книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ГАЛТЕЛЯМИ И ОТВЕРСТИЯМИ

Хорошо известно, что отверстия, острые входящие углы и резкое изме­ нение поперечного сечения вызывают высокую концентрацию напряжения вдеталях машин. Эта концентрация напряжения особенно нежелательна, ко­ гда материал подвержен переменным напряжениям, потому что при действии таких напряжений в районе высокой концентрации напряжений может возникнуть прогрессирующая трещина и наступит разрушение. Боль­ шинство разрушений при эксплуатации вызвано такого рода трещинами. Поэтому исследование таких концентраций напряжений очень важно. Ис­ следование может быть проведено различными путями: аналитически, ме­ тодом фотоупругости, с помощью линий Людерса или испытаний на уста­ лость. Все эти методы обсуждаются ниже.

Аналитический метод. Аналитический метод был успешно применен в случае пластины с круговым1 или эллиптическим 2 отверстием. Для этих двух случаев было получено точное решение в рамках двумерной задачи теории упругости. С помощью обычной элементарной теории изгиба криво­ линейного стержня может быть также получено приближенное решение для круглого подкрепленного отверстия (рис. 1). Этот метод основан на том, что отверстие оказывает только местное влияние на распределение напряже­ ния в такой пластине, какая показана на рис. 1, а в точках, удаленных от отверстия, направление будет почти таким же, как и в пластине без отверстия. Вообразим теперь, что из пластины некоторой цилиндрической поверхнос­ тью вырезано круговое кольцо диаметром D и что D велико по сравнению с диаметром отверстия d. Действие оставшейся части пластины на кольцо показано на рис. 2. Напряжение на внешней поверхности кольца в произ­ вольной точке т будет равно

где;?о— растягивающее напряжение, равномерно распределенное по краям пластины.

1 К i г s с h [G .]. Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieur, 1898, Bd 42, N 29, S. 797—807.

2 К о л о с о в Г. В. Об одном применении теории функций комплексного перемен­ ного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, тип. К. Маттисена, 1909, 187 стр.; I n g 1 i s С. Е. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Engineering, 1913, vol. 95, N 2465, p. 415.

Задача концентрации напряжения, вызываемого отверстием, теперь свелась к расчету напряжения в круговом кольце, подверженном действию известных внешних сил и имеющего поперечное сечение АВ (рис. 2, штрихо­ вые линии). Этот расчет может быть сделан с помощью элементарной теории изгиба криволинейного стержня с круговой осью. Сумма напряжений в любой точке поперечного сечения АВ состоит из двух составляющих: напряжения р г от растяжения и напряжения изгиба. Напряжение р г рав-

ш и *

Рис. 1.

номерно распределено по поперечному сечению и может быть найдено из простого выражения

гдеро — равномерное растягивающее напряжение, приложенное по краям

пластины; t — толщина пластины; F — площадь поперечного сечения кольца.

в которой М0— изгибающий момент, действующий в поперечном сечении АВ\ сг — расстояние от точки А до центра тяжести поперечного сечения АВ

(рис. 2); у — расстояние от нейтральной оси до центра тяжести поперечного сечения АВ.

Расчеты р 2 были проделаны для различных значений ab площади по­ перечного сечения подкрепления кольца и для случая1 Did = 5. Результаты этих расчетов даны в табл. 1, где а — отношение площади поперечного сече­ ния подкрепляющего кольца к площади сечения по диаметру отверстия, имеющее следующее выражение:

щему напряжению, равномерно распре­ деленному по концевому поперечно­

му сечению пластины. Это отношение называется коэффициентом концентра­

нием поперечного сечения подкрепляющего кольца. Если применить этот приближенный метод к случаю кругового отверстия без подкрепления, ког­ да известно точное решение, можно сделать вывод, что приближенный метод, описанный здесь, имеет достаточную для практического приложения точность. Этот метод может быть применен также и в других случаях, на­

света. В качестве примера такого исследования ни­ же даются некоторые случаи распределения напря­ жения в основании зуба зубчатого колеса 2. С по­ мощью простой формулы изгиба получен линейный закон распределения напряжения, как это показа­ но линией sOs на рис. 4.

На самом деле в галтелях, расположенных у основания зуба, будет иметь место значительная концентрация напряжения и действительное рас­ пределение напряжений по поперечному сечению пп будет такое, как это показано на рис. 4 кри­ вой тОт. Отношение максимального напряжения

в галтеле к напряжению, подсчитанному по простой балочной формуле, назовем в этом случае коэффициентом концентрации напряжения. Для того чтобы получить коэффициент напряжения для зубьев различных размеров,

1 Предварительные расчеты показали, что максимальные напряжения остаются прак­

было проведено несколько экспериментов, в которых применялся метод фотоупругости. Модели, использованные в этих исследованиях, показаны на рис.5—7. Первая модель (рис. 5) была спроектирована в соответствии с нормами, широко принятыми в США. Вторая модель (рис. 6) была скон­ струирована с таким радиусом галтеля, при котором он может считаться

/

Рис. 4.

минимальным и соответствующим отчету Комитета по профилю зуба Аме­ риканской ассоциации по производству зубчатых колес1. Третья модель (рис. 7) имела те же контуры, что и первая. Однако вместо двух галтелей была выбрана дуга в виде полукруга. Эти модели были сделаны из целлулои­

да толщиной 6,6 мм и нагружены изгибающей нагрузкой, приложенной на конце, как это показано на рис. 4. Напряжения вдоль галтелей изм ерялись

При этом исключалось влияние концентрации напряжения. В таблице даны также пределы выносливости для образцов с галтелями (рис. 12, б), под­ считанные по обычным формулам изгиба. По отношению цифр в табл. 4 можно судить об ослабляющем эффекте галтелей. Необходимо отметить, что это отношение всегда меньше, чем теоретический коэффициент концент­ рации напряжений, найденный для соответствующих двумерных задач или полученный методом фотоупругости. Теоретический коэффициент кон­ центрации для тех размеров галтели, которые даны на рис. 12, б, должен быть примерно 2,50.

Т а б л и ц а 4

Для образцов цилиндрической формы концентрация напряжений не мо­ жет рассматриваться как двумерная задача, и это может частично объяс­ нить сравнительно низкие значения эффективного коэффициента концентра­ ции, приводимого в табл. 4. Другую причину этого можно усмотреть в том, что для образцов с галтелями опасное по разрушению сечение определяется предварительно благодаря высокой локализации концентрации напряже­ ний, в то время как в обычных образцах для испытаний на усталость мак­ симальные напряжения остаются постоянными вдоль большей части образ­ ца, а трещина возникает в самом слабом поперечном сечении. Далее следует отметить, что нет определенных связей между ослабляющим влиянием кон­ центрации напряжений и пластичностью материала (например, удлинение стандартных образцов, предназначенных для испытаний на растяжение). Интересно также отметить, что для марганцевых сталей термообработка не повышает прочности образцов с галтелями, несмотря на то, что значи­ тельно увеличивает предел пропорциональности и предел усталости мате­ риала. Ослабляющее влияние концентрации напряжения для этих материа­ лов становится еще большим, чем для любых других испытываемых ма­ териалов.

В качестве другого примера ослабляющего влияния концентрации на­ пряжения приведены некоторые результаты испытаний на усталость, по­ лученные на цилиндрических образцах с двумя разновидностями выточки: 1) выточкой типа резьбы Витворта, 2) выточкой типа резьбы американского стандарта (рис. 13). В обоих случаях размеры соответствовали 3,94 виткам резьбы на 1 см. Материал, использованный в этих испытаниях, имел следующие механические свойства: