книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

влево) будет означать, что в общем случае максимальное главное напряжение σI может совпадать сначала с осью 1, затем – с осями 2 и 3, а промежуточное главное напряжение σII каждый раз будет находиться

на нижнем уровне (σII = σIII), т.е. при μσ = –1. Поэтому касательное напряжение τ'max будет совпадать с внешним кругом 1, а минимальное τ'min –

с внутренним кругом 2.

Важно отметить следующее. Размещение на единой девиаторной плоскости условий Друккера – Прагера и Кулона – Мора может создать ложное впечатление о том, что именно в условии Кулона – Мора прочность на сдвиг зависит от промежуточного напряжения σII, поскольку лучи-радиусы при μσ = –1 и μσ = +1 имеют разные значения – соответственно 207 и 164 кПа. В действительности, на этой плоскости размещаются значения прочности, относящиеся к различным положениям девиаторной плоскости, каждое из которых меняется в зависимости от конкретного значения μσ.

121

Приложение Б

ДИСКУССИИ О ПРОЧНОСТИ Б.1 Влияние траектории нагружения на прочность

Дискуссии относительно преимуществ одной из гипотез прочности ведутся давно, начиная с 1950-х гг. и даже ранее. Многие специалисты по классической теории прочности отмечают, что условие Кулона – Мора неудобно при численном решении трехмерных задач, так как отсутствие гладкости при повороте осей усложняет решение конкретной задачи.

Другие, как отмечалось, считали, что условие Кулона – Мора не отвечает реальному поведению грунтов, поскольку не отражает влияния промежуточного главного напряжения на прочность грунтов (что якобы противоречит результатам опытов). Но они также снисходительно отмечают, что «…это условие широко применяется на практике главным образом из-за его простоты и приемлемой точности при решении конкретных инженерных задач».

В действительности, многие опыты по выявлению прочности при повороте осей показывают, что фактическую прочность характеризует множество экспериментальных точек в пространстве между пирамидами Кулона – Мора и Треска.

Б.2 Влияние траектории нагружения на деформации

Рассмотрим, как влияет на деформации грунта траектория (путь) нагружения. Пусть путь начинается с точки А (см. рис. А.1), напряженное состояние которой характеризует всестороннее давление σv = 100 кПа. Это соответствует напряжениям, которое возникает в упоминаемом среднем по прочности суглинке, у которого γ = 18 кН/м3, = 0.35 (принимаются постоянными для рассматриваемых далее моделей), а модуль деформации принят по ветви сжатия Е = 10 МПа = 10 000 кПа.

Всестороннему давлению σv = 100 кПа соответствует глубина h = σv / γ = 100 / 18 = 5.6 м (боковое давление, принятое по гипотезе гид-

ростатики, то же – σzg = σxg = σyg = 100 кПа).

Конечной точкой пути пусть будет точка В, напряженное состоя-

σI = 792 кПа, σII = σIII = 353 кПа.

В точку В можно прийти по двум траекториям: 1 (от А до О) – 2 (от О до В) и сразу из А в В по траектории 3 (см. рис. А.1).

122

Траектория 1 – 2. На пути А – О – В возникают деформации:

– на части А – О: ε11 = ε22 = ε33 = [σv – σzg – 2 ν (σv – σxg)] / Е = = [500 – 100 – 2 · 0.35 (500 – 100)] / 10000 = 1.20 · 10–2; ε22 = [σv – σzg –

– 2 ν (σv – σxg)] / Е = [500– 100 – 2 · 0.35 (500– 100)] / 10 000 = 1.20 · 10–2; средняя деформация εv, А–О = (ε11 + ε22 + ε33) / 3 = 1.2·10–2;

– на части О – В: ε11 = [σI – σv – 2 ν (σII, III – σv)] / Е = [792 – 500 –

– 2 · 0.35 (353– 500)] / 10 000 = 3.95 · 10–2; ε22 = ε33 = [σII,III – σv – ν (σI – σv + + σII, III – σv)] / Е = [353 – 500 – 0.35 (792 –500 + 353 – 500)] / 10000 = = –1.47 · 10–2; средняя деформация εv О–В = [3.95 + 2 · (–1.47)] · 10–2 / 3 = = 0.34·10–2;

–полнаяобъемнаядеформацияεv,А–В =(1.20+0.34)·10–2 =1.54·10–2.

Траектория 3 (путь А – В). На пути А – В возникают деформации:

ε11 = [σI – σv – 2 ν (σII,III – σv)] / Е = [792– 100 – 2 · 0.35 (353– 100)] / 10000 = = 5.15 · 10–2; ε22 = ε33 = [σII,III – σv – ν (σI – σv + σII,III – σv)] / Е = [353 – 100 –

– 0.35 (792 –100 + 353 –100)] / 10000 = –0.78 · 10–2; полная деформация εv А–В= [5.15 + 2 · (–0.78] · 10–2 / 3 = 1.20 · 10–2.

