Глава четвертая
КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА,
ПОДВЕШЕННОГО НА ПРУЖИНЕ
1. Исходные уравнения
Рассматривая колебания груза, подвешенного на пружине (рис. 9), как систему с одной степенью свободы (пренебре гая массой пружины), уравнение свободных вертикальных колебаний груза, следуя принципу Даламбера, с учетом демпфирования можно записать в виде
a - f £ + i [ u + e f ( u ) l - 0 , |
(4.1) |
||||
где и — вертикальное перемещение; |
с — жесткость пру |
||||
жины; ef(u) — член, |
учитывающий |
рассеяние |
энергии. |
||
Вертикальное перемещение груза характеризует осадку |
|||||
пружины, которая под действием нагрузки Q будет |
|||||
___-1 |
А = |
Qfl-2nJ?nfc |
_ |
Q |
|
U — |
-------771------------ --- “ |
|
|||
откуда |
|
GIP |
|
с |
|
|
<Нр |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|
|
|
С 2nR?n ’ |
|
||
|
|
|
|
||
где R — радиус витка |
пружины; |
1Р —полярный момент |
|||
инерции сечения витка |
проволоки |
пружины; |
п — число |
||
витков. |
|
|
|
|
|
Учитывая, что ц=/?<р, где ф — угол поворота конечного сечения нижнего витка проволоки пружины при кручении всех витков пружины вследствие ее деформации, уравнение (4.1) с учетом (4.2) можно переписать в виде
f R l ? + ! & - * < ¥ + Й » ) = 0 -
или |
|
-fit- + ю2 (Ф + ef (ф)) = 0. |
(4.3) |
0)2 = |
0/pg |
(4.4) |
|
2лл»я<г |
|||
|
Обозначая
— 0)2е/(ф) = еф(ф),
уравнение (4.3) можно переписать в виде
• ^ + шг<р=еФ(ф), |
(4.5) |
т. е. мы получили дифференциальное уравнение крутиль ных колебаний витка пружины, в точности совпадающее с дифференциальным уравнением крутильных _R колебаний системы с одной степенью свободы (3.21). Поэтому здесь нет необходимо сти детально останавливаться на решении уравнения (4.5), а достаточно привести ч окончательные результаты основных этапов решения, изложенных в третьей главе.
2.Свободные колебания
Решением |
уравнения (4.5) |
при е = 0 |
в со |
|
|
|
|||||
ответствии с выражением |
(3.23) |
будет |
|
|
|
||||||
|
|
|
Ф = а с о з0 . |
|
|
(4.6) |
|
|
|
||
Тогда на основании уравнения (3.22) |
|
Рис. 9. |
|
Схема |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
колебательной |
|||
еФ (ф) = |
± |
со^а (1 |
2 cos 0 — cos2 0), |
системы, |
сос |
||||||
тоящей |
из гру |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
за, подвешенно |
|||
|
|
|
|
|
|
|
го на |
спираль |
|||
где 0 = |
tof + |
't- |
|
|
|
|
ной пружине. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при е ^ О |
решение уравнения (4.5) |
будем’ искать в |
виде |
||||||||
Ф = a cos 0 -f гих(о, 0) + |
е2...; |
|
|
|
|
|
|||||
- ^ |
= |
вАх{а) + в24 ( а ) |
+ в2 ...; |
|
|
|
|
||||
i j - |
= |
со + еВ1 (а) -Ь е2Вг(а) + |
е3 |
|
|
|
|
||||
еФ (ф) = |
еФ (a, cos 0) + |
в2 аАФ^ (а, cos 0) + |
|
|
|
||||||
+ |
|
|
|
За* |
Ф^, (а, Cos 0)J + е3 ,.. |
|
|||||
Л, cos 0 + <ааВхsin 0 |
+ |
|
|||||||||
Тогда, ограничиваясь первым приближением, будем иметь
|
— |
« еА, (а); |
|
- toi 4- eBt (а), |
|
|||
где согласно выражениям (3.38) |
|
|
|
|
||||
|
А\ (а)-------- 2шое 1 8<^° |
^ s*n |
|
|
||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
(4.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — TSS5T $ е®° |
cos 0d6> |
|||||
или на основании уравнения (4.7) |
|
|
|
|
||||
|
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
А (а) = |
- |
\ [=F ~ |
(1 - |
2 cos 0 - |
cos20) sin 0d0j = |
|||
|
|
|
|
<о62а |
|
|
|
(4-9) |
|
|
|
|
2ле |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Bi (а) = |
- -2^ Г ( [=F т |
«>282а (1 =F 2 cos 0 - |
cos20) cosOdO1. - |
|||||
|
|
6 L |
|
®fiS |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
