книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

предельного состояния, получает некоторое другое, но более устойчивое по плотности состояние. Проще всего это можно иллюстрировать упоминаемой ранее системой шаров, которая при сдвиге получает повышенную пористость (за счет взаимного подъема смещаемых шаров), а затем уменьшает ее до ранее существовавшего более плотного состояния. Подобное же явление наблюдается и в глинистых грунтах с жесткими структурными связями: во время сдвига они обнаруживают пиковую прочность, которая затем уменьшается до достижения стабильного по плотности состояния.

Задача ученых из Кембриджа заключалась в том, чтобы описать наиболее существенные свойства грунтов при минимальном наборе параметров, определяющих их свойства. Причем даже обозначение и содержание этих параметров существенно отличается от ранее известных.

В общем случае модель Cam-Clay предполагает существование некоторого начального состояния глины, когда она образовалась в виде осадка. Но эта глина обладает фундаментальным свойством, согласно которому прочность ее изменяется по линейному закону

где q = σ1 – σ3 – мера касательных напряжений; p = (σ1 + 2σ3)/3 – среднее напряжение; М – параметр, характеризующий упрочнение грунта с ростом давления (аналогичный тангенсу угла внутреннего трения); этот параметр определятся механическим, вещественным составом глины.

Казалось бы, для глины нужно было бы вести еще и другой параметр, аналогичный сцеплению, но, как будет показано далее, сцепление в этой глине появится потом, когда она под воздействием давления приобретет новое состояние. В перечне параметров модели также есть объемная деформация εv = ε1 + 2ε3 и деформация сдвига γ = 2 (ε1 – ε3)/3.

В любом последующем состоянии глина подвергается какому-то силовому воздействию – весом грунта, ледника, доисторического рельефа, которые уже создали некоторое начальное среднее напряжение ро. В результате возникает новое состояние глины, напряженное состояние которого характеризует затененная область, показанная позицией 1 на рис. В.4, а. Границы этой области характеризует соотношение

где р0 – начальное среднее напряжение, а р* и q* – напряжения в точке

А* при р* ≤ ро.

131

объема (–pdvp) и на развитие деформаций сдвига (vqdγp), сопровождающееся увеличением объема

Следовательно, при выходе за пределы упругой области кроме упругих εе образуются еще и пластические деформации εр, т.е.ε = εе + εр.

Модель Cam-Clay предполагает следующий закон связи между любым новым напряжением р и деформацией ε (в ней вместо ε принят удельный объем v = 1 + е, где е – коэффициент пористости):

где Г – некоторое начальное значение удельного объема; λ – константа, характеризующая общие деформации (см. рис. В.4, б) (аналог модуля деформации).

Графики, иллюстрирующие зависимость р – v при нагружении (а) и разгрузке (б), показаны на рис. В.4, б. Один из приемов, позволяющих для явно нелинейных зависимостей (например, компрессии) пользоваться линейными соотношениями, является включение в формулу (В.8) логарифма от соотношения напряжения.

Следующим важным свойством модели является положение о критической плотности (пористости, удельного объема). Постулируется, что во всех точках границы области, определяемой уравнением (В.6), грунт имеет критическую плотность, а внутри находится в более плотном или более рыхлом состоянии. При достижении границы любой такой области по любой траектории грунт переходит в состояние критической плотности, зависимость v – ln p для которой показана штриховой линией в на рис. В.4, б. Одновременно это означает уменьшение прочности (сопротивления сдвигу), т.е. этим можно объяснить часто наблюдаемое снижение прочности при сдвиге после достижения пикового сопротивления. Если представить движение строго по границе поверхности текучести, изменения объема происходить не будет.

Из анализа приведенных выше формул следует, что приращение пластических деформаций может быть вычислено по формуле

Давая общую оценку модели Cam-Clay, следует отметить ее лаконичность – при относительно малом числе параметров модели (М, λ, k), начального состояния (ро) и типа грунта (Г) она описывает очень много существенных особенностей поведения грунтов. Например, выход поверхности текучести выше линии предельного состояния q = М р (см. рис. В.4, а) означает упрочнение грунта, подобное тому, что ранее

133

было известно как эффект М. Хворслева (только прямая линия заменяется логарифмической). Здесь и появляется некоторый эквивалент удельному сцеплению, а достижение критической плотности отражает наблюдаемое в опытах послепиковое снижение прочности.

Вместе с тем, модель несовершенна в том отношении, что она оперирует только обобщенными напряжениями р и q, поэтому условие прочности представляет собой круг на девиаторной плоскости (в отличие от правильного шестиугольника или более сложных фигур). В ней недостает параметра, подобного коэффициенту Пуассона. Далее: модель не учитывает возможнуюработу грунта в области растягивающих напряжений.

Еще: любой путь нагружения (догружения) за пределы ранее достигнутого состояния может идти только по нормали к поверхности текучести, а очертание поверхности текучести таково, что она подходит к гидростатической оси р под очень острым углом, что подразумевает возникновение деформаций сдвига даже при небольшом отклонении от оси р. Кроме того, использование нелинейной зависимости (В.8) между напряжениями и деформациями (под логарифмом ln p она воспринимается как квазилинейная) накладывает определенные ограничения на использование принципа суперпозиции. В настоящее время считается, что эта модель хорошо описывает поведение переуплотненных грунтов, у которых наблюдается пиковая прочность и последующее ее падение.

Модель Cam-Clay получила дальнейшее развитие в трудах ученых кембриджской школы и множества других специалистов (K.H. Roscoe, J.B. Burland [9]). Ярким последователем моделей критического состояния в России является В.Г. Федоровский [10]. Им, в частности, показано, как соотносятся перечисленные выше новые параметры с общеизвестными параметрами: Е, v, с, φ (либо К, G, k, α) и др.

В последующие годы появилось много других подобных моделей критического состояния (КС-моделей), объединенных в класс шатровых моделей, которые используют некоторые дополнительные гипотезы и параметры: аналог коэффициента Пуассона, начальное сцепление или давление связности, другие гипотезы относительно распределения пластической работы dWp и проч. Например, не при арифметическом, как в формуле (В.7), а при геометрическом (через квадратный корень) сложении квадратов объемных (–p dvp) и сдвиговых (v q dγp) деформаций поверхность пластического потенциала превращается в эллипс, более правильно отражающий многие проявления эксперимента («модифицированная Cam-Clay» и др.). Надо полагать, что это повышает аналитические возможности анализа поведения грунтов, способствует дальнейшему расширению области применения нелинейных моделей.

134

В.4 Модель упрочняющейся разномодульной среды

Эта модель получила название УРС (У – упрочнение, Р – разномодульность, С – среда). В ряде публикаций ее часто называют URAL (U – упрочнение, R – разномодульность, A – анизотропность, L – линейность). Модель разработана В.В. Лушниковым, Ю.Р. Оржеховским и Р.Я. Оржеховской [11]. Рассмотрим основные положения модели.

В.4.1 Упрочнение

Это свойство присуще всем дисперсным сжимаемым средам. Как показано на рис. 3.6 (подразд. 3.4), график сдвига, полученный при испытании образцов, предварительно уплотненных максимальным давлением, отличается от стандартного графика сдвига тем, что удельное сцепление грунта становится зависимым от уплотняющего давления, а угол внутреннего трения существенно меньше и почти не зависит от уплотняющего давления (т.е. то, что считается предложением М. Хворслева [4] или сдвигом по ВНИИГу). Его называют «истинным» углом внутреннего трения и обозначают φо. Соответственно меняется и удельное сцепление; оно становится переменным, зависит от нормального давления σ и угла φо; его обозначим сi.

Меняющееся удельное сцепление сi можно выразить через стандартные параметры с и φ, например, так: сi = с + σ* (tg φ – tg φо) или сi = с + σ* t, если обозначить σ* – максимальное нормальное напряжение, когда-либо ранее достигнутое на площадке, а t = tg φ – tg φо.

Модифицированное условие прочности Кулона в этом случае имеет вид

где λо = tg (45° – φо/2).