Таким образом, в этом примере различие между деформациями на разных траекториях достигает 28 %, что говорит о существенном влиянии траектории нагружения.

123

Приложение В

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ГРУНТА

Все описанные выше модели позволяют анализировать напряжен- но-деформированное состояние грунта только в пределах соответствующей модели. Действительное же поведение грунта гораздо сложнее. Грунт могут характеризовать сложные графики испытаний в стабилометре, приведенные на рис. В.1. В графиках (паспортах) испытаний представляют следующие зависимости, полученные по результатам испытаний нескольких образцов грунта:

–объемных деформаций εV от всестороннего давления σ: εV = f (σ),

где εV = εI + 2 εIII; σ = (σI + 2 σIII) / 3;

–интенсивности касательных напряжений σi от всестороннего дав-

ления σ: σi = f (σ), где σi = (σI – σIII) / 3;

– интенсивности деформаций сдвига εi от интенсивности касатель-

ных напряжений σi: εi = f (σi), где εi = 2 (εI – εIII) / 3.

124

линейность можно характеризовать как разнонаправленную: объемные деформации уменьшаются с ростом среднего напряжения, а деформации сдвига, напротив, возрастают с ростом касательных напряжений.

Влюбой реальной задаче, например, о нагружении грунта штампом, оба процесса протекают одновременно; именно поэтому результирующий график зависимости осадки штампа от давления s = f (р) часто имеет сначала слабо искривленный участок, близкий к линейному, затем, когда начинают преобладать процессы сдвига (судя по графикам на рис. В.1, они протекают более интенсивно), зависимость s = f (р) постепенно переходит в нелинейную стадию. Таким образом, наличие линейного участка, как неоднократно отмечалось, еще не означает линейного поведения грунта в целом, а является результатом одновременного протекания двух или более двух сложных нелинейных процессов.

Если применять линейные модели, нужно выбрать относительно

небольшой участок зависимостей (например, до давления σk и соответствующих ему значений σi, k и εi, k на рис. В.1, а) и спрямить их, т.е. заменить линейными функциями.

Вобщем же случае, кроме нелинейности, сильное влияние на поведение грунта оказывает траектория нагружения. При нагружении по траектории раздавливания, кроме общего (нелинейного) сжатия по зависи-

мости объемной деформации от среднего давления εV = f (σ), добавляется неизвестное в теории упругости явление – дилатансия (это явление известно в классической теории сплошной среды и чаще называется дилатацией). В зависимости от выбранной траектории 1, 2 или 3 соответствующие добавочные объемные деформации обозначены на рис. В.1, б,

см. график εV = f (σ), теми же цифрами. В случае 1 наблюдается объемное расширение грунта, в случаях 2 и 3 расширение сменяется сжатием, т.е.

вобщем случае дилатансия имеет знакопеременный характер.

Самое распространенное объяснение дилатансии следующее. Если представить грунт как систему круглых и уложенных достаточно плотно шаров (например, бильярдных), то сдвигаемые шары должны несколько подвинуться вверх, чтобы выйти из углублений между нижними рядами шаров. Такое объяснение объемного расширения переносят на гальку, гравий, крупные пески. Но явление дилатансии у глинистых грунтов с таких позиций необъяснимо.

В следующих лекциях будет показано, что явление дилатансии вполне объяснимо представлением грунта как имеющего различные модули деформации (упругости) при сжатии и разгрузке. Если обратиться к рис. В.1, б, на котором показаны те же зависимости при чисто девиаторном нагружении (по тем же линиям 1, 2 или 3), можно видеть, что дилатансия проявляется более ярко: она возникает на всех траекториях, хотя и уменьшается с увеличением среднего давления σ. Напомним, что

125

чисто девиаторное нагружение осуществляют путем увеличения вертикального напряжения (когда деформации идут с модулем деформации Е) с одновременным уменьшением бокового давления в камере стабилометра (когда разгрузочные деформации идут по упругому закону

с модулем Ео).

Сложность поведения грунта, кроме знакопеременной дилатансии, дополнительно характеризует нелинейность зависимостей σi = f (σ), εi = f (σi) и др., существенно меняющихся в зависимости от вида девиаторного нагружения. Например, на рис. В.1, б показано сравнение зависимостей, полученных при испытании по траектории раздавливания (пунктирными линиями, взятыми из рис. В.1, а) и по траектории чисто девиаторного нагружения (сплошными линиями).

