книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

Деформации при таком нагружения будут различаться следующим образом:

– по закону Гука и изотропной модели среды: ε11 = 1.17·10–2;

ε22 = ε33 = 0.72·10–2; средняя деформация εv О–В = [(1.17 + 2 · 0.72)] · 10–2 / 3 = = 0.87·10–2;

–по модели URAL: ε11 = 0.90 · 10–2; ε22 = ε33 = –0.35 · 10–2; средняя деформацияεv =[(0.90+2·(–0.35)]·10–2 /3=0.07·10–2,т.е.в12.5разаменьше.

Важно отметить, что здесь, как и в случае ранее проведенного анализа при всестороннем давлении σ* = 500 кПа, процесс сжатия в одном направлении (здесь ε11 = +0.72 · 10–2) сопровождается расширением грунтовой среды в двух других направлениях (ε22 = ε33 = –0.35 ·10–2).

Другие возможности модели URAL иллюстрируются использованием ее при решении плоской осесимметричной задачи (п. 3) и задачи

онагружении грунта штампом (п. 4).

3.Плоская осесимметричная задача. Задача используется при ана-

лизе нагружения грунта прессиометром. В ней наиболее ярко проявляется влияние различия деформируемости грунта при растяжении, сжатии и разгрузке, а через это различие – влияние собственного веса массива грунта. Из решения задачи о нагружении скважины в весомой среде

на основе модели URAL следует, что в общем случае вокруг скважины последовательно образуются показанные на рис. В.6 зона разгрузки (1), растяжения (2) и пластическая зона (3), расширяющиеся по мере нагружения скважины.

В зоне 1 деформации определяются напряжениями сжатия (сверх природного давления

образуется пластическая зона, напряжения и деформации в которой определяются по закону пластического течения.

Наличием зоны растяжения объясняются повышенные радиальные деформации и перемещения стенки скважины против решения на основе задачи Ляме, а использование решения при обработке результатов опыта объясняется повышением коэффициентов до К = 1.5…3.0 и более против получаемым по формуле Ляме К = 1 + ν = 1.30 – 1.42.

141

С увеличением глубины зона растяжения 2 вырождается, а зона разгрузки 1, минуя зону 2, переходит в пластическую зону 3. Соответственно уменьшаются радиальные перемещения и коэффициенты К.

Другие возможности метода прессиометрии будут обсуждаться

в9-й лекции при рассмотрении методов испытаний грунтов.

4.Нагружение грунта штампом. Задача о нагружении грунта штампом – одна из главнейших задач механики грунтов – решалась и продолжает решаться методами теории упругости и теории пластичности при самых разнообразных исходных предпосылках. Эта задача на основе модели URAL была решена Р.Я. Оржеховской [13] в осесимметричной двумерной постановке. Решение ее применительно к нагружению грунта круглым штампом в весомом массиве достаточно сложно и даже уникально. Конечно-разностное представление грунтового массива в виде сетки со сгущением ее в области наибольших градиентов напряжений и деформаций, а также размеры анализируемой области потребовали специального исследования.

В решении системы уравнений нужно было учесть множество факторов, учитывающих особенности модели URAL. На каждом шаге нагружения в каждом узле сетки требовалось:

– установить параметры области начальной поверхности и поверхности пластического потенциала, а в зависимости от положения соответствующего напряжения в узле применить тот или иной закон деформирования;

– учесть возможный поворот осей в рассматриваемом элементе относительно главных направлений в осесимметричной задаче;

– выполнить условия равновесия и совместности деформаций. На каждом шаге нагружения проверяется, по какому из параметров

произошел переход в следующую стадию НДС – наличию или отсутствию растягивающих или разгрузочных напряжений, типу предельного состояния и др., после чего корректируется величина шага нагружения таким образом, чтобы приращения всех компонент НДС не меняли знака, а линейная матрица напряжений на измененном шаге была неизменной. После этого приступают к следующему шагу нагружения и находят следующий интервал линейности матрицы…

Главный результат решения в том, что в отличие от классических решений здесь значительно бóльшую роль играют области, где возникают разгрузочные, а затем растягивающие напряжения и деформации в тангенциальных направлениях. Тем самым обеспечивается торможение деформаций как по глубине, так и на поверхности по мере удаления от штампа, а также в зависимости от размера штампа.

Эти особенности нагружения грунта штампом показаны на рис. В.7. Показано, в частности, как изменяются соответствующие графики при

142

изменении параметров разномодульности и упрочнения (отмеченное торможение осадок, см. рис. В.7, а), а также при увеличении глубины испытания (более выраженные, чем по теории упругости, см. рис. В.7, б).

Рис. В.7. Иллюстрация решений задачи о нагружении круглого штампа по модели URAL:а– графикнагружения р– S площадью5000см2:1 – изотропнаясреда(λ =1), 2 и 3 – разномодульная среда (при λ = 5), соответственно без упрочнения (ψ = 1) и с упрочнением(ψ=3);б–зависимостьосадокштампаплощадью5000 (1)и600см2 (2)

от глубины при давлении р = 3 кгс/см2 (пунктир – по теории упругости)

Многие из выявленных при анализе эффектов заслуживают дальнейшего изучения и уточнения, а результаты анализа будут обсуждаться далее при рассмотрении методов испытаний грунтов.

143

Лекция четвертая ЗАДАЧИ О НАГРУЖЕНИИ ФУНДАМЕНТОВ:

КРИТИЧЕСКОЕ И ПРЕДЕЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЯ, РАСЧЕТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ГРУНТА

Введение

Проблемы прочности грунтов применительно к нагружению фундаментов практически во всех аспектах совпадают с соответствующими проблемами, которые обсуждались выше при нагружении грунтового массива штампом. Только под штампом понимается реальный жесткий или гибкий ленточный, прямоугольный, квадратный или круглый фундамент, а напряжения в грунтовом массиве под ними распределяются по единым законам теории упругости (механика грунтов их заимствует), но

по-разному.

Взяв за основу рассуждения о возникающих здесь проблемах, рассмотрим графики нагружения грунта фундаментом (рис. 4.1) «давление p – осадка S». Эти несколько идеализированные графики единообразны – имеет место постепенно прогрессирующий процесс развития осадок с ростом давления на грунты.

Но теорию упругости, которая служит основой расчетов осадок

идругих проявлений совместной работы фундаментов и грунтов, прежде всего интересует начальный участок графиков – от начального (бытового) давления рб до давления, далее называемым критическим ркр

идаже несколько выше – до давления, далее называемым расчетным сопротивлением R, где и возможно достаточно корректно применять задачи этой теории.

На рис. 4.1 показано, что процесс развития осадок в песках и глинах протекает по-разному. В глинистых грунтах, отличающихся заметным сцеплением, линейный участок выделяется относительно легко; в песках же, особенно в плотных, этот процесс развивается по более «гладкому сценарию», а выделить линейный участок гораздо труднее. Также в глинистых грунтах, как правило, удается достигнуть предель-

144

ного состояния, которое характеризуется выпором грунта за пределы фундамента и образованием больших осадок, принимаемых за бесконечно большие. В песчаных грунтах достижение предельного состояния – очень трудное для экспериментатора дело: очень редко удается раздавить грунт, т.е. привести его в предельное состояние.

Первоочередная задача этой лекции – пользуясь соотношениями теории прочности, опираясь на результаты лабораторных и/или полевых испытаний грунтов, определить точки, соответствующие давлению на границе линейной и нелинейной частей графиков (его давно, но не вполне обоснованно, назвали критическим давлением ркр, и это будет подчеркнуто далее), а также давлению в конце нелинейного участка графика, где осадки принимаются бесконечно большими (его, напротив, вполне адекватно назвали предельным давлением рпр).

В обычной практике критическим называют состояние, когда ка- кой-либо процесс меняется коренным, кризисным образом. Но в рассматриваемой ситуации, при давлении р.= ркр, коренного изменения ситуации или кризиса не происходит. До кризиса, под которым можно было бы понимать не критическое ркр, а предельное давление рпр, еще далеко, особенно в песчаных грунтах. Однако в дальнейших рассуждениях сохраним сложившуюся терминологию.

На рис. 4.1 также можно видеть точки, соответствующие давлениям, которые принимают за расчетное сопротивление грунта R; значения R несколько превышают ркр, но они заметно меньше рпр. Далее будет показано, как далеко можно выти за пределы ркр, не допустив превышения рпр.

1 Критическое давление

Порядок решения задачи о критическом давлении следующий: в какой-либо точке грунтового массива М (рис. 4.2), расположенной на некоторой глубине z + d, нужно методами теории упругости вычислить напряжения в этой точке от нагрузки р и связать эти напряжения условием прочности, например, Мора – Кулона. Давление на грунт р будет соответствовать наступлению предельного состояния в этой точке. Но, как показывают все предшествующие рассуждения о критическом давлении, нужно получить такое давле-

145

ние, которое соответствовало бы наступлению предельного состояния в угловой точке М', где образуются наибольшие касательные напряжения, которые и переводят грунт в предельное состояние.

Впервые задача о критическом давлении была решена петербургским гидротехником Н.П. Пузыревским (1861–1934) в 1929 г. Она стала классической и называется его именем (задачей Пузыревского). Несмотря на многие допущения при решении задачи, которые также будут обсуждаться далее, воспроизведем решение этой задачи в виде, предложенном Н.П. Пузыревским [1].

Рассматривается задача о нагружении грунтового массива линейной нагрузкой р в виде полосы шириной b. Глубина заложения фундамента d моделируется боковой бесконечно простирающейся пригрузкой q = γd, причем предполагается, что она действует и непосредственно под загруженной полосой, т.е. активным, нагрузочным фактором служит не полная нагрузка р, а только дополнительная ее часть р – γd, распределенная по той же полосе. Возможность достаточно простого решения была обеспечена известными из теории упругости выражениями для главных напряжений в плоской задаче σI и σIII:

где р – распределенная нагрузка; σI и σIII – главные напряжения по направлению к середине загруженной полосы и перпендикулярному направлению; β – угол видимости на полосу из точки М, в радианах (в первоисточниках [1] и др. его обозначали как 2β).

Итак, в расчетах в качестве внешнего воздействия рассматриваться не полная, а дополнительная нагрузка р – γd, а к главным напряжениям добавляется напряжение от собственного веса грунта γ (d + z). Поэтому выражение (4.1) примет вид

Далее эти главные напряжения нужно ввести в условие прочности

Кулона – Мора σI –σIII =sin φ (σI +σIII) + 2 с соs φ, а соответствующие выражения после некоторых преобразований получат вид

из которого следует выражение для глубины z, на которой достигается предельное состояние:

146

Смысл этого выражения в том, что оно описывает множество точек поверхности в массиве, в которых возникает предельное состояние (эти области, симметричные относительно оси Z, показаны на рис. 4.2 серым тоном). Оказывается, что эти эллипсоидные поверхности обращены к углам загруженной полосы – там, где концентрируются наибольшие касательные напряжения. Вне этих поверхностей напряжения соответствуют уравнениям теории упругости, на границах – одновременно теории упругости и теории прочности, внутри области – теории упругости, но по отношению к условиям прочности здесь напряжения формально запредельные, т.е. выходящие за пределы условия Кулона – Мора. Однако для решения задачи о критическом давлении ркр это не имеет принципиального значения, поскольку конечной целью является случай, когда поверхности сдвигов только зарождаются, и формально запредельного состояния не возникнет.

Чтобы прийти к решению о давлении ркр, нужно найти максимальное значение границы области пластичности z = zmax (см. рис. 4.2) из условия dz/dβ = 0:

Из этого выражения следует две формулы, которые будут обсуждаться далее:

– давление ркр, z, при котором область пластических деформаций достигает точки М, т.е. глубины z = zmax:

– искомое давление ркр, z, при котором область пластических деформаций зарождается в точке М', т.е. при zmax = 0 (это и есть формула Пузыревского):

Формула Пузыревского в кругу специалистов обсуждалась в течение 10–15 лет, до середины 1950-х гг. Отмечалась условность допущений, принятых при ее выводе:

1)рассматривалась только плоская задача;

2)напряжения σI и σIII не являются главными по направлению к середине загруженной полосы, поскольку после добавления к ним напряжений от собственного веса направление главных осей меняется;

3)напряжения от собственного веса рассматриваются по гидростатическому закону, т.е. равными между собой (гипотезы относительно формирования начальных напряжений приведены в приложении А);

147

4)выход за пределы упругости внутри эллипсоидных поверхностей требовал определения напряжений по другим законам, отличным от упругого, т.е. требовалось решение этой задачи в так называемой смешанной постановке, когда напряжения определялись бы по теории упругости вне этих областей, и по теории пластичности – внутри этих областей (таких, смешанных решений в 1930–40-е гг. не было);

5)никак не учитывалась жесткость фундамента, а напряжение по подошве фундамента было принято по гибкой схеме (очевидно, для абсолютно жесткого фундамента с концентрацией напряжений под краями

давление ркр образовалось бы с начала нагружения).

Тем не менее это решение состоялось в таком виде, как оно было получено Н.П. Пузыревским, и послужило толчком для разработки способов определения расчетного сопротивления (см. подразд. 4.3). Состоялось потому, что все перечисленные факторы почти не имели принципиального значения для случаев, когда области пластических деформаций только зарождаются.

