книги / Общая термодинамика
..pdf
или, разделив на dt, получим:
С=С, + Ь1Н |
<7 - 3 2 > |
В (7-31) и (7-32) С и b — теплоемкость |
изобарного процес |
са ah и скрытая теплота изменения давления процесса а/ в состоянии а. Следовательно, Ср и b не зависят от рассматри
ваемого процесса ае. При переходе от одного обратимого элементарного процесса ае к другому изменяются приращения dp и dt давления и температуры, поэтому согласно (7-31) и (7-32) должны измениться DQ и С.
3°. Выражения (7-27)— (7-31)
DQ=Cvd t I d V
и
DQ=Cpdt -I bdp
по форме вполне одинаковы. Правая часть каждого из них — двучлен, в котором Cv, I, Ср и b служат коэффициентами при
дифференциалах. Физический смысл этих коэффициентов ясен. Например, Cv — это количество тепла, которое необходимо
сообщить |
системе для |
поднятия |
|
температуры |
на |
1 ° С при |
|||
постоянном объеме. |
|
DQ также через изменения dp и |
|||||||
Мы могли бы выразить |
|||||||||
dV давления |
и объема |
в |
течение |
элементарного |
обратимого |
||||
процесса |
ае: |
D Q =adp + |
$dV; |
|
|
(7-33) |
|||
|
|
|
|
||||||
а — количество тепла, необходимое |
для |
изохорного |
поднятия |
||||||
давления |
на |
единицу |
|
|
. |
|
|
|
|
Смысл |
р аналогичен. |
В |
§ 7-9 |
коэффициенты |
а и р будут |
||||
выражены через знакомые нам величины. |
|
|
|||||||
4°. Из полученных результатов можно сделать следующий |
|||||||||
общий вывод. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждом |
процессе |
изменяется |
ряд |
признаков |
системы. |
||||
Если система зависит от трех параметров, причем один из параметров — м асса— постоянен, то теплота одного и того же элементарного обратимого процесса может быть выражена посредством элементарных приращений двух параметров (V, t ;
р, t: р, V и т. д.) в течение этого процесса. |
|
|
и V, р, т, |
||||
Мы знаем, что обе тройки |
признаков: V, t, т |
||||||
где т — масса, |
всегда могут быть |
приняты |
за |
параметры |
|||
системы. Между тем |
признаки |
р, t, т не |
всегда |
могут слу |
|||
жить параметрами. |
Например, |
в |
системе |
жидкость — пар |
|||
р — функция t, |
и поэтому р и t |
не |
могут |
вместе |
входить в |
||
группу параметров. Отсюда следует, что выражения (7-26) и (7-33) имеют более широкую область применения, чем (7-31). Выражение (7-27) применяется значительно чаще, чем (7-33).
7-7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Ср, c v, I, Ь, a, f
Пользуясь тем, что теплота DQ одного и того же обрати мого элементарного процесса может быть выражена различ ным образом, можно установить зависимости между С , Cv, l ,
b, ос, р и некоторыми другими величинами.
1°. Предположим, что обратимый элементарный процесс ае
изотермичен, т. |
е. |
dt —0. Обозначим |
через |
DtQ, dtp и |
dtV |
сообщенную системе |
теплоту, приращения давления и объема |
||||
в течение этого |
процесса. Тогда (7-27) |
и (7-31) |
запишутся |
так: |
|
DtQ—ldtV\ DtQ—bdtp.
В этих равенствах левые части одинаковы, так как они представляют теплоту исследуемого изотермического процесса. Отсюда следует:
ld tV = bdtp,
или
(7-34)
Во всех устойчивых состояниях системы изотермический процесс вызывает противоположные по знаку изменения давле
ния и объема; поэтому |
частная |
производная |
отрицатель |
на и, согласно (7-34), |
скрытые |
теплоты b и I должны иметь |
|
разные знаки. |
|
|
|
В подавляющем большинстве случаев |
и, следовательно, |
||
b < 0. (7-34) можно несколько видоизменить. Действительно, из выражения ( 1 -7 )
следует:
Поэтому (7-34) можно написать так:
— Ь\ |
дУ |
др |
dt |
=/: dt |
Обозначив коэффициент пропорциональности через ш, имеем:
; |
<7-35> |
" = — (% ■ ), |
<М 6 > |
2°. Пусть процесс а е — изохорный (dVzzO). Обозначив через DVQ, dvp и dvt сообщенную системе теплоту, приращения дав
ления |
и температуры |
в |
течение |
|
этого |
процесса, |
имеем по |
|||||
(7-27) |
и (7-33): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DvQ~o,dvp, |
|
||||
или ввиду равенства левых частей |
этих |
равенств |
|
|||||||||
|
|
|
С |
d |
V |
t = ad |
|
р ; |
|
|
||
|
|
|
|
V |
|
|
|
v r > |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.37, |
Рассмотрев изобарный |
процесс |
|
и выписав выражения (7-31) |
|||||||||
и (7-33) для DpQ, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 -С |
|
dt |
|
|
|
|
(7-38) |
||
|
|
|
р \ dV |
|
|
|
|
|||||
На |
основании |
(7-37) |
и |
(7-38) |
выражение (7-33) |
принимает |
||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W=c.(% Vp+ c>{Jsr),tv |
<М 9 > |
||||||||||
3°. Рассмотрим теперь случай, когда а е — обратимый эле ментарный адиабатический процесс, в течение которого темпе ратура, давление и объем получили приращения
d j , dsp, |
dsV. |
Будем помнить, что DsQ = 0. |
Тогда (7-27) и (7-31) могут |
быть написаны так:
Cvdtt = - l d ,V ; Cpdst = i - b d sp.