Соответственно меняется и уравнение пластического потенциала, который используется для определения пластических деформаций в фор-

135

В.4.2 Разномодульность

По своей сути модель URAL близка к модели Саm-Clay, но предполагает различие деформационных характеристик не только между обобщенными главными нормальными σ и касательными σi напряжениями, но также различие деформируемости по каждому из главных на-

правлений 1, 2, 3 (или I, II, III).

Модель требует решения каждой краевой задачи с использованием анизотропной теории упругости, т.е. исходит из представления о неподобии напряженного и деформированного состояний и о наличии объемных деформаций при девиаторном нагружении. Разномодульность описывается по-разному для стадии растяжения и разгрузки. В основе ее лежат параметры стандартного тела (Е, с и φ), дополненные двумя параметрами разномодульности (λ и λо). Графическое представление модели показано на рис. В.5.

Рис. В.5. Графическая интерпретация модели URAL: а – зависимость между напряжениями σ и деформациями ε при сжатии, растяжении и разгрузке; б – зависимость между нормальными σn и касательными τ напряжениями при сдвиге на прямой и обратных ветвях нагружения; в – влияние промежуточного главного напряжения (1 – цилиндр Мизеса; 2 – пирамида Друккера – Прагера; 3 – фигура Кулона – Мора; 4 – URAL); г – объемные деформации εV при девиаторном нагружении – сжатие при разгрузке, расширение при течении (пунктир – для изотропной среды);

μσ – параметр Лоде

136

Разномодульное представление грунта означает по существу реализацию и развитие применительно к грунтам описанного во 2-й лекции подхода С.А. Амбарцумяна [12] к анализу напряженно-деформи- рованного состояния материалов, по-разному сопротивляющихся сжатию и растяжению.

Физические соотношения для стадии растяжения выражаются так:

где εI, εII εIII – деформации; σI, σII, σIII – напряжения соответственно в главных (I, II, III) направлениях; ν – коэффициент Пуассона; λ = Ε / Εр –

коэффициент разномодульности (Е и Εр – модули деформации соответственно при сжатии и растяжении).

Если возникает уменьшение напряжений в любом из направлений относительно напряжения, достигнутого на предыдущем шаге нагружения, вместо модуля Εр рассматривается модуль упругости Ео, реализуе-

мый на стадии разгрузки.

Коэффициент Пуассона ν принимается постоянным независимо от стадии нагружения. В этом есть определенная нестрогость, поскольку коэффициенты, симметричные относительно диагонали, не равны между собой, а коэффициент разномодульности для стадии разгрузки меняется на λо = Εо / Ε. Между тем равенство этих коэффициентов означает сохранение энергии при деформировании тела, что для грунтов, обладающих пластичностью, далеко неочевидно.

Деформации ε рассматриваются по каждому из направлений и различаются так:

– упругие εо – протекающие только в области начального напряженного состояния 1 (как и в модели Cam-Clay, затененной на рис. В.5, б); в формировании НДС в этой области участвуют только упругие характеристики – Ео и ν;

– пластические εр – любые деформации, образующиеся при выходе за пределы начальной области 1 в допредельную область 2, не выходящие за пределы закона Кулона; Р.Я. Оржеховской [13] показано, что выход за пределы начальной упругости означает возникновение пластических деформаций, а в качестве пластического потенциала следует рассматривать уравнения границ упругой области; ею впервые показано, что это по существу представляет собой обоснование общепринятого приема определять НДС посредством замены модуля упругости Εо на модуль деформации Ε; заметим также, что несмотря на нахождение области 2 в допредельном состоянии, упрочнение грунта, тем не менее,

137

происходит, поскольку при нормальном давлении σ* = σ2n происходит упрочнение грунта согласно уравнению (В.10);

– деформации ε f, протекающие по закону пластического течения dεf = Σ (dF/dσi, j) dλ, где F – пластический потенциал по уравне-

нию (В.12).

В.4.3 Возможности модели URAL

Модель URAL, как отмечалось, в отличие от модели Cam-Clay, оперирует напряжениям и деформациями по каждому из направлений, а не обобщенными их значениями.

