книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

гласно приближенному решению (6), соответствуют кривым / и Г Эти зна­ чения приведены также в табл. 1.

Максимальные окружные напряжения возникают на внутренней кром­ ке пластины и могут быть представлены формулой

Таким образом, видно, что во всех случаях, которые могут возникнуть при проектировании фланцев, результаты приближенной теории практи­ чески совпадают с результатами, полученными на основании теории кру­ говых пластин.

Интересно отметить, что предложенная выше приближенная теория

то Р {г1— г0)/2яг0 должно быть подставлено значение Л40. Сравнение это­

Значения постоянной е для различных значений а, вычисленные с по­ мощью приближенного выражения (5), а также на основе теории круглых пластин для условий нагружения, показанных на рис. 1 и 3, даются соответ­ ственно кривыми /, II и III. Отметим, что для малых значений а вели­ чина е для этих трех случаев отличается незначительно, что может быть

использовано при приближенных расчетах фланцев, на чем остановимся ниже. Числовые значения величины е приведены также в табл. 2, где индекс при е соответствует номеру кривой.

НАПРЯЖЕНИЯ И ПРОГИБЫ ФЛАНЦЕВ, ПОДКРЕПЛЕННЫХ ВТУЛКОЙ

Отметим, что при расчете напряжений и прогибов, подкрепленных втул­ кой фланцев, Е. Уотерз использовал как теорию изгиба круглых пластин, так и теорию изгиба труб; таким путем получены очень громоздкие уравне­

Выражение для этого угла поворота может быть получено также при рас­

где р = 1,285/j/gr; g — толщина втулки; г — средний ее радиус.

1 См. работу Waters Е. О., Taylor J. Н., указанную в сноске на стр. 231.

2 Средняя линия фланца будет лишь незначительно сжата силами Q (рис. 5, б), но на соединении АВвтулки и фланца существует некоторое осевое растяжение, вызванное закру­ чиванием фланца. Нулевое растяжение будет иметь место в некоторой промежуточной об­ ласти между срединной плоскостью фланца и плоскостью АВ. Вдальнейшем предполагается, что линия нулевого растяжения соответствует АВ. Более тщательные вычисления показы­

Если вместо формулы (10) использовать зависимость (13), то можно по­ казать, что для вычисления М0 получается следующее выражение:

- f - - m p M . 4 - - 0 . 2 4 6

Крутящий момент на основании формулы (8) равен

М . = 0,332 р .

Из сравнения с предыдущими вычислениями для очень высокой втулки видно, что величина М0уменьшается на 5%, а крутящий момент увеличива­ ется на 4%. Отсюда можно сделать вывод, что при увеличении высоты втулки

свыше h = 1,5/р = 1,17 У r0g практически не происходит увеличения проч­ ности фланца.

Хотя в предыдущем обсуждении для вычисления угла ср использовалась приближенная формула (9), для решения проблемы без труда можно исполь­ зовать результаты более точной теории пластин, которые приведены в табл. 2. Нагрузка Р будет вызывать поворот внутренней кромки фланца, рав­

Этот угол нужно приравнять углу, определяемому формулой (10). Тогда имеем

6М0

откуда можно легко найти величину Pv

Величина М0может быть вычислена из выражений (15) и (17):

Значение М0 для рассмотренного выше примера, вычисленное по более точной формуле (18), отличается лишь на 14% от результата вычислений по приближенной формуле (И). Отсюда видно, что приближенное решение позволяет просто вычислять напряжения и прогибы подкрепленных фланцев и, следовательно, может быть полезным при определении соответствующих размеров таких конструкций. При дальнейшем уточнении решения легко учесть влияние радиальных нормальных напряжений, а также сдвигающих напряжений. Однако это вряд ли необходимо при анализе таких грубых конструкций, как фланцы труб.

КОЛЕБАНИЯ МОСТОВ

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что катящаяся нагрузка вызывает у моста или у балки больший прогиб и, следовательно, большие напряжения, чем та же нагрузка, действующая статически. Этот динамический эффект действия по­ движных нагрузок на мосты имеет большое практическое значение1. Здесь анализируются следующие виды динамического воздействия: 1) эффект по­ движной нагрузки для медленно перемещающейся нагрузки; 2) динамический эффект противовесов ведущих колес локомотива; 3) динамический эффект вследствие нерегулярностей. Эти нерегулярности включают неровности пути и плоские участки колес.

Показано, что эффект переменной нагрузки для медленно перемещаю­ щейся нагрузки очень мал и им всегда можно пренебречь. Динамический эффект противовесов может быть весьма существенным, особенно при условии резонанса, и наиболее важен для мостов с самыми короткими пролетами, для которых нужно учитывать возможность появления резонанса. При до­ пущениях, сделанных в этой работе, минимальная длина пролетов, для которых допускается такой резонанс, составляет приблизительно 30, 48 м.

Динамический эффект вследствие неправильностей пути может дости гать значительной величины в случае коротких балок и рельсовых опор. Устраняя такие нарушения непрерывности пути, как стыки рельс, можно достичь существенного уменьшения динамических напряжений, вызывае­ мых в частях моста, непосредственно подвергаемых динамическому воздей­ ствию движущихся колес.

ЭФФЕКТ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ МЕДЛЕННО ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ

При обсуждении этой задачи рассматриваются два предельных случая: 1) масса движущейся нагрузки велика по сравнению с массой моста и 2) мас­ са движущейся нагрузки мала по сравнению с массой моста. В первом

Tradutte par Barre de Saint-Venant et A. Flamant. Paris, Dunod, 1883, 900 р. (см. замечание к § 61 на стр. 597).

случае массой моста можно пренебречь. Тогда прогиб моста при любом поло­ жении этой нагрузки будет пропорционален давлению R, которое вызывает в балке катящаяся нагрузка Р (рис. 1), и может быть вычислен из известного уравнения статического прогиба

где EI — изгибная жесткость балки. Другие обозначения представлены на рис. 1.

Для того чтобы получить давление R, к катящейся нагрузке Р должна быть добавлена инерционная сила — {Pig) (cPy/dt12). Полагая, что нагрузка движется вдоль балки с постоянной ско­

ростью v, имеем

Уравнение (3) определяет траекторию точки контакта катящейся нагрузки с балкой х. Для его решения можно получить хорошее приближение, если по­ лагать при вычислении инерционной силы, что прогибы такие же, как при

принимает максимальные значения, когда нагрузка находится на середине пролета, и максимальное давление будет равно

+ S r ) . (4)

Максимальный прогиб в центре балки увеличивается в том же отношении, что и давление на балку, так что

Это приближенное решение, как показывает сравнение с результатами точ­ ного решения 2 уравнения (3), достаточно точно для практических прило­ жений. Дополнительный член в скобках обычно очень мал и можно заклю­ чить, что эффект подвижной нагрузки в случае коротких балок не имеет практического значения.

1 Это уравнение получено Р. Виллисом. См.: W i l l i s R. Report of the comissioners appointed to inquire into the application of iron to railway structures. Ld. 1849, 435 p.; Appen­ dix B. Experiments for determining the effects produced by cousing weights to traval over bars with different velocities made in Portsmouth Dockyard and Cambridge, p. 181— 250.

2 Точное решение уравнения (3) было получено Дж. Стоксом. См.: S t о k е s G. G. Mathematical and Physical Papers, vol. 2, Cambridge, University Press, 1883,366 p., стр. 179.

Во втором случае, когда масса балки мала по сравнению с массой моста, движущаяся нагрузка может быть заменена с достаточной точностью движу­ щейся силой. Задача тогда состоит в определении колебаний моста, вызван­ ных вертикальной силой Р, движущейся вдоль моста с постоянной скоростью. Полное решение этой задачи дано в Приложении. Там показано [см. выраже­ ние (43)], что амплитуда колебаний зависит от величины отношения

буется силе, чтобы пройти мост.

Принимая наиболее неблагоприятное допущение относительно наложе­ ния статического прогиба и прогиба, вызванного колебаниями, и пренебрегая демпфированием, получаем следующее выражение для максимального про­ гиба, вызванного движущейся силой Р (см. Приложение):

Здесь же приведены вычисленные значения коэффициента a=T/2Tv Таким об­ разом, видно, что наибольший эффект перемещающейся нагрузки получает­ ся для наименьшего пролета; при рассмотрении таблицы можно сделать вывод, что для этого пролета при очень высокой скорости перемещения уве­ личение прогиба, вызванное эффектом подвижной нагрузки, составляет при­ близительно 12% и оно еще уменьшается с понижением скорости и увеличе­ нием длины пролета.

Если на мост действуют несколько движущихся нагрузок, то колебания, связанные с ними, должны накладываться друг на друга. Только в исключи­ тельном случае синхронных колебаний результирующий эффект подвижной нагрузки на систему будет равен сумме эффектов отдельных нагрузок, а прогиб, обусловленный этим эффектом, будет увеличиваться в том же отно­ шении, что и для отдельной нагрузки. На основании этих примеров можно заключить, что эффект подвижной нагрузки для медленно перемещающей­ ся нагрузки не является важным фактором и даже в самых неблагоприятных случаях он едва превышает 10%. Более опасные явления могут быть вызва­ ны, как сейчас увидим, пульсирующими силами, вызванными вращающи­ мися противовесами паровых локомотивов.

ДИНАМИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ ПРОТИВОВЕСОВ

Самое неблагоприятное условие возникает в случае резонанса, когда число оборотов в секунду ведущих колес равно частоте собственных колеба­ ний моста. Для моста с коротким пролетом собственная частота обычно так