Разделив почленно нижнее равенство на верхнее, находим:
др
Сг : С . = Ч : 1 ) ( & ) г
Имея в виду, что
и воспользовавшись (7-34), получим:
(7-40)
Правую часть (7-40) можно выразить посредством коэффи циентов сжимаемости. Действительно, мы уже знаем по ( 1-6 ),
что у , = — |
— коэффициент изотермической сжимаемо |
|||
сти. |
|
|
|
|
Таким же образом ys= ----- — коэффициент |
обрати |
|||
мо-адиабатической сжимаемости. |
|
|
||
Поэтому можем вместо (7-40) написать: |
|
|||
|
|
с р - с = ъ - ь - |
|
(7-40') |
Сопоставим |
(7-40) |
с неравенством С |
:С „ ;> 1 . Это выраже |
|
ние получено, |
исходя |
из того, что (фиг. |
7-9) |
обратимая адиа |
бата круче изотермы. Из большей крутизны адиабаты вытекает,
что |
если |
провести |
на диаграмме р —V из |
общей точки адиа |
бату |
и изотерму, то |
|
||
|
|
|
(£),-(£)>*• |
Cp :C v^> 1 является |
Таким |
образом, |
ясно, что неравенство |
||
непосредственным следствием неравенства (7-41). Соотношение (7-40) дополняет этот результат. Зависимость
(7-40) часто оказывается весьма полезной и имеет очень боль шое число аналогов.
7-8. ТЕПЛОЕМКОСТИ И СКРЫТЫЕ ТЕПЛОТЫ ОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ КАК ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ
1°. В предыдущей главе было показано, что теплоемкость при постоянном объеме
(7-42)
теплоемкость при постоянном давлении
(7-43)
Так как U и Я — функции состояния, то их частные произ водные по температуре тоже должны быть функциями состоя ния. Следовательно, Cv. и Ср — функции состояния.
Докажем, что b, I и вообще все коэффициенты выражений для DQ в обратимых процессах — функции состояния.
Для |
этого воспользуемся (7*3): |
|
|
|
|
|||
|
|
D Q -d U + pdV |
|
|
(7*44) |
|||
Примем |
за параметры |
т, V, t, причем т —const. Тогда |
|
|||||
или по (7-42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU = ( - w ) ,‘lV + c ,‘“ - |
|
|
(7-45) |
||||
Выразив DQ через |
(7-27), из |
(7-44) и (7-45) |
получаем: |
|||||
или |
u v = [ ( - w l + ”} dV ' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ = { w ) + p- |
|
|
( 7-46) |
|||
2°. Теперь примем |
за |
параметры |
т,р , t (т = const). Тогда |
|||||
|
‘ H 4 w ) , d’ + № l iu - |
|
|
|||||
или по (7-43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
= |
( * t y P + C / t . |
|
|
(7-47) |
||
С другой стороны, переписав (7-44) так: |
|
|
||||||
|
DQ=dU - f d(pV ) — V dp= d (U - f |
pV) — Vdp |
|
|||||
и помня, что по (6-58) |
|
H = U + p V , |
|
|
|
|||
имеем: |
|
|
|
|
|
|||
|
DQ=dH — Vdp. |
|
|
(7-48) |
||||
|
|
|
|
|||||
Воспользовавшись |
для |
DQ и dH |
их |
выражениями |
(7-31) и |
|||
(7-47), находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
bdp= [ ( ^ r ) t - |
v ] dp' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = ( - w |
) r v |
|
|
(749) |
||
3°. Рассмотрим полученные |
зависимости |
(7-46) и |
(7-49). |
|||||
U, Н, t, р, V — признаки |
системы. |
Поэтому |
частные |
произ |
||||
водные |
|
|
|
|
|
|
|
|
— функции состояния.
Следовательно, в выражениях (7-27) и (7-31) для DQ в элементарных обратимых процессах не только Ср и Cv, но и I, b являются функциями состояния.
Из (7-37) и (7-38) следует, что в выражении (7-33) для DQ
аи р — также функции состояния. По (7-35) и (7-36)
фициент ш тоже должен быть функцией состояния.
В результате:
[7-Н]. Все коэффициенты в выражениях для DQ в эле ментарных обратимых процессах (С0, Ср , /, Ь, а, р), а также коэффициент пропорциональности со в выражениях для I п b являются функциями состояния системы.