Различие проявляется, например, в том, что приращение приведенного напряжения может быть положительным в то время, как одна или две из компонент могут иметь другой знак. Соответствующие деформации по этим направлениям должны определяться с другими модулями – разгрузки Ео (тогда возникает некоторое торможение деформаций) либо растяжения с модулем Ер (и соответствующее увеличение деформаций). Таким образом, модель URAL не обезличивает главные направления, однако это придает определенную сложность решению каждой конкретной краевой задачи.

Как следует из рис. В.5, б, последовательный переход НДС из области 1 в положение 2, 3, 4, … сопровождается образованием сначала упругопластических деформаций εе + εр (при переходе в область 2), а затем в дополнение к ним – деформаций пластического течения ε f, причем направление вектора приращения упругопластических деформаций может быть различным (в зависимости от участвующих при догружении характеристик деформируемости), но вектор приращения деформаций течения представляет нормаль к поверхности пластических потенциалов, участвующих в изменении предшествующего напряжен- но-деформированного состояния. Поэтому приращения деформаций определяет не только вектор нагружения, но также и вектор догружения, что подтверждается известными экспериментами.

Оперируя общеизвестными параметрами – Е, Ео, v, с и φ, но с добавлением только двух дополнительных параметров – Ер и φо, удается правильно отразить множественные проявления эксперимента, такие как упрочнение грунта под давлением, влияние траектории нагружения, промежуточного главного напряжения, дилатансию доуплотнения и разрыхления (в качестве коэффициента дилатансии выступает tg φo). Причем угол φо не есть что-то новое, он давно определяется на практике во многих лабораториях, а модуль деформации при растяжении Ер используется редко – фактически только для анализа результатов испытаний на небольших глубинах, когда растяжение по одному из направ-

138

лений становится реальным (в расчетах его можно принять каким угодно малым).

Во многих ситуациях гораздо больший интерес представляет работа грунта при разгрузке (например, при нагружении грунта штампом, при подработке территории и др.), когда по одной или двум из компонент происходит разгрузка. Важнейший результат влияния разгрузочных деформаций – торможение деформаций с глубиной, которое невозможно учесть, пользуясь решениями классической механики грунтов.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих возможности модели URAL.

1. О влиянии промежуточного главного напряжения. Рассмот-

рим принятый ранее средний по прочности суглинок, у которого φ = 20°, c = 25 кПа. Дополнительно введем «истинный» угол φо = 8°. Прочность суглинка при изменении параметра Лоде μσ анализируется при том же, что и ранее, среднем напряжении σ* = 500 кПа.

Результаты анализа при μσ = –1 и μσ = +1 следующие:

–при μσ = –1: σ* = 500 кПа. t = tg 20°– tg 8°= 0.223, сi = с + σ* t =

=25 + 500 · 0.223=136.5 кПа. τmax = сi + σ* tg 8°= 136.5 + 500 · 0.1405=

=207 кПа. Но из σ* = (σI + 2σIII) / 3 = 500 кПа следует: σI = [2 τmax / cos φо –

– 2 сi λо)] / (1 – λо2) = [2 · 207 / cos 8° – 2 · 136.5 · 0.87)] / (1 – 0.872) =

=835.3 кПа; σIII = σI λо2 – 2 сi λо = 394.7 кПа (см. круг 3 на рис. А.2);

–при μσ = +1: σ* = 500 кПа. сi = 136.5 кПа. Из σ* = (2 σI + σIII) / 3 =

=500 кПа следует σI = (3 σ* + 2 сi λо) / (2 + λо2) = (3 · 500 + 2 · 136.5

0.87) / (2 + 0.872) = 630.24 кПа, σIII = σI λо2 – 2 с λо = 630.24 · 0.872 – 2

136.5 · 0.87 = 239.5 кПа; τmin = (σI – σIII) / (2 cos 8°) = [(630.24 – 239.5) / 2]

cos 8° = 183.5 кПа (см. круг 4 на рис. А.2).

Прочность τmin = 183.5 кПа при μσ = +1 занимает промежуточное положение между значениями τmin = 164 кПа по теории Кулона – Мора

и τmin = 207 кПа по теории Друккера – Прагера.

