |
15-(-9Г““ + |
Т Е 1-) ± |
|||
± |
|
|
|
я8b*h*Ea /яЛ |
|
(6.64) |
||
|
|
|
4 -1 0 10 |
(9ГаИ |
||||
|
|
|
|
|||||
Подставляя в формулу (6.64) числовые значения извест ных величин, получаем расчетную формулу для рассмат риваемого примерного расчета в виде
1 — (9,72-10~2 + 2,368-10~2) ±
± 0,9594• \0ГгУ - (42,999м + 10,473)2. (6.65)
Пользуясь формулой (6.65) для значения возмущения 6*7=0,8146 и принятых значений декремента колебаний бх, построим амплитудно-частотную резонансную кривую
и==Кйг)> к°т°рая приведена на рис. 14.