4°. Выведем еще две важные зависимости. Речь идет о частных производных
($),■ ш
Пусть в состояниях 1 и 2 объем, температура, внутренняя энергия и теплоемкость при постоянном объеме имеют соот ветственно значения
Vu t, U1, С (состояние /);
V2, t, U2 CVt (состояние 2).
Если за параметры приняты объем и температура и m=const, то
*Л=<Р(*, ^i); £/a=<p(f,v2).
и так как У \ ф У 2, то в общем случае
и хф и 2.
Поэтому и теплоемкости при постоянном объеме в состоя ниях 1 а 2
вообще говоря, будут неодинаковы:
С ^ С .
|
|
Указание. Целесообразно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а) |
установить связь между |
отношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
воспользоваться результатом задачи 7-1 или |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
б) непосредственно воспользоваться |
зависимостью |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
(7-32), |
|
|
|
||
|
|
7-3. |
В |
точке а начинаются |
два |
конечных |
обратимых процесса: изохор- |
|||||||||
ный ab и изобарный ае. Теплоты этих процессов |
соответственно |
Qab и Qaei |
||||||||||||||
а |
точки |
b н е принадлежат |
обратимой |
адиабате. |
Определить, |
которая |
из |
|||||||||
теплот больше: Qab или Qae . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Указание. Можно применить первое начало к циклу abea. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
7-4. Пользуясь результатом задачи 7-3, показать: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1) что |
если изохорный процесс |
ab и |
изобарный |
процесс ае |
конечны, |
то |
||||||||
|
|
|
|
|
tь |
|
> |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1е |
|
Сv,cp |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Ср ср — средняя теплоемкость процесса |
а е . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Cvcp — средняя теплоемкость |
процесса |
ab\ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2) что если процессы ab и ае |
элементарны |
и |
им соответствуют |
прира |
||||||||||
щения температуры dbt и dp t, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
сР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dpt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ср |
и |
Cv — теплоемкости |
обратимых изобарного |
и изохорного |
процес- |
|||||||||||
со |
|
в точке а. |
|
|
|
причем |
на |
диаграмме |
р — V изо |
|||||||
|
|
7-5. 12341 — обратимый цикл Карно, |
||||||||||||||
терма 12 расположена выше изотермы 34. Показать, что |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
а) @12 ^ @43» |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
б) |
|
^— Для систем» в которых |
|
|
|
> |
0; |
|
|
|
||||
Q12 : Q43 < 1 — Для систем, в которых ( ^ jf)
Указание. Убедиться, что ^ 12341^®» и помнить, что ^ 3 = — Q34. 7-6. Вывести из предыдущей задачи теорему:
имеют один знак.
Здесь as и а — обратимые адиабаты 14 и 23 предыдущей задачи; Qw — скры
тая теплота обратимого изотермического |
перехода |
от s к с. Пусть один |
такой переход начинается при давлении р, |
а другой — при давлении p-\-dp; |
|
соответствующие им скрытые теплоты |
будут Qsa |
и Qso -|- dQs<3. Отсюда |
становится понятным смысл величины |
(0Q »\ |
5 после скобок |
~J s » где индекс |
показывает, что оба упомянутых процесса начинаются на адиабате s.
7-7. Пользуясь [7-В], показать, что
7-8. Вывести зависимость
и |
показать, |
что |
она |
подтверждает |
(7-14) |
и |
результат |
предыдущей задачи. |
|||||||||||
|
7-9. Пусть |
12 |
и |
13— элементарные |
обратимые |
адиабата |
и |
изодинама, |
|||||||||||
причем V2 = |
V3 (т. е. |
адиабата |
и |
изодинама |
заканчиваются |
на |
одной изо |
||||||||||||
хоре). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показать, |
пользуясь (7-9) и |
определением |
изодинамы, что |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
<323 > 0 , |
если |
Vi < |
V2; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Q23<0, если V , > V2. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
7-10. а) Вывести зависимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) Проверить эту зависимость на примере идеальных газов. |
|
|
||||||||||||||||
|
в) Показать на основании этой зависимости, |
что |
в |
системах, |
в |
которых |
|||||||||||||
|
0, изодинама на диаграмме p — V спускается |
слева |
направо. |
|
|
||||||||||||||
|
Указание. Воспользоваться |
зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и |
положить: |
|
|
|
d.г = |
DQ; dx = |
dp\ dy = |
dV\ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dz = |
dU; |
dx = |
dp; |
dy = |
dV. |
|
|
|
|
|
||||
|
7-11. В |
координатной |
системе |
р — t |
представить |
обратимые |
циклы |
||||||||||||
Карно, совершаемые чистой водой, в которых |
температуры верхней и ниж |
||||||||||||||||||
ней изотерм |
соответственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
'а) 3,5 и 0,5° С; б) 8 и 5° С.
7-12. Установить, как изменилась бы теорема [7-Л], если бы при соблю-
дении |
обратимая адиабата оказалась положе |
изотермы.
7-13. Показать, что в обратимо-адиабатных процессах приращения вну тренней энергии и энтальпии имеют один и тот же знак.
7-14. Вывести зависимость
где
а индекс s означает „в обратимо-адиабатном процессе".