книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )
..pdf
Рис. 2.13. Пояснения сущности метода угловых точек:
а– точка М в центре; б – точка М в углу площадки
Всвязи с тем, что в решениях заложен принцип линейности всех соотношений (закон Гука), полученные напряжения (и деформации) можно как угодно складывать и вычитать. Это называется знаменитым принципом независимости действия сил или, что одно и то же, но более красиво и более компактно, – принципом суперпозиции. Например, для точки М в цен-
тре площадки напряжения σz можно получить описанным выше способом (по формулам или табл. 2.3), а также представить их как сумму четырех напряжений под углами одинаковых площадок, имеющих в 4 раза меньшую площадь и соответственно в 2 раза меньшие размеры (b/2 и l/2).
Отсюда формулируется следующее правило угловых точек: напряжения σzу под углом площадки равны 1/4 от величины напряжений σzц под центром площадки в два раза больших размеров по ширине, но с таким
же соотношением сторон и загруженной тем же давлением р. Или, что то же: напряжения σzу под углом равны 1/4 величины напряжений σzц в центре с таким же соотношением сторон, но взятыми на половинной глубине (z/2) площадки:
σzу = 1/4 σz/2ц. |
(2.32) |
Это правило иллюстрируется на рис. 2.13, б, а применение его для определения напряжений в любой точке (в пределах и за пределами площадки) – на рис. 2.14.
На рис. 2.14, а показано, что для определения напряжений σzМ в точке М, расположенной на глубине z в пределах площади А–В–С–D (проекция точки М на поверхность обозначена как М'), нужно просуммировать угловые напряжения от четырех разных по площади и по соотношению сторон площадок 1, 2, 3 и 4, но так, чтобы они в совокупности составили бы всю площадь А–В–С–D:
σzМ = σz1у + σz2у + σz3у + σz4у. |
(2.33) |
|
81 |
Рис. 2.14. Иллюстрацияметода угловыхточек:точка Мсоответственно внутри(а)ивне(б)загруженнойплощади
Наиболее сложный (точнее, наиболее громоздкий) случай показан на рис. 2.14, б – когда точка М расположена против одного из углов загруженной площади А–В–С–D. В этом случае, используя принцип суперпозиции, нужно мысленно составить такие площади (1-я – А–Е–М'–Н; 2-я – В–Е–М'–G; 3-я – D–F–М'–Н; 4-я – С–F–М'–G); чтобы каждая из них имела бы общую угловую точку М', но в совокупности все площади составили бы площадь А–В–С–D. Тогда
σzМ = σz1у – σz2у – σz3у + σz4у. |
(2.34) |
Здесь из углового напряжения от 1-й условной площади вычитается влияние от двух условных площадей – 2-й и 3-й, но поскольку 4-я площадь оказалась учтенной (точнее, удаленной) дважды (за счет вычитания влияния 2-й и 3-й площадей), влияние углового напряжения от 4-й условной площади приходится мысленно «возвращать» (пример: задача Швейка «Как поймать 6 тигров? Ответ – надо поймать 10 тигров, а потом выпустить четырех»).
Несмотря на некоторую условность и громоздкость, этот принцип суммирования – вычитания угловых напряжений, как отмечалось, включается во все строительные нормы, начиная с 1930-х гг. Заметим, что этот принцип формально переносится на все случаи нагружения грунтов – не только от гибких нагрузок (приложенных непосредственно к грунту), но и от любых фундаментов, независимо от их жесткости, хотя в жестких фундаментах согласно решениям теории упругости напряжения по краям фундамента принимают бесконечно большие значения.
В то же время принцип суперпозиции позволяет использовать более простой способ – путем прямого использования формулы Буссинеска. Что очень важно, он не привязан к способу приложения нагрузки (непосредственно к грунту или через жесткий фундамент).
82
Как показано на рис. 2.15, нужно собрать всю нагрузку с загруженной площади (Р = рlb), а напряжение в точке М определять непосредственно по формуле Буссинеска:
σzМ = 3 P z3 / (2πR5), |
(2.35) |
либо, выразив радиус R через координаты z и r (см. рис. 2.15), по форму-
лам (2.35'), (2.35''):
σzМ = 3 P z3 /{2π [(r2 + z2)]5/2}; (2.35')
Рис. 2.15. Более простой способ определения напряжений
в любой точке
σMz |
3P |
|
1 |
|
|
5/2 |
|
|
|
|
|
, |
|||
2 |
|
(r / z) |
2 |
||||
|
2πz |
1 |
|
|
|
||
или, что эквивалентно:
σzМ = 3 P [cos5 (arctg (r / z)] / (2πz2).
(2.35'')
(2.35''')
В заключение этого раздела отметим, что теория упругости (а вслед за ней и механика грунтов), используя принцип угловых точек или непосредственно формул, позволяет определять все составляющие нормальных и касательных напряжений. Причем не только для компонент напряжений, но также для деформаций и перемещений в любой точке массива УПП.
4.5 Графическое представление распределения напряжений
Обычно распределительную способность упругих массивов иллюстрируют различными графиками. Один из способов – в виде изобар (линий равных напряжений) показан на рис. 2.16 для плоской задачи. Такое представление напряженного состояния раньше называли «луковицей напряжений» – из-за сходства картины со срезом плода лука. Интересно, что картина почти не меняется в случае приложения нагрузки через жесткий штамп.
Нанесенная же серым цветом на рис. 2.16, а изобара σz = 0.1 р для квадратного фундамента (при η = l / b = 1) показывает различие распределительной способности в пространственной (квадрат) и плоской задачах (лента, η ≥ 10).
83
Рис. 2.16. Изобары – линии равных вертикальных σz (а), горизонтальных σх (б) и касательных τzх (в) напряжений для плоской задачи
Еще раз отметим, что это еще не механика грунтов, а выводы решений теории упругости конца ХIХ – начала ХХ в., которые еще нужно «привязать» к конкретным задачам фундаментостроения. Однако и описанное выше уже дает представление о возможности практического использования решений. Например, для массива грунта, в состав которого входит слабый грунтовый прослоек на глубине z = 2b и ниже, сооружение квадратного фундамента не составит больших проблем, поскольку на этот прослоек будут передаваться относительно небольшие напряжения – менее 0.1 р, в то время как от ленточного фундамента – в три раза бóльшие напряжения, с соответствующими возможными последствиями в виде потери прослойком своей несущей способности, повышенных осадок фундамента и др.
Линии равных горизонтальных напряжений σх (распоры) показывают на область распространения в грунтах горизонтальных напряжений, а линии равных касательных напряжений τzх (изоклины) – на размеры и места массива, где в первую очередь будут развиваться области локальных сдвигов, приводящих к нелинейным деформациям грунтов под фундаментами.
Наибольший интерес представляют выражения для вертикального перемещения поверхности прямоугольной площадки или ленты от равномерно распределенной нагрузки р, которые можно прямо использовать для определения осадки фундамента S. Интересна особенность ин-
84
тегрирования по площади формулы (2.26) для осадки поверхности от сосредоточенной силы, которая дает бесконечные значения в месте приложения нагрузки. В то же время после интегрирования по площади осадки уже оказываются конечными и будут выражаться формулой Ф. Шлейхера (ранее эта формула приводилась в виде, преобразованном для вычисления модуля деформации грунта Е по результатам испытаний жестким штампом):
S =ω (1 – ν2) р b / Е, |
(2.36) |
где ω – коэффициенты, зависящие от соотношения сторон загруженной площади η = l / b, причем они принимаются различными (приведены
втабл. 2.4):
–ω = ωс – для угловой точки абсолютно гибкого фундамента;
–ω = ω0 – для центра абсолютно гибкого фундамента;
–ω = ωm – для средней осадки всей загруженной гибким фундаментом площади;
–ω = ωconst – для абсолютно жесткого фундамента.
|
|
|
|
Таблица 2.4 |
|
|
Значения коэффициента ω |
|
|
||
|
|
|
|
|
ωconst |
η = l/b |
ωс |
ω0 |
ωm |
|
|
1.0 (круг) |
0.64 |
1.00 |
0.85 |
|
0.79 |
1.0 (квадрат) |
0.56 |
1.12 |
0.95 |
|
0.88 |
2.0 |
0.77 |
1.53 |
1.30 |
|
1.22 |
3.0 |
0.89 |
1.78 |
1.53 |
|
1.44 |
4.0 |
0.98 |
1.96 |
1.70 |
|
1.61 |
5.0 |
1.05 |
2.10 |
1.83 |
|
1.72 |
10.0 |
1.27 |
2.53 |
2.25 |
|
2.12 |
В отличие от пространственной задачи, в плоской задаче после интегрирования формулы (2.27) получаются, по-прежнему, бесконечные значения осадки. Поэтому осадки ленточных фундаментов вычисляют по той же формуле (2.36) для случая η = l / b = 10.
5 Распределение напряжений по подошве фундаментов
5.1 Формирование напряжений под жестким штампом
Задачу о распределении напряжений по подошве фундаментов различной жесткости, называемую контактной задачей, ученые начали изучать и решать с начала ХIХ в., и продолжают решать вплоть до последних лет. В первую очередь эта задача представляет собой едва ли не первое приложение задач теории упругости к конкретным задачам фун-
85
даментостроения – расчетам конструкций (в первую очередь фундаментных балок и плит), работающих под нагрузками совместно с грунтом. В зависимости от того, какие напряжения возникают под плитой, производится расчет не только самой плиты, но и расположенных на ней и над ней надземных конструкций.