Кроме того, влияние на результат решений задач оказывает и положение образца грунта в исследуемом массиве. Дело в том, что стандартное испытание в стабилометре ведется путем приложения только главных напряжений σI и σIII. Но в массиве грунта, как показано на рис. В.2, главные напряжения меняют свое положение. Только в двух случаях – при действии лишь собственного веса (см. рис. В.2, а) и под центром загруженной площади (см. рис. В.2, б) – главные напряжения соответствуют тем, которые создаются в стабилометре. В общем же случае в вертикально ориентированном образце, находящемся в массиве, возникают не только вертикальные σ1 и горизонтальные σ2, 3, но и касательные напряжения τ12, τ21 (см. рис. В.2, в), а главные напряжения возникают только по главным траекториям, по-разному отклоненным от вертикали.

Рис. В.2. Траектории главных напряжений σI и σIII и изменение напряженного состояния образцов в зависимости от их положения в массиве: а – в природном состоянии; б – под центром загруженной площади; в – в произвольной точке

126

Таким образом, все зависимости, характеризующие нелинейные свойства грунтов, должны учитывать такое важное обстоятельство, как поворот главных напряжений. Разумеется, во всех случаях дополнительное влияние оказывает вид напряженного и деформированного состояний, характеризуемый параметрами Лоде – Надаи μσ и με: в общем случае напряженное и деформированное состояния не подобны, причем неподобие наиболее существенно в промежуточных (между пространственной и плоской) расчетных схемах.

Далее будет показано, как различные модели грунта учитывают описанную выше сложность поведения грунтов.

В.1 Деформационная модель

Простейший вид зависимости между напряжениями деформациями в нелинейной стадии работы грунта был предложен А.И. Боткиным [6]):

где А, Н – экспериментальные параметры, аналогичные параметрам прочности φ и с условия прочности Кулона – Мора (или параметрам α и k других условий прочности), а выражение А (σокт + Н) представляет собой условие прочности в обобщенных координатах; В – параметр, аналогичный модулю сдвига G; τокт, σокт и γокт – соответственно приведенное касательное σi, среднее напряжение σ и приведенные касательные напряжения εi (с точностью до постоянных множителей, используемых разными исследователями).

В целом эта дробно-линейная зависимость и отражает прогрессирующее развитие деформаций сдвига, причем деформации асимптотически приближаются к некоторому пределу, определяемому условием прочности.

Изучение и дальнейшее развитие модели в 1960–70-е гг. в МИСИ вели Г.М. Ломизе, А.Л. Крыжановский и др. [7]. В зависимость А.И. Боткина были внесены множество поправок (коэффициентов), учитывающих приведенные выше влияющие факторы; авторы обозначили их как α1…α15. Например, условие прочности в числителе формулы (В.1) предлагается в виде А = α1 + Iσα2 (α3 + α4 μσ + α5 μσ2), т.е. оно отражает нелинейность и сложное влияние на прочность параметра μσ. Общие деформации разделяют на деформации формы IIε = (α6 Aσ7 IIσ) / (A – IIσ)α8 и деформации объема Iε = α9 Iσα10 (здесь Iσ, IIσ, Iε, IIε – инварианты напряжений и деформаций).

Для учета знакопеременной дилатансии вводится еще ряд дополнительных параметров, один из них – степень достижения предельного состояния (Ω = IIσ / А). Существует некоторое критическое его значе-

127

ние Ω*, при котором дилатансия меняет знак: при Ω ≤ Ω* происходит доуплотнение (сжатие), а при Ω > Ω* – расширение (собственно дилатансия). Для описания знакопеременной дилатансии вводится еще несколько коэффициентов (α11…α15).

Эффективность деформационной модели ее авторы демонстрируют рядом примеров решений классических задач механики грунтов: о вдавливании штампа, о деформациях подпорной стенки, грунтового анкера и др. Необходимую информацию о поведении грунта авторы берут из уникальных опытов на трехосных приборах. В отличие от стабилометра (который, как отмечалось, часто не вполне точно называют трехосным), трехосные приборы авторов позволяют прикладывать к образцу грунта различные главные напряжения σI > σII > σIII (или в любой другой комбинации); в обычном стабилометре удается моделировать напряженное состояние только при σI > σII = σIII (раздавливание) либо

при σII = σIII > σI.

Сложность работы грунтов под нагрузками лучше всего иллюстрируется в задаче о вдавливании штампа. Изменяя коэффициенты α1…α15 в области их возможных значений (и даже устраняя часть из них), авторы указывают на возможность достоверного описания работы грунта в более широких пределах, чем другие модели.

Исследования Г.М. Ломизе и А.Л. Крыжановского имеют большое научное значение для познания свойств грунтов, однако выхода на практические расчеты авторы даже не предполагают из-за почти полного отсутствия подобных (именно трехосных) приборов, сложности и неоднозначности методов получения искомых параметров.

Кроме того, сами трехосные приборы авторов имеют серьезные метрологические погрешности, поэтому достоверность их результатов не очевидна. Поэтому такой подход следует оценивать как сугубо эмпирический, когда исследователь работает по принципу «увидел – учел». «Учел» – значит подобрал соответствующие зависимости и коэффициенты, которые позволяют приблизить теоретические построения к тому,

с другом, исследователи не изучают. Вероятно, при подобном подходе потребуется еще несколько коэффициентов, поскольку из приведенных выше построений не видно, например, как учитывается поворот главных осей.

Между тем, совершенно очевидно, что все или большая часть эмпирических коэффициентов имеют несомненную внутреннюю связь. Скорее всего, существует какой-то другой, более «сильный» фактор или группа факторов, которые и предопределяют взаимозависимость всех или большей части эмпирических коэффициентов.

128

В.2 Модели на основе закона пластического течения

Эти модели (например, показанная на рис. В.3) предназначены для описания одновременного протекания в грунтах упругих εе и пластиче-

ских εр деформаций, т.е. полная деформация ε в моделях представляется как сумма ε = εе + εр.

Чтобы наряду с упругими (по закону упругости) учесть пластические деформации, вводится пластический потенциал, который представляет собой поверхность в виде конуса 3, но с меньшим углом раскрытия ψ, чем, например, угол α условия Друккера – Прагера 1 (или φ в условии Мора – Кулона); его называют углом дилатансии.

Рис. В.3. Иллюстрация модели пластического течения в пространстве σ–τ и ε–γ: линии, соответствующие условиям прочности: 1 – Друккера – Прагера (1а – модификация после уплотнения); 2 – Мизеса; 3 – линия пластического потенциала; 4 – «колпачок»; позиции, соответствующие различным стадиям нагружения; 5 – пластическое течение; 6 – деформации при нагружении (а) и разгрузке (б); 7 – совместное проявление деформаций

течения и уплотнения

Существенным элементом модели является так называемый «колпачок» 4, который показывает границу достигнутого напряженного состояния: при превышении достигнутого напряжения происходят дополнительные деформации сжатия dεе (6, а) с модулем деформации Е, а при уменьшении – деформации разгрузки (6, б), характеризуемые модулем упругости Ео.

Особого внимания заслуживает стадия нагружения 5. Здесь происходит нагружение, а соответствующие пластические деформации определяются по закону пластического течения

где F – условие прочности, характеризующее пластический потенциал; dλ – скалярный множитель, который находится из решения уравнений равновесия и совместности деформаций.

129

Производная по компонентам напряжения σi, j означает нормаль к линии пластического потенциала 3, которая отклонена влево от вертикали и фактически означает разрыхление, т.е. увеличение объема (или компоненты γi, j тензора деформаций). Тем самым при совместном действии сжатия и разрыхления 7 (см. рис. В.3) описывается сложный процесс деформирования грунта, сопровождающегося как сжатием, так и разрыхлением. Умелым подбором угла дилатансии ψ можно добиться совпадения результатов расчетов и эксперимента. Однако какой-либо стройной теории определения этого параметра пока нет. Но исследования в этом направлении продолжаются достаточно активно.

В целом эта группа моделей заимствует положения классической теории пластического течения, которая в абсолютном большинстве случаев оперирует с материалами, не имеющими внутреннего трения. В первых попытках механического переноса приемов этой теории на грунты в качестве условия прочности F в уравнении (В.2) принимали условия прочности Кулона – Мора, Боткина, Друккера – Прагера и др., т.е. закон пластического течения был ассоциирован (подобен, совпадал) с условием прочности. Однако при этом наблюдались слишком большие объемные деформации (дилатансия). Введение же нового пластического потенциала F с углом ψ, существенно меньшим, чем α или tg φ, дало основание для появления закона неассоциированного течения. Как отмечалось, под-

бором параметра ψ часто удается получить нужный результат, но какоголибо объективного объяснения природы этого параметра и способов его определения пока нет. Пока это, к сожалению, выглядит как «подгонка под ответ».

Кроме того, специалисты в области теории прочности оспаривают строгость приемов, когда к нелинейным объемным деформациям, обусловленным действием нормальных сил, добавляются явно нелинейные же деформации (тоже объема!), но обусловленные воздействием деформаций пластического течения и вызываемыми ими касательными напряжениями.

В.3 Модели критического состояния

Очень интересное развитие модель пластического течения получила в виде целой группы моделей, основанных на концепции критического состояния. Самая известная из них была предложена учеными из Кембриджского университета (A. Schofield, P. Wroth [8]) и названная моделью Кэм-клей (Cam-Clay, «кембриджская глина», «глина из реки Кэм»).

Ранее известное критическое состояние определяется так. После какого-либо силового воздействия (например, сдвига) грунт, достигнув

130