2 Предельное давление

По определению предельное давление соответствует нагрузке, при которой происходит выпор грунта из-под подошвы фундамента. Попытки решения задачи об определении рпр предпринимали многие выдающиеся специалисты в области механики грунтов и других смежных наук: теории пластичности, механики сплошной среды. Достаточно назвать такие фамилии, как К. Терцаги (1935, 1958) и Р. Пек (1958), Б. Хансен (1975), из отечественных – В.И. Новоторцев (1938), В.Г. Березанцев

(1952), В.В. Соколовский (1954), В.А. Флорин (1959, 1961), М.И. Гор-

бунов-Посадов (1962), М.В. Малышев (1953–1982) и др. Долгое время эта задача служила «пробным камнем» для оценки математического уровня того или иного ученого.

Принцип решения задачи следующий: нужно найти такую поверхность скольжения, исходящую из каждого краев фундамента, вдоль которых произойдет смещение верхней части массива относительно нижней, остающейся неподвижной части, но которая создает препятствующее смещению напряжение по закону Кулона τ = σ tg φ + с (рис. 4.3).

Из многочисленных вариантов решения задач следует, что если рассматривать невесомый массив грунта, поверхность скольжения должна пройти таким образом, чтобы она пересекала линию траектории наибольших главных напряжений σI под одним и тем же углом α = 45°– φ /2, под которым во всех опытах на сдвиг всегда наблюдается скольжение. Более того, во всех точках внутри области скольжения также должно наступить предельное состояние по закону Кулона. Правда, это утвер-

148

ждение сейчас оспаривается, поскольку доказана возможность локализации предельного состояния только в пределах достаточно узкой (локальной) полосы скольжения.

Рис. 4.3. Схема к определению предельного давления на грунт

Внешним и вполне доступным для наблюдений результатом является образование при давлении рпр выпора грунта за пределами фундамента, длина которого L зависит от угла φ: чем больше угол, тем больше длина этого участка. Еще один интересный результат: нагрузка, соответствующая образованию выпора, не зависит от того, происходит ли односторонний или двусторонний выпор. Для иллюстрации обычно приводят пример с двумя вагонами, между которыми установлен домкрат: усилие, требуемое для смещения вагонов, не зависит от того, придет ли в движение один из них либо сразу оба. Поэтому двустороннего выпора практически никогда не наблюдается.

Разумеется, при учете собственного веса массива ситуация существенно отличается, поскольку направления главных напряжений меняются, особенно на некотором удалении от краев фундамента. Также оказывают влияние пригрузка поверхности с одного из краев, неоднородность грунта и проч.

Сейчас с появлением современных расчетных комплексов (например, Plaxis) можно получить очертание поверхности скольжения при любой принятой нелинейной модели грунта.

Интересный результат любого из решений: формула для предельного давления внешне имеет такой же вид, как и для критического давления (и расчетного сопротивления) – в виде трехчлена, первое из слагаемых которого включает в себя ширину фундамента, второе – глубину заложения, третье – удельное сцепление грунта. Это, как утверждается, вытекает из общей теории размерностей и подобия (Л.И. Седов [7]).

В нормативных документах для рпр не было принято специального буквенного обозначения (в лекции же оно сохранено), но введено поня-

тие «вертикальная составляющая силы предельного сопротивления ос-

нования» Nu = l b рпр, где l и b – длина и ширина центрально нагружен-

149

ного фундамента, а в случае внецентренного приложения нагрузки они заменяются на l' = l – 2еl и b' = 2еb (еl и еb – эксцентриситеты в направлении сторон фундамента).

Формула для рпр имеет вид

где ξ = 1 – 0.25/η; ξq = 1 + 1.5/η; ξс = 1 + 0.3/η – коэффициенты формы фундамента, зависящие от отношения сторон фундамента η = l / b.

Коэффициенты Nγ,q,с не имеют формул для их вычисления (в отличие от формул для ркр и R), а являются результатом решения сложных задач многих ученых, причем эти коэффициенты у каждого из ученых различаются, часто значительно.

Различие обусловлено учетом или не учетом веса массива, жесткости фундамента, трения по его подошве и др., а также формы получаемой или задаваемой в конкретном решении уравнения поверхности скольжения.

Источник получения содержащихся в последних нормативах коэффициентов Nγ, Nq и Nс неизвестен, но, по словам одного из разработчиков главы СНиП II-15–74 (Д.Е. ПольТаблица 4.1 шина), были приняты некоторые

Коэффициенты Nγ, Nq и Nс «среднеевропейские» значения. В нормативах (СП 22 [8]

3 Расчетное сопротивление

Дальнейшее развитие формулы (4.7) продолжалось в связи с тем, что получаемое по ней критическое давление, образно говоря, было «маловатым» по терминологии в 1930–40-х гг., т.е. если принимать это давление за расчетное сопротивление грунта (что вполне логично). Тогда технические решения фундаментов выглядели излишне громоздкими, даже по весьма осторожным оценкам тех лет. В те годы, да и намного раньше, накопилось

150