Рассмотрим сначала простейший случай контактной задачи – о нагружении грунта абсолютно жестким штампом круглой формы. Она иллюстрируется схемами и графиками на рис. 2.17; график нагружения грунта возрастающей нагрузкой показан на рис. 2.17, а.
Рис. 2.17. Работа грунта при нагружении круглым штампом: а – фазы напряженного состояния грунта; б – эпюры напряжений под штампом (1 и серый тон – под гибким, 2 – под абсолютно жестким, 3 – в фазе выпирания); в – трансформация эпюр при увеличении нагрузки на штамп
Сложилась следующая терминология, характеризующая работу грунта под нагрузками. Пока грунт ведет себя подобно упругому телу (до критического давления ркр, когда сохраняется линейная связь между передаваемым давлением и осадкой), эту стадию работы грунта называют фазой уплотнения (сплошная линия).
Когда грунт переходит в нелинейную стадию работы, наступает фаза сдвигов, поскольку дополнительные осадки, сверх линейных, обусловлены смещениями, сдвигами грунта по стрелкам от краев штампа за его пределы (фаза показана штрихами).
86
Наконец, при давлении, называемым предельным рпр, начинается выпор грунта; соответствующая фаза названа фазой выпирания, или выпора, когда осадки возрастают вследствие больших смещений грунта с образованием подъемов поверхности грунта рядом со штампом. На рис. 2.17 эти фазы и соответствующие им эпюры показаны пунктиром.
Из решений теории упругости следует, что эпюра реактивного давления σr под гибким штампом должна быть строго равномерной (поз. 1 и серый тон на рис. 2.17, б), а под жестким штампом – иметь седлообразную форму, показанную с бесконечно большими значениями реактивного давления σr по краям штампа (поз. 2):
σr = |
рср |
, |
(2.37) |
2 1 (r / R)2 |
где рср – среднее давление, равное делению внешней нагрузки Р на площадь штампа А; R – радиус штампа; r – расчетный радиус.
При подстановке r = 0 (центр штампа) σr = 0.5 рср; при приближении к краю штампа (r→R) напряжения становятся бесконечно большими (σr→∞), но из условий равновесия суммарная площадь седлообразной эпюры (σr А) должна быть равна внешней нагрузке Р.
Реальнаяжеработагрунтасущественноотличаетсяоттеоретической. На рис. 2.17, в показаны эпюры, полученные при средних давлениях под штампом р1, р2 и р3 (поз. 2), первая из которых соответствует начальной фазе нагружения (уплотнения), вторая – давлению в конце фазы уплотнения и начале фазы сдвигов (р = ркр), третья – концу фазы сдвигов и началу фазы выпирания (р = рпр). Причем давления р1, р2 и р3
выбраны для наглядности такими, чтобы р2 = ~ 2 р1, а р3 = ~3 р1. Любое реальное вещество не может воспринимать бесконечных по
величине напряжений. В частности, в грунте не может быть превышена некоторая величина давления, близкая к критическому давлению ркр, которое подробно рассматривается далее.
В то же время из условий равновесия суммарная площадь эпюры должна сохраняться равной соответственно р1А, р2А и р3А. Поэтому похожая на седлообразную эпюра при р = р1 постепенно преобразуется в почти прямоугольную при р = р2, а при р = р3 – даже в стреловидную
(см. поз. 3 на рис. 2.17, в).
5.2 Практический метод определения напряжений
Для практических расчетов важно то, что при давлениях, близких к р = ркр, на которые рассчитывают размеры фундаментов, форма эпюры незначительно отличается от прямоугольной.
87
Поэтому практически все расчеты фундаментов ведутся так, как если реакция отпора грунта была бы подобной эпюре от гибкой нагрузки, несмотря на то, что фундамент имеет вполне определенную конечную жесткость, вплоть до бесконечной.
Заметим, что при расчетах обычных фундаментов возникающие напряжения в грунте
обозначаются как р, рср, рmax, рmin, а расчеты на действие вертикальной силы Р и изгибающих моментов
в двух направлениях Мх и Му ведутся по известным формулам сопромата
(рис. 2.18):
–среднее давление рср = Р / А;
–максимальные и минимальные давления – рmax,min = Р / А ± Мх/ Wх ±
±Му / Wу; А = l b – площадь фундамента; Wх = b l 2/6 или Wу = l b2/6 –
момент сопротивления площади подошвы фундамента при действии момента в направлении соответственно длинной (l) или короткой (b) его сторон.
Такой подход к определению напряжений под фундаментами известен давно. Однако и он иногда встречает критику: в начальный момент нагружения (до р = ркр) возможна ситуация, когда изгибающий момент в сечении фундамента (точнее, его нижней ступени) может быль бóльшим, чем по расчету исходя из формул сопромата – за счет более высоких напряжений под углами нижней ступени.
Что касается распределения напряжений и деформаций под фундаментами, имеющими не бесконечную, а вполне определенную жесткость (гибких фундаментов), эта проблема вынесена для обсуждения в приложение А.
6 Напряжения от собственного веса грунта
В этом разделе оценивается распределение в основном вертикальных σzg и горизонтальных σyg = σхg напряжений, возникающих в грунтах от действия собственного веса массива (индексом g – ground подчеркивается связь напряжений с весом грунта).
Во всех случаях, как правило, рассматривается одномерная задача, а соответствующие компоненты напряжений рассчитываются ме-
88
тодами теории упругости в так называемом состоянии покоя, когда никакие другие воздействия на грунт не передаются. Любые другие составляющие напряжения (например, горизонтальные σхg = σуg, касательные τzy = τyz и др.) могут быть определены по известным формулам теории упругости и сопромата.
Исключение составляет случай напряженного состояния, когда грунт в «доисторические» времена подвергался воздействию нагрузки (например, от веса ледника), превышающей ныне действующую нагрузку. В этом случае потребуется воспользоваться основными зависимостями теории прочности, которые будут рассматриваться в дальнейшем.
Вопрос о напряжениях от собственного веса рассматривается в трех аспектах:
1)напряжения в слоистом основании при отсутствии и наличии подземной воды;
2)напряжения и осадки массива грунта при понижении уровня подземных вод (УПВ);
3)напряжения от «доисторического» давления (рассматривается
вследующих лекциях).
6.1 Слоистое основание
Вертикальные наряжения от собственного веса увеличиваются с глубиной z по линейному закону σzg,i,= γi z, а горизонтальные – также по линейному закону, но с учетом коэффициента бокового давления
у каждого слоя для состояния покоя ξi = νi / (1 – νi), т.е. σуg,i = σхg,i = ξ σzg.i. Пример слоистого основания приведен на рис. 2.19, а, в составе ко-
торого есть фильтрующий песок, разделенный на 2 слоя (выше и ниже УПВ), непроницаемый для воды суглинок (водоупор) и фильтрующий слой дресвы. Каждый из слоев имеет разную толщину, разные значения удельного веса γi и коэффициента поперечной деформации (Пуассона) νi.
На рис. 2.19, б приведены эпюры и соответствующие формулы для вычисления вертикальных и горизонтальных напряжений. Излом графика 1 в месте УПВ обусловлен тем, что удельный вес песка становится меньше за счет взвешивающей (архимедовой) силы; его обозначают γsb
и вычисляют по формуле |
|
γsb = (γs – γw) / (1+ e) = (γs – γw) (1 – n), |
(2.38) |
где γs – удельный вес частиц грунта; γw – удельный вес воды; е – коэффициент пористости; n – пористость.
89
Рис. 2.19. Схема слоистого основания (а), эпюры вертикальных σzg (1)
игоризонтальных σхg = σуg (2) напряжений (б) от собственного веса
внеоднородном грунтовом массиве
Вполностью водонасыщенных грунтах γsb = γ – 1, в неполностью водонасыщенных – несколько больше (обычно принимают γsb = ~γ –0.9).
На границе песка и суглинка (водоупора, в котором архимедова сила не действует) образуется скачок графика 1: действие взвешивающей силы в этом месте заканчивается, а дополнительное воздействие на суглинок уже оказывает вес воды в пределах ее высоты в слое песка.
Вкаждом следующем слое вертикальные напряжения «наследуют» напряжения от вышележащих слоев, но в слое дресвы взвешивающая сила вновь проявляется, поэтому наклон части графика 1 в этом слое несколько меньше, чем у слоя суглинка.
Горизонтальные напряжения, как показано выше, зависят от вертикального напряжения и конкретного значения коэффициента Пуассона.
В песке обычно ν = 0.3 (ξ = 0.43), в глинах и суглинках ν = 0.35…0.42 (в примере принято ξ = 0.54), в дресве ν = 0.2…0.3 (принято ξ = 0.25). Поэтому в каждом из слоев, как правило, образуется скачок графика 2
(см. рис. 2.19, б).
6.2 Напряжения и осадки в результате водопонижения
В результате водопонижения (например, как показано на рис. 2.20, а – от уровня УПВ-1 до уровня УПВ-2) взвешивающий эффект архимедовой силы прекращается, вследствие чего на слои грунтов ниже нижней границы УПР-2 будет передаваться дополнительная нагрузка от потерявшего взвешивание слоя песка толщиной zw: qw = (γ1 – γsb) zw. Причем напряжения по глубине от этой нагрузки практически не уменьшаются (из-за обычно больших размеров зоны водопонижения).
Далее рассматривается одномерная задача об осадке грунта от водопонижения, т.е. без учета распределения напряжений по площади.
90