книги / Сопротивление грунтов (некоторые лекции по курсу Механика грунтов )

Фантастическая версия автора. Эти катастрофы – события, ка-

залось бы, случайные. Но за случайностями может таиться некий Высочайший Замысел. Можно даже допустить, что Замысел заключается именно в намерении создать человека и следующие условия для его развития и существования:

–появление углерода и водорода – для создания сначала простейших, затем все более сложных форм жизни и на их основе – образование кислорода и воды, дальнейшее усложнение флоры и фауны;

–появление магнитного поля, озонового слоя и времен года – для сохранения всего живого, иначе все живое было бы уничтожено солнечной радиацией, вокруг экватора стояла бы вечная жара, а вокруг плюсов сплошной холод;

–падение Чиксулубского метеорита – не случайность, а благо, иначе мы, ЛЮДИ, были бы подобны динозаврам;

–наделение человека разумом, совершенно уникальным качеством – способностью к членораздельной речи и абстрактному мышлению, способностью к адаптации в разных условиях, к обучению, применению новых знаний для управления окружающей средой, использованию орудий труда для создания предметов материальной и нематериальной культуры…

51

30 лет назад. Вес первых моделей доходил до 5 кг, а стоимость до $4000. Сечас же телефон есть почти у всех школьников, а в целом – у 95 % населения Земли.

Но невозможно представить, что будет даже в ближайшие 100–200 лет! И прогресс в том же телефоне когда-то закончится – уже сейчас все его возможности в полной мере мало кто использует.

Итак, во все прошедшие 120 с Земного года вместились исчезнувшие цивилизации инков, ацтеков, Древнего Египта, Древнего Китая, Атлантиды, Месопотамии, жили Софокл, Эзоп, Аристотель, Александр Македонский, Архимед, Юлий Цезарь, Петрарка, Леонардо да Винчи, Микеланджело, Шекспир, Гёте, Пушкин, Достоевский, Толстой. Позднее возникла европейская история, еще позднее – история Руси, открытие Америки. Но продолжаем жить именно Мы, «род ЛЮДИ» (!).

53

Приложение Д

ШКАЛЫ ИНТЕНСИВНОСТИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ

54

Лекция вторая НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ГРУНТАХ

Введение

Всамых популярных учебниках механика грунтов обычно представляется как составная (теоретическая) часть науки об основаниях

ифундаментах. Она считается преемницей других наук: теории упругости и пластичности, сопротивления материалов, теоретической механики, применительно к специфическому объекту – природным и искусственным грунтам. С этим можно согласиться, но как будет показано далее, с большими оговорками.

Основные разделы механики грунтов:

– распределение напряжений в грунтах;

– определение деформаций в грунтах;

– вопросы прочности и устойчивости грунтов;

– фильтрация воды в грунтах;

– протекание деформаций во времени;

– давление грунтов на ограждения;

– устойчивость откосов.

Вдействительности прямого заимствования решений классической теории прочности (упругости и пластичности) в механике грунтов почти нет. Например, в классической механике вопросы распределения напряжений и деформаций решаются «одним духом» – на основе общих решений, из которых одновременно вытекает и то (распределение напряжений), и другое (распределение деформаций).

Вгрунтах же влияние собственного веса соизмеримо с напряжениями от внешних нагрузок (по сравнению, например, с напряжениями в металлах). Поэтому каждый из обсуждаемых вопросов будет решаться с «привязкой» к грунтам, вводя те или иные ограничения и допущения, поскольку классические решения, как правило, не учитывают веса материалов.

Вэтой лекции рассматриваются задачи о распределении напряжений и деформаций в грунтах, котрая имеет три аспекта:

1) распределение напряжений и деформаций в массиве грунта; 2) распределение напряжений по подошве жестких и гибких фун-

даментов; 3) распределение напряжений и деформаций от собственного веса.

Другие задачи (о прочности, устойчивости и др.) рассматриваются в следующих лекциях. Во всех случаях потребуется оперировать такими

55

общепринятыми понятиями, как напряжение, деформация, их инварианты и проч., причем правомерность использования их в расчетах грунтов также требует пояснений. Поэтому сначала следует познакомиться с тем, что называют напряжением и деформацией.

1 Что такое напряжение

Справки из интернета: «Напряжение – англ. tension; нем. Spannung: 1. Состояние системы, характеризующееся нарушением равновесия». И еще: «2. Эмоциональное состояние индивида или группы, характеризующееся нарушенным внутренним равновесием, тревогой, беспокойством, возбужденностью. Н. является либо результатом мобилизации всех сил индивида перед совершением знáчимых действий, либо результатом фрустрации, действия противоречивых мотивов, неспособности или невозможности действовать адекватным для данной ситуации образом». По-другому: «Механическое напряжение – мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий».

Из этих определений следует, что напряжение – реакция некоей стабильной системы на возмущающий фактор по отношению к этой системе. В механике напряжение понимают проще: это равнодействующая всех внешних сил, нормальных или параллельных по отношению к рассматриваемой площадке (и обратной по знаку по отношению к внешнему воздействию, например, давлению), которые участвуют в формировании деформаций системы в некоторой произвольной точке (обычно ее обозначают латинской буквой М).

Врассматриваемой ситуации, когда требуется произвести анализ напряжений в массиве, этот массив представляют в виде так называемого упругого полупространства (УПП) – массива вещества (грунта), ограниченного сверху плоскостью, бесконечно простирающегося в направлении осей Х и Y, а в направлении оси Z – только вниз. Очевидно, что УПП моделирует какой-либо фрагмент участка земли с горизонтальной поверхностью и не учитывает, например, того, что этот участок земли имеет кривизну.

Вкачестве возмущающего фактора чаще всего выступает вертикальная, горизонтальная силы либо совокупность вертикальных и горизонтальных сил, как угодно распределенных на поверхности или внутри массива. В других задачах возмущение может быть вызвано температурой и связанными с ней объемными деформациями, вибрациями и др.

Для простейшего случая анализа напряжений от вертикальных сил рассматривают две задачи: пространственную (рис. 2.1) и плоскую (рис. 2.2). Пространственная (или трехмерная) задача – более общий случай, когда в результате воздействия силы Р в точке М возникают не-

56

зависимые напряжения в разных направлениях (Х, Y, Z). В плоской же (двумерной) задаче напряжения вдоль оси Х являются зависимыми от напряжений в направлениях осей Y и Z. Есть еще и одномерная задача – случай, когда какие-либо изменения (напряжений, перемещений и др.) происходят только по одной из координат (чаще всего по вертикали, глубине Z).

Точка М массива не есть нечто круглое или шарообразное бесконечно малых размеров. Если условно посмотреть на точку М как бы через увеличительное стекло, она представится как кубик также бесконечно малых размеров (обычно стороны его обозначают как dx = dy = dz), ориентированный гранями по соответствующим осям Х, Y и Z, а центр кубика совпадает с положением точки М (рис. 2.3).

В результате воздействия сил Р или Р' по граням кубика образуются разнонаправленные нормальные (σ),

т.е. перпендикулярно направленные к площадке, и касательные (τ), параллельные площадке, напряжения.

В общем случае, независимо от того, рассматривается пространственная или плоская задачи, в теории упругости эти напряжения обозначают в виде матрицы напряжений, в которой помещают ее элементы: по диагонали (главной диагонали) – нормальные напряжения,

Рис. 2.3. Вид точки М (кубика): а – в координатах Х, Y, Z; б – по главному направлению

57

а в строках – касательные напряжения. Совпадающие первые индексы обозначают рассматриваемую площадку и располагают в строках, а вторые индексы, характеризующие направления, – в столбцах. В целом матрица характеризует тензор напряжений Тσ, а ее элементы – компоненты тензора:

Первая форма записи чаще используется в технических (обычно парные индексы в обозначении нормальных напряжений заменяют на одиночные, например, σхх обозначают как σх, σzz – как σz), а вторая – в научных дисциплинах. Во второй записи подразумевается, что если индексы в какой-либо компоненте тензора совпадают, это обозначает нормальное напряжение σ, а если не совпадают – соответствующее касательные τ.

Еще проще и компактнее форма записи матрицы напряжений следующая: Тσ ={σij} (i, j = 1, 2, 3), причем подразумевается, что каждому последовательно принимаемому значению i = 1, 2, 3 соответствует своя строка, а каждому из значений j = 1, 2, 3 – свой столбец.

В механике грунтов наибольший интерес представляют вертикальное или касательное напряжения по горизонтальной площадке (верхней грани кубика), где образуются нормальные напряжения σzz (или проще – σz) – главные побудители вертикальных деформаций упругого полупространства (и следовательно, осадок грунтового массива), и касательные τzy, которые при достижении некоторого предела приводят к нарушению сплошности массива. Поэтому в качестве 1-го направления принимают ось Z, а в качестве 2-го – ось Y. В других случаях (например, при расчетах давления на ограждения) принимают вертикальную грань кубика.

Общая форма представления в виде тензора дает возможность более широкого взгляда на напряженное состояние в точке М. Наиболее интересные результаты анализа следующие:

–касательные напряжения по взаимно перпендикулярным пло-

щадкам (например, τzy и τyz) равны между собой и направлены навстречу друг другу (иначе кубик не будет в равновесии и начнет вращаться, чего не может быть в стабильной системе); поэтому все касательные напряжения, симметрично расположенные зеркально относительно главной диагонали, равны между собой и противоположно направлены;

–если начать вращать кубик, не меняя положения точки М, все компоненты тензора – нормальные и касательные напряжения – будут

58

меняться; если же сориентировать одну из граней кубика так, чтобы она оказалась перпендикулярной направлению на силу Р или Р' (главному направлению), касательные напряжения станут равными нулю (в силу симметрии), и на гранях кубика останутся только нормальные напряжения; касательные же напряжения сохранятся, но только по любым наклонным площадкам по отношению к главным площадкам кубика (их можно вычислить, пользуясь формулами сопромата); тензор напряжений для главного направления будет выглядеть так:

причем для удобства последующего анализа наибольшее из нормальных главных напряжений обозначают латинской цифрой I, промежуточное – II, а наименьшее – III, т.е. соответственно нормальные напряжения будут располагаться в таком порядке: σI > σII > σIII.

Несмотря на вращение кубика и постоянную изменчивость ситуации на его гранях, существуют некоторые комбинации компонентов тензора, которые будут оставаться неизменными – это проявление закона сохранения некоторого общего состояния в точке М. Такие комбинации называют инвариантами тензора напряжений:

–первый(линейный)инвариантIσ = σхх+ σyу+σzz = σI +σII+ σIII=const;

впоследствии первый инвариант будет характеризовать объемное сжатие грунта, а соотношение Iσ = σср = σV – среднее нормальное (гидростатическое,объемное)напряжение;

– второй (квадратный) инвариант IIσ = (σI – σII)2 + (σII – σIII)2 + + (σIII – σI)2 = const; впоследствии второй инвариант будет характеризо-

вать объемный сдвиг грунта;

–третий (кубический) инвариант IIIσ = σI ·σII · σIII = const; впоследствии этот инвариант будет использоваться для оценки взаимного влияния тензоров напряжений и деформаций;

–также существуют главные касательные напряжения, которые действуют по площадкам, равно наклоненным ко всем главным осям (октаэдрическим площадкам) и которые также не меняются от поворота кубика;

–для пояснения закона распределения касательных напряжений рассмотрим рис. 2.4, на котором приведен образец массива (грунта) по главному направлению, т.е. по направлению, где действуют только нормальные главные напряжения – наибольшее σI и наименьшее σIII;

анапряжение σII является промежуточным;

–если какая-либо площадка, по которой требуется определить нормальное σα и касательное τα напряжения, наклонена к главному на-

59