книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

жно было быть в точке, соответствующей началу галтели, если бы в ней не учитывалось влияние самой галтели. Чтобы сделать это, была предпринята следующая процедура. Точка А' (рис. 16) была взята на границе, лежащей приблизительно посредине между началом галтели и точкой приложения нагрузки. Распределение напряжения в этом сечении определяется доста­ точно точно по известной формуле / = MY/I и показано на рис. 16. Вычисленное значение/соответствует значению/0, полученному методом фо­

самом месте, что и в предыдущих экспериментах, приблизительно в точке, ле­ жащей вблизи точки D. Полученные результаты представлены в табл. 3.

Можно видеть, что данные табл. 3 хорошо согласуются с соответству­ ющими данными, представленными в таблице на рис. 13. Отсюда можно заключить, что результаты рис. 13 справедливы также и для галтелей при изгибе. Результаты, представленные в указанных двух таблицах, дают ошибку не больше чем q=5%. Этот предел для ошибки был получен на осно­ вании изучения всевозможных источников ошибки, встречающихся на всем протяжении исследования.

Заключение. Выполненные эксперименты показывают, что высокая концентрация напряжения, обусловленная галтелями, есть величина, за­ висящая, в основном, от отношения радиуса галтели к ширине образца. Результаты экспериментов, полученных для задачи растяжения и изгиба галтелей, представлены на рис. 13.

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ЛИНИЙ ЛЮДЕРСА К ЗАДАЧАМ О ГАЛТЕЛЯХ И ОТВЕРСТИЯХ

Если образец из мягкой стали, предназначенный для испытания на рас­ тяжение, будет хорошо отполирован и нагружен возрастающей нагрузкой, то, когда нагрузка достигнет значения, соответствующего пределу текучес­

(рис. 17) и могут быть использованы для установления областей наибольшей концентрации напряжения в модели любой детали машины так же, как и для оценки величины коэффициента этой концентрации. Чтобы найти эту ве­ личину, нужно выполнить следующую процедуру. Предварительно для уста­ новления напряжения, при котором появляются линии Людерса (для дан­ ного материала), проводится обычно испытание на растяжение полирован­ ного образца. На основании полученных данных затем можно выполнять эксперимент с моделями. Далее модели из того же самого материала нагру­ жаются до тех пор, пока не станут заметными линии Людерса в перенапря­

Рис. 20. Измерение деформации для определения концентрации напряжения в стальных пластинах с различного рода вырезами.

растягивающих напряжений показано на рисунке заштрихованными площадями. Результаты, полученные для полукруговых выточек, хорошо согласуются с расчетами, выполненными для этого случая1.

ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Все данные о концентрации напряжения, полученные аналитическими методами или на основании экспериментов, базируются на предположении, что распределение напряжений является двумерным и что материал одноро­ ден, изотропен и совершенно упруг. Такой материал, как сталь, в пределах уп­ ругости с хорошей степенью точности удов­ летворяет этим свойствам, и данные, пред­ ставленные в статье для случаев двумер­ ных задач, достаточно точно определяют

ности, на двумерных моделях, они могут быть также полезны для более общих^случаев трехмерного распределения напряжения. Возьмем, например, случай шатунной шейки коленчатого вала с круговым отверстием а в ради­ альном направлении (рис. 21). На основании решения, полученного для кру­ гового отверстия, можно заключить, что максимальное напряжение на кром­ ках отверстия в шатунной шейке коленчатого вала будет примерно в три

1 L е о n A. Kerbgrosse und Kerbwirkung. Mitteilungen aus dem mechanisch — techni-

schen Laboratorium der technischen Hochschule in Wien. Wien, Lehmann und Wentzel, 1910, N 10, 56 S.

раза больше напряжения, которое определяется обычной формулой для изгибных напряжений.

В случае кругового вала с резким изменением поперечного сечения (рис. 22) максимальное изгибное напряжение в галтели будет намного боль­ ше напряжения, определяемого обычной теорией изгиба. Некоторое представ­ ление о величине коэффициента концентрации напряжения можно получить из табл. 3, в которой приведены результаты, полученные методом фотоупру­ гости. Обычно считают, что если величина отношения рId мала, короче го­

суменьшением отношения p/d коэффициент концентрации увеличивается

ив случае острого угла (рис. 23, а) он теоре­

тически становится бесконечно большим. Это означает, что в острых входящих углах не­ большой изгибающий момент будет вызывать постоянные остаточные деформации. Эти пластические деформации сильно локализова­ ны и не влияют на прогиб оси вала. Для того, чтобы снять эту концентрацию напряжения, иногда делают полукруглую выточку (канав­ ку), как показано на рис. 23, б.

При изучении ослабляющего действия концентрации напряжения на предельную прочность конструкции, подверженной стати­ ческому нагружению, необходимо иметь в ви­ ду, что коэффициенты концентрации напряже­ ния, найденные выше, для некоторых случа­ ев справедливы только в пределах упругости материала. Выше этого предела влияние кон­ центрации напряжения зависит в основном от пластичности материала. Для пластичных материалов, таких, как мягкая сталь, с увели­ чением нагрузки выше предела упругости

местные напряжения в области повышенных напряжений не будут уве­ личиваться в той -же пропорции вследствие текучести материала, и в слу­ чаях испытаний стержней на растяжение с отверстиями и выточками распре­ деление напряжения в ослабленном поперечном сечении в момент разрыва можно считать равномерным. Это означает, что концентрация напряжения не будет влиять на предел прочности стержня. В некоторых случаях можно ожидать увеличения предела прочности вследствие того, что боковое сжатие ослабленного поперечного сечения будет до некоторой степени уменьшено

В случае хрупкого материала получится другой результат. Пласти­ ческая деформация, приводящая к выравниванию напряжения по ослаб­ ленному поперечному сечению, в этом случае не возникнет и разрушение начнется от точек наибольшей концентрации напряжения. Для таких мате­ риалов, как стекло или закаленная сталь, отверстия и выточки будут умень­ шать предел прочности. Это уменьшение приблизительно соответствует вычисленным коэффициентам концентрации или коэффициентам концентра­ ции, полученным методом фотоупругости.

При рассмотрении табл. 1 можно видеть, что, когда зубчатые колеса эксплуатируются при низкой скорости (v = 1524 см!мин), германская фор­ мула и формула Льюиса дают почти одни и те же величины для допускае­ мой нагрузки Р, но при высокой скорости (7620 см/мин) формула Льюиса дает почти на 30% меньшую нагрузку, чем германская формула. По-види­ мому, тенденция придать большее значение влиянию скорости, которая отвеча­ ет в большей степени формуле Льюиса, чем европейской практике, имеет неко­ торое оправдание, поскольку обнаружен динамический эффект от неточнос­ тей изготовления зубчатых колес. В самом деле, предположим, что вследствие

некоторой погрешности в форме зуба име­ ет место преждевременный контакт между зубьями. Вследствие этого составляющие скоростей двух зубьев по нормали к по­ верхности контакта будут различными. Разница этих скоростей Да может создать некоторые разновидности удара, вызывае­ мого рассматриваемыми несовершенствами. Предположим, что скорость выравнивает­ ся 1 в течение промежутка времени А/, необходимого для переноса зубьев из по­ ложения преждевременного контакта в дей­ ствительную точку контакта. Разделив

разницу в скоростях между парой зубчатых колес, находящихся в за­ цеплении, получим следующее выражение для ускорения: а = Да/2Дt. Для некоторой данной степени неточности изготовления величина Ду пропорциональна скорости вращения, а значение Д^ обратно пропор­ ционально этой скорости. Это означает, что ускорение и дополнительное давление, вызываемое неточностями изготовления, будут пропорциональны квадрату окружной скорости и. Вследствие этого допускаемое статическое давление Р на зуб будет уменьшаться с увеличением скорости, как это по­ казано на рис. 2 кривой тп. Динамический эффект, представленный на ри­ сунке заштрихованной площадью, при любой скорости пропорционален моменту инерции вращающихся масс. Отсюда следует, что для снижения динамического эффекта массы, жестко соединенные с зубчатыми колесами, должны быть как можно меньшими. В случае значительных масс, таких как маховики или роторы, между этими массами и зубчатыми колесами надо помещать упругие валы или различного типа упругие муфты.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ

Выражение (1) основано на простой формуле изгиба, т. е. на линейном законе распределения напряжения по поперечному сечению тп, что показано на рис. 1. В действительности в галтели у основания зуба имеет место зна­ чительная концентрация напряжения, поэтому действительное распределе­ ние по поперечному сечению тп будет таким, как это показано на рис. 1 кривой kOk. Отношение максимального напряжения в галтели к напряже­ нию, вычисленному по простой балочной формуле (1), будет называться ко­ эффициентом концентрации напряжения. Этот коэффициент крайне важен

1 См. L a s с h e О. Die elektrische Kraftverteilung in den Maschinenbauwerkstatten der Allgemein Elektricitats— Gesellschaft Berlin. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1899, Bd 43, N 5, S. 113— 121; N 6, S. 141— 154, N 7, S. 178— 182; N 11, S. 287—297; N 43, S. 147— 1422; N 48, S. 1487— 1493; N 49, S. 1528— 1533; N 50, S. 1563— 1569.