(4.10) |
||
|
|
|
8 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя выражения |
(4.9) |
и (4.10) |
в (4.8), |
будем иметь |
||||
|
|
da |
“62fl . |
|
(4.11) |
|||
|
|
dt |
|
2п |
’ |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
dQ |
|
3 . |
|
|
(4.12) |
|
|
|
^ - |
= 0)-----у |
0)6,.. |
|
|||
Предположим, |
что декремент |
колебаний |
определяется |
|||||
тремя видами рассеяния энергии: |
|
|
|
|
||||
|
|
«2 = |
SK+ « . + V |
|
|
(4.13) |
||
где бк декремент, характеризующий конструкционное рассея ние энергии (утечку энергии в заделку), пропорциональный амплитуде колебаний, бк = а а; б„ — декремент, пропорциональ
ный частоте колебаний, 60 = t] ~ . ; бд — декремент колеба-
АЪ
ний, характеризующий сухое трение: б^ = |
. Таким обра- |
30м, 62 может быть представлен так: |
|
б2 = сш + т ) - ^ + 4 5 -» |
(4.14) |
аб |
|
где значения а, у\ и R должны быть получены из соответ ствующего эксперимента; G — модуль упругости при сдви ге. Подставляя выражения (4.14) в (4.11), получаем
-a r = - - s r r a + 4 - 5-+ -3 < r) . |
(415> |
В случае пренебрежения потерями энергии в заделке и от сутствия сухого трения, т. е.
6К= сш = 0; |
б |
= |
= 0 |
|
» |
aG |
u’ |
из уравнения (4.15) будем иметь
b a = 2 f - + C,
или
Ti
а — а0е
где
а0 = (а),=о = 6е.
3. Вынужденные колебания
При рассмотрении вынужденных колебаний будем исходить из уравнения
— ►
Y ж + с (и + е/ (и)) « eqcos pt,
где еq — амплитуда возмущающей силы. Учитывая выра жение (4.2), а также то, что u = R y, последнее уравнение можно переписать в виде
Йаф |
+ со2(<р + е/ (ф)) = еqcospt, |
(4Л6) |
дР |
где
2nR*nQ »
Перепишем уравнение (4.16) в виде
+ <02ф = щ cos pt — еФ (ф), |
(4.17) |
еФ(<р)l “ ± T ,rt). ( » . =F * ’ ’— ^ ) - |
<4 Л 8 > |
Пользуясь принятыми методами нелинейной механики, основанными на использовании малого параметра, будем искать решение уравнения (4.17) в виде разложений по степеням малого параметра
qjs=acos0 +8Ht (a, 0) + е2и2(а,0) + ....
где
0 = pt + ф.
Амплитуда деформаций а и фаза определяются из следующих дифференциальных уравнений:
^ - = е Л ,(о ) + еМ,(а) + ...; |
(4.19) |
||
-§- = ш + |
еВ1(а) + |
в>В2(а) + |
(4.20) |
или |
|
|
(4.21) |
dt = <о —p + |
еВ4 (а) + |
в2Ва(а) + ... |
|
Взяв вторую производную от уравнения (4.19), с учетом выражения (4.21), приравняв в полученных выражениях множители при одинаковых степенях малого параметра и ограничиваясь при этом множителем при малом парамет ре первой степени, получим
2(oAt sin 0 — 2соаВ1 cos 0 + |
+ Utj = 7 cos pt — Ф (tp). |
(4.22)
Умножая уравнение (4.22) один раз на cos 040, а второй — на sin 040 и интегрируя от 0 до 2jt, получаем
2Я 2Я
ю2 ^ |
+ Uij sin 040 — 2л©At + |
q ^ cos pt sin 040 |
— |
|
о |
2Л£ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— J ®(<p)sin040; |
|
(4.23) |
|
2Я |
° |
2Я |
|
|
|
cos 040 — 2nemBl -f q | |
cos pt cos 040 |
— |
|
£ Ф(Ф) cos 040. |
(4.24) |
Так как при |
установившихся |
вынужденных колебаниях в |
|
резонансе |
= 0, т. е- |
if *= const, то, обозначая х = pt, |
|
можно записать |
|
dQ = dx; |
|
|
0 = |
т + if; |
|
2rt
cos т cos (/ — if) dx = cos if j cos2 xdx —
— sin чр J cos t sin xdx = |
я cos if; |
|
о |
|
|
2Я |
2rt |
|
f cos т sin (t + if) = |
cos if f cos x sin xdx + |
|
О |
0 |
|
2Я |
|
|
- f - sin if j cos т = я sin if, |
||
а также |
|
|
2л |
2Я |
|
\ ( ж + wi ] sin |
i (4 )Ж + |
“ *)cos 0d0 = |
(4.25)
(4.26)
(4 *27)
поскольку
2Я |
2Я |
|
^ |
s*n 0^0 = — | |
sin 0d0* |
Решая уравнения (4.23) относительно Ax, a (4.24) — отно сительно Bu с учетом (2.25) — (2.27) найдем
2Я->
^ Ф (q>) sin 0d0 — Я(7sin if
Ax —
2лсо
(4.28)
2rt_>.
^ Ф (ф) cos 0d0 — щ cos ф
B1==
2ашо
Подставляя выражение (4.28) соответственно в (4.21) и (4.22), получаем
da = |
1 |
’ 2Я £ |
|
|
^ еФ (ф) sin 0d0 — яeq sin if]; |
(4.29) |
|||
dt |
2mo |
|||
|
|
Lo
n ,
При установившихся положить
1 |
2Я ^ |
£ еФ (<p)cos 0d0 — neq cos ф
вынужденных колебаниях мы
J L _ |
о- |
* L - n |
dt ~ |
и’ |
|
Тогда из выражения (4.29) находим 2я _>
. (4.30)
должны
|
|
|
|
|
J еФ (<p) sin 9d0 |
|
|
|
sin aj) = |
яе? |
(4.31) |
||
|
|
|
|
|
|
|
а из выражения (4.30) |
будем иметь |
|
||||
.£_ = |
1 _1____1 |
|
2п |
|
"I |
|
|
^ еФ (ср)cos 0d0 — яе<7 cos -ф I . (4.32) |
|||||
о |
~ |
2яаша |
|
|
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
2ЛЯ ;+ |
|
|
, |
2Я |
|
|
J еФ(ф) sin 0d0 = |
± |
у |
J со262а (1 q= 2 cos 0 — cos2 0) sin QdQ = |
|||
|
|
|
|
= |
— cto26s; |
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
( вФ(ф) cos 0d0 = ± |
-g- o26sa (1 2 cos 0 — cos2 0) cos 0d0 = |
|||||
= — j- таг6£a,
выражения (4.31) и (4.32) соответственно можно представит? в виде
или, учитывая, что
формулу (4.33) окончательно можно переписать в виде
JL = |
1 ___г. б -+- |
1 /(е?)2 — а2(о4б|. |
(4.34 |
|
(0 |
1 |
*8 °*5*"*■ |
2а©8 |
|
Пользуясь формулой (4.34), можно построить'амплитудно-
частотную резонансную кривую а —/(-£ -] • [Построим резо
нансную кривую для следующего конкретного примера: пружина радиусом /?»=40 мм навита из круглой проволо ки диаметром d —5 мм, число витков п—8, подвешенный груз Q = 2 0 Н. Материал пружины сталь с модулем упру гости С?= 8 • 106 МПа. Декре мент колебаний согласно вы ражению (4.14)
62 = 0,001а+ 2 7 , 9 - ^ - + - ^ - .
(4.35) Согласно формуле (4.4) квад рат собственной частоты коле бательной системы (груза, под вешенного на пружине) будет
О)2 — 2nRanQGIpg = 748;
о» = 27,35.
Рис. 10. Амплитудно-частотная резонансная кривая.
Принимая амплитуду возмущающей силы в уравнении (4.16) eq—2,628 с-2 и подставляя все известные значения в формулу (4.34), получаем
-5- = 1 - 4 |
(О'001* + |
27•» ТГ + * * г ) ± |
|
|
|
+ |
( « б ) |
Амплитудно-частотная |
кривая, |
выражающая |
функцию а = |
= / , построенная по формуле (4.36), приведена на рис. 10.