Опуская промежуточные вычисления, рассмотрим также, как изменились бы значения τmax и τmin того же суглинка при уменьшении угла

до φо = 0°. При этом σ* = 500 кПа, t = tg 20° – tg 0°= 0.364, λо = 1.0. τmax = = с + σ* t = 25 + 500 · 0.364=207 кПа.

При μσ = –1: τmax = 207 кПа. Из σ* = (σI + 2 σIII) / 3 = 500 кПа следует: σI = 776 кПа, σIII = 362 кПа. τmin = 207 кПа (см. круг 5 на рис. А.2).

При μσ = +1: τmax = [(σI – σIII) / 2] cos φо = [(638 – 224) / 2] = 207 кПа. τmin = 207 кПа (см. круг 6 на рис. А.2).

Оба значения совпадают: τmax = τmin = сi = 207 кПа. Следовательно, модель URAL дает весь спектр значений прочности от модели Друккера –

Прагера до модели Кулона – Мора.

Таким образом, прочность, рассчитанная по модели URAL, занимает именно то промежуточное положение, которое выявляют описан-

139

ные выше эксперименты: соответствующая гексагональная пирамида займет положение 5 на рис. А.2 между пирамидами Кулона – Мора (поз. 4) и Треска (поз. 3). Причем чем меньше угол φо, тем ближе эта пирамида будет приближаться к пирамиде Треска, а при φо = 0 совпадет с ней; напротив, при φо = φ она полностью совпадет с пирамидой Кулона – Мора. Приближение к пирамиде Треска объясняется тем, что достигнув некоторого всестороннего давления (в данном случае σv = 500 кПа), пирамида Кулона – Мора меняет угол своего «раструба» соответственно изменениюуглавнутреннеготрения–созначенияφдоφо,вплотьдоφо = 0.

2. О влиянии траектории нагружения. Для иллюстрации влия-

ния траектории нагружения по модели URAL, также опуская промежуточные вычисления, рассмотрим тот же путь (см. рис. А.1), который начинается с точки А, где σv = 100 кПа; суглинок тот же: γ = 18 кН/м3,= 0.35, модули деформации Е = 10 МПа и Ео = 50 МПа. Конечная точка пути В, в которой при μσ = –1 σv = σ* = 500 кПа. Как и ранее, НДС в точку В приходит по траекториям: 1 (А–О), 2 (О–В) и из А в В по траектории 3.

Траектория 1 – 2. На пути А – В на части А – О: та же, что и ранее εv, А–О = 1.2· 10–2, поскольку по всем направлениям сжатие; на части О – В: εv О–В = 0.29·10–2; полная объемная деформация εv, А–В = (1.20 + + 0.29) · 10–2 = 1.49·10–2, т.е. несколько меньше, чем для изотропной среды

(1.54 · 10–2). Здесь по оси σI происходит сжатие, а по σII и σIII разгрузка с модулем Ео.

Траектория 3. Разгрузки по этой траектории не происходит, поэтому модуль деформации принимается постоянным Е = 10 МПа: полная деформация εv А–В = 1.32 · 10–2, т.е. несколько больше, чем для изо-

тропной среды (1.20 · 10–2), но меньше, чем для траектории 1 – 2 (1.49 · 10–2

и 1.54·10–2).

Общее различие между деформациями на разных траекториях невелико – тоже около 28 %.

Но гораздо больший интерес представляет случай нагружения, когда различие между моделями становится значительным и заслуживающим внимания. Пусть напряженное состояние в точке А прежнее: σ* = σzg = σxg = σyg = 100 кПа. Но далее производится чисто девиаторное нагружение до напряжения σII, σIII таким образом, чтобы сохранилось

σ* = 100 кПа.

Тогда главные напряжения при μσ = –1 изменятся следующим образом:

–по теории Кулона – Мора: σI = 187 кПа; σIII = 57 кПа;

–по модели URAL: σI = 185 кПа; σIII = 58 кПа (т.е. главные напряжения почти совпадают).

140