книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

– возможность измерения коэффициента бокового давления ξ и осо-

бенностей его развития в процессе нагружения, а по нему – коэффициента Пуассона = ξ / (1 + ζ);

–возможность измерения давление воды в порах (называемого пóровым и обозначаемого буквой u); следует отметить, что это «тонкая» для измерений характеристика, достоверное значение которой можно получить, только используя способ компенсации объема воды, вытекающий через иглу к специальному манометру 7 (см. рис. 3.2): саму же величину пóрового давления u определяют по компенсирующему противодавлению σW;

–проводя испытания по закрытой системе с измерением порового давления (т.е. быстрые опыты), можно получить характеристики прочности грунта, относящиеся

кмедленным, консолидиро-

мому методу «повторных сдвигов», когда один и тот же образец может быть несколько раз доведен до разрушения при различных возрастающих (или уменьшающихся) значениях боковых давлениях (рис. 3.4).

3.3 Формы записи условия прочности

Соотношения, показанные на рис. 3.3, позволили О. Мору сформулировать другую форму записи закона Кулона. Если рассмотреть треугольник, обозначенный на этом рисунке как АВD, можно записать:

111

а если учесть, что Ri = (σI – σIII) / 2 – радиус круга Мора, σс = с / tg φ, иногда называемое структурной прочностью, σср = (σI + σIII) / 2 – среднее напряже-

ние (центр круга), тогда

Общепринятая форма условия прочности грунтов, выраженная через главные напряжения, получила название закона Кулона – Мора:

Разность напряжений в левой части закона Кулона – Мора (3.7), (3.7') вводится по модулю, чтобы показать применимость закона к области как положительных, так и отрицательных касательных напряжений (т.е. имеются в виду как верхние, так и нижние части кругов Мора).

В расчетах часто более удобна преобразованная форма записи закона Кулона – Мора (чтобы перейти к ней, нужно воспользоваться справочником по тригонометрии):

где λ = tg (45°– φ / 2), а Ка λ2 – коэффициент активного давления в предельном состоянии (Ка).

3.4 Обсуждение результатов испытаний на сдвиг

Первое, что обращает на себя внимание – это различие в графиках у глинистых грунтов и песков. График у чистых песков начинается в начале координат, причем наклон графика (именно он характеризует угол внутреннего трения φ) существенно больше, чем у глин. Углы внутреннего трения в глинистых грунтах (10–20°) относительно малы по сравнению с песками и более крупными образованиями (25–45° и даже выше). Глинистые же грунты обнаруживают некоторый начальный участок, который называют удельным сцеплением с. Значения его постепенно увеличиваются при переходе от чистого песка (с = ~0 кПа) к супеси (с = 0…10 кПа), далее к суглинку (с = 10…30 кПа) и глине

(с = 30…50 кПа и выше).

Второе. В инженерно-геологических науках тщательно изучаются причины существования трения и сцепления в грунтах. Разумеется,

112

меньшие углы внутреннего трения в глинах по сравнению с песками и более крупными образованиями объясняются меньшими размерами глинистых частиц: в некоторых грунтах (так называемых жирных глинах) угол φ может быть равным нулю. Что касается сцепления, то оно обусловлено склеивающей способностью глинистых частиц. Однако, как давно установлено, часть сцепления обусловлена наличием жестких (кристаллизационных) связей между частицами, причем эта часть может участвовать либо не участвовать в сопротивлении смещению, в зависимости от того, рассматривается начальная либо конечная фаза (при больших смещениях). Типичные графики испытания на сдвиг глинистых грунтов с жесткими связями показаны на рис. 3.4. На рис. 3.5, а показано наличие «пиковой» и установившейся («послепиковой») прочности, а соответствующие графики (рис. 3.5, б), построенные по пиковым или по установившимся значениям прочности, часто различаются существенно. Это подтверждает наличие в грунтах ранее отмеченного эффекта «страгивания», о котором знали Леонардо, а позднее – Амонтон и Эйлер. Однако эффект «страгивания» может проявиться лишь у части образцов (например, при первом сдвиге при повторных сдвигах в стабилометре, см. рис. 3.4).

Рис. 3.5. Иллюстрация влияния пиковой и установившейся прочности (а) на графике сдвига (б)

Третье. Параметры с и φ, соответственно графики сдвига, зависят от того, быстро или медленно совершается нагружение вертикальными и горизонтальными нагрузками. Особенно ярко это проявляется при испытании полностью водонасыщенных глин. Различают быстрый (неконсолиди-

рованно-недренированный), медленный (консолидированно-дренированный) и промежуточный (консолидированно-недренированный) сдвиги.

Условие прочности Кулона в этом случае изменяется так:

где τп и σп – соответственно полные касательное и нормальное напряжение по площадке сдвига; u – пóровое давление, которое принимается как гидростатическое, нейтральное (и иногда обозначается как σн, σп

113

или σW); разница (σп – u) носит название эффективного давления (т.е. передающегося только на грунтовый скелет) и часто обозначается как σе, σэф. При быстром сдвиге вода, находящаяся в глинах, не успевает дренировать за время опыта, поэтому здесь часто наблюдается подобие пиковой и установившейся прочности (см. рис. 3.5, а).

Чтобы построить график сдвига, относящийся к консолидированнодренированному испытанию, нужно, как показано на рис. 3.6, б, все полученные круги Мора передвинуть влево на величину порового давления ui, относящегося к этому кругу. Иногда результирующий график сдвига при быстром сдвиге может быть даже горизонтальным, а характеристикой прочности будет служить только удельное сцепление с при нулевом или почти нулевом угле φ. Но при медленном сдвиге (или после обработки результатов быстрых испытаний с учетом порового давления) значения угла внутреннего трения, как правило, существенно выше нуля.

Четвертое. При срезе, например, трех образцов под различными

114

срез: один из образцов срезают при том же давлении σ3, а остальные при меньших давлениях: σ2 < σ* и σ1 << σ*.

«Чистота» таких опытов в том, что при разгрузке грунта его плотность, ранее достигнутая при давлении σ* = σ3, не меняется (или меняется незначительно), поскольку деформации при разгрузке существенно меньше, чем при нагружении. Эту особенность нескальных грунтов характеризует различие модулей деформации при нагружении (Е) и разгрузке (Ео). Такой способ получил название сдвига по Хворслеву (М. Hvorslev [4]), а еще раньше, в 1940–50-е гг., его называли сдвигом по ВНИИГу (ВНИИ гидротехники им. Б.Е. Веденеева в СанктПетербурге, который введет исследования грунтов для гидротехнического строительства).

* * *

Заканчивая рассмотрение прочности грунтов, отметим, что основные ее законы имеют большое практическое значение при установлении допустимых и предельных нагрузок на грунты в основании фундаментов, давления грунтов на ограждения, устойчивости откосов и др., которые рассматриваются в следующих лекциях.

Для более глубокого изучения вопросов прочности в приложениях А, Б, В приведены другие теории прочности, дискуссии в этой области и нелинейные модели грунта.

Список литературы

1.Кулон Ш.-О. Essai de 1773 de Charles-Augustin Coulomb «Sur une applikation des règles de Maximis & Minimis à quelques Problèmes de Statique, relatifs à ľArchitecture» («О применении правил максимумов и ми-

нимумов к некоторым вопросам статики, имеющим отношение к архитектуре»). – М., 1973. – 42 с. [Мемуар был воспроизведен к VIII Международному конгрессу по механике грунтов].

2.Amontons G. Remarques et experiences physiques sur la construction d'une nouvelle clepsydre, sur les baromètres, thermomètres et hydromètres. – Paris, 1695 («Замечания и физические опыты на строительстве новых водяных часов, барометров, термометров, ареометров…»).

3.ГОСТ 12248–2010. Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости. – М., 2011.

4.Hvorslev M.J. Time Lag and Soil Permeability in Ground-Water Observations // Bull. Waterways Exper. Sta. Corps of Engrs, U.S. Army. Vicksburg, Mississippi, 1951. – No. 36. – P. 1–50.

115

5.Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis for limit design // Quarterly of Applied Mathematics. – 1952. – Vol. 10, no. 2. – P. 157–165.

6.Боткин А.И. Исследование прочности сыпучих и хрупких материалов // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. – 1940. – Т. 26. – С. 205–236.

7.Ломизе Г.М., Крыжановский А.Л., Петрянин В.Ф. Исследование закономерности развития напряженно-деформированного состояния песчаного основания при плоской деформации // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 1972. – № 1. – С. 24–35.

8.Schofield A., Wroth P. Critical State Soil Mechanics. – London: McGraw-Hill, 1968.

9.Roscoe K.H., Burland J.B. On the generalized stress-strain behavior of “wet clay” // Heyman J., Leckie F.A. (Eds.), Engineering Plasticity. – London, 1968.

10.Федоровский В.Г. Современные методы описания механических свойств грунтов // Строительство и архитектура. Сер. 8. Строительные конструкции – 1985. – Вып. 8. – 72 с.

11.Лушников В.В., Оржеховский Ю.Р., Оржеховская Р.Я. Модель упрочняющейся разномодульной грунтовой среды // Основания и фундаменты в геологических условиях Урала: сб. тр. / Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1987. – С. 72–78.

12.Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. – М.: Наука, 1982. – 228 с.

13.Оржеховская Р.Я. Анализ результатов статических испытаний грунтов оснований зданий и сооружений на основе модели упрочняющейся разномодульной среды: дис. … канд. техн. наук. – Свердловск, 1988. – 151 с.

116

Приложение А

ДРУГИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Как отмечалось, условие прочности Кулона – Мора учитывает только максимальное σI и минимальное σIII главные напряжения по площадке сдвига. Промежуточное же главное напряжение σII формально не участвует в формировании прочности.

Намерения учесть влияние на прочность промежуточного главного напряжения отражает целая группа теорий прочности. Эту группу условий можно выразить через 1-й и 2-й инварианты напряжений в форме, впервые предложенной Друккером и Прагером (D.G. Drucker, W. Prager [5])

где IIσ = (σI – σII)2 + (σII – σIII)2 + (σIII – σI)2, аIσ = σI + σII + σIII; k и α – пара-

метры прочности, аналогичные параметрам с и tg φ условия Кулона – Мора, но не совпадающие с ними.

Обработку результатов испытаний на сдвиг в срезном приборе применительно к условию (А.1) проводят следующим образом. Зная вертикальное давление σI в каждом опыте, нужно через него вычислить горизонтальные σII и σIII напряжения по формуле компрессии

σII = σIII = σI ξ = σI · v / (1 – v), далее вычислить Iσ = σI (1 + 2 ξ) и IIσ = σI2 ξ (2 + ξ). После этого нужно построить график в координатах

Iσ (по оси σ) – IIσ (по оси τ), а экспериментальные точки обработать методом наименьших квадратов. Соответствующие параметры будут иметь смысл: α – тангенса угла наклона графика к оси Iσ (σ), а k – отрезка, отсекаемого графиком на оси IIσ.

Очевидно, что при обработке испытаний в стабилометре, когда все составляющие напряжений известны, значения Iσ и IIσ вычисляются непосредственно, т.е. без привлечения формулы компрессии (в этом одно из преимуществ нуль-мерных экспериментов).

Соответствующие выражения для α и k имеют вид

В этих выражениях знак плюс относится к испытанию в стабилометре по схеме раздавливания, а минус – по схеме растяжения (разрыва).

Существуют и другие формы записи условия прочности (А.1): Мора – Боткина, Губера – Мизеса, Шлейхера и др. В левой части выра-

117

+(σII – σIII)2 + (σIII – σI)2]1/2.

Вправой части учитывают среднее нормальное напряжение σv =

= (σI + σII + σIII) / 3, или Iσ / 3. Как видно, все условия отличаются только постоянными множителями. Разумеется, в других записях значения α и k

будут различаться.

Пространственное трехмерное представление двух условий прочности для грунта, обладающего трением и сцеплением, приведено на рис. А.1, на котором обе фигуры в координатах Друккера – Прагера показаны ориентированными по так называемой гидростатической оси, равно наклоненной ко всем осям под углом β = 54°44'.

Рис. А.1. Объемное представление условий прочности: пирамида – Кулона – Мора; конус – Губера – Мизеса; цифры в кружках – траектории нагружения на пути между точками А и В: 1-й – А–О–В; 2-й – А–В

Принципиальное отличие обсуждаемых условий прочности в том, что они в правой части выражения (А.1) учитывают среднее напряжение Iσ – в отличие от условия Кулона, которое учитывает только наибольше нормальное напряжение σ. Ранее в I и III теориях прочности вместо конуса и пирамиды принимали соответственно цилиндр СенВенана или шестигранную пирамиду Треска (J. Тresca, 1864), поперечные размеры которых постоянны вдоль гидростатической оси.

Внутренние пространства конуса и пирамиды определяют область допустимых значений напряжений, когда напряжения и дефор-

118

мации связаны между собой соотношениями теории упругости (например, Гука).

Поперечное (перпендикулярное гидростатической оси) сечение фигуры называется девиаторной плоскостью. Нагружение (т.е. движение) строго только вдоль гидростатической оси означает всестороннее сжатие, а в перпендикулярном направлении (т.е. по девиаторной плоскости) – чистый сдвиг. За пределы пирамиды или конуса можно выйти, только производя нагружение (догружение сверх ранее достигнутого сочетания напряжений); при этом конус или пирамида будут расширяться, однако не меняя своего положения относительно гидростатической оси и не меняя углов наклона фигур.

Рассмотрим более подробно девиаторную плоскость, ортогональную относительно гидростатической оси (рис. А.2), которая относится, например, к всестороннему давлению σv = Iσ / 3 = 500 кПа. Характеристики прочности принимаются: для рассматриваемого выше среднего по прочности суглинка: φ = 20°, c = 25 кПа.

Рис. А.2. Девиаторная плоскость

Соответствующие параметры α и k этого условия прочности, вычисленные по формулам (А.2) для испытания в стабилометре по схеме раздавливания:

– k = (6 · 25 · cos 20°) / [ 3(3 – sin 20°)] = ~30.62 кПа; α = (2 sin 20°) /

[ 3(3 – sin 20°)] = 0.149 (arctg α = ~8.45°); соответствующая прочность

(предельное касательное напряжение) τmax = 1500 · tg 8.45° + 30.63 =

=253.5 кПа характеризует внешний радиус круга 1 на рис. А.2;

–если за основу принять схему растяжения (разрыва), параметры

α и k изменятся так: k = (6 · 25 · cos 20°) / [ 3(3 + sin 20°)] = ~24.4 кПа; tg α = (2 sin 20°) / [ 3(3 + sin 20°)] = 0.118 (arctg α = ~6.7°), а прочность

119

τmin = 1500 · tg 6.7° + 24.4 = 201.7 кПа характеризует внутренний радиус круга 2 на рис. А.2;

– правильная шестиугольная фигура 3 на рис. А.2 характеризует прочность грунта по теории Треска.

Чтобы определить место условия прочности Кулона – Мора на девиаторной плоскости, нужно обратиться к параметру Лоде

μσ = (2 σII – σI – σIII) / (σI – σIII), который характеризует положение напряжения σII (напомним, что μσ = +1 при σII = σI, а μσ = –1 при σII = σIII).

Соответствующие всестороннему давлению σv = Iσ / 3 = 500 кПа главные напряжения в условии прочности Кулона – Мора определяются

из следующих выражений:

– при μσ = –1: σI = (Iσ + 4 с λ) / (1 + 2 λ2) = (1500 + 4 · 25 · 0.70) / (1 + 2 · 0.702) = 792 кПа, σIII = σI λ2 – 2 с λ = 792 · 0.702 – 2 · 25 · 0.70 =

= 363 кПа; соответствующая прочность τ = (792 – 353) / 2] · cos 20° =

= 207 кПа; напряженное состояние характеризует круг 1 на рис. А.2;

– при μσ = +1: σI = (Iσ + 2 с λ) / (2 + λ2) = (1500 + 2 · 25 · 0.70) / (2+0.702) = 616 кПа, · 25 · 0.70σIII = σIλ2 – 2 с λ = 616·0.702– 2 · 25 · 0.70 =

= 267 кПа; отсюда прочность τ = [(σI – σIII) / 2] · cos φ = [(616 – 267) / 2]cos 20° = 164 кПа (см. круг 2 на рис. А.2).

Условию прочности Кулона – Мора соответствует выделенная жирными линиями неправильная (гексагональная) пирамида, показанная поз. 4 на рис. А.2.

Полученные для суглинка касательные напряжения (максимальное 207 кПа и минимальное 164 кПа, соответствующие внешнему 1 и внутреннему 2 кругам на рис. А.2) отличаются от значений радиусов кругов, полученных по теории Друккера – Прагера (соответственно 253.5 и 201.7 кПа), поскольку ортогональные плоскости для условия (А.1) и Кулона – Мора различаются по месту на гидростатической оси и по наклону относительно нее.

Чтобы привести полученные напряжения в одну девиаторную плоскость, нужно пересчитать значения среднего напряжения в расчетах по теории Друккера – Прагера. Расчеты показывают, что среднее давление σv = I/3, при котором достигается прочность на сдвиг τmax = 207 кПа, равно Iσ = 1183 кПа; при этом напряжении минималь-

ная прочность τmin = Iσ tg α + k = 1183 · 0.118 + 24.4 = 164.0 кПа. Теперь все напряжения будут находиться в едином пространстве девиаторной плоскости.

Влияние промежуточного главного напряжения σII в условии Кулона – Мора (для фигуры 4 на рис. А.2) выразилось в том, что максимальные касательные напряжения будут иметь различные значения –

соответственно положению σII = σI, т.е. при μσ = –1 (τ'max = 207 кПа) и при σII = σIII, при μσ = +1 (τ'min = 164 кПа). Движение по кругу (например,

120