книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

потенциальной энергии будет

Если предположить, что на стержень действует только сила Р, то уравнение принципа возможных перемещений примет вид

Если на стержень действует также сжимающая сила (рис. 2), то следует принять во внимание работу этой силы на возможном перемещении. Эта

работа равна SA6, где б — разница между длиной изогнутой оси и расстоя­ нием между концевыми точками А и В стержня, а Дб — изменение этой величины, соответствующее изменению прогиба Ау,

В случае малых прогибов эта разность равна i

С помощью принципа наложения можно теперь очень легко получить выра­ жения для изогнутой оси в других случаях. Если, например, предположим, что на стержень действует равномерно распределенная нагрузка q>то нужно лишь вместо Р в выражение (7) подставить qdl и затем этот ряд проинтегри­ ровать в пределах от 0 до I. Таким образом, получим

ппх

Ряды, с помощью которых представлены прогибы, сходятся очень быстро, и во многих случаях при приближенных вычислениях прогибов можно ограничиться первым членом этих рядов. Например, в случае (8) ошибка такого приближения для прогиба в середине и для а2 = 0 меньше 1/2% и уменьшается с увеличением а2.

Обозначая прогиб, вызванный действием поперечной силы, через /0, можем теперь представить приближенную формулу для прогиба f в случае, если действует также сжимающая сила S, в следующей форме:

Если вместо сжимающей действует растягивающая сила, следует лишь в приведенные выше формулы вместо а2 подставить — а2. Приближенная формула для прогиба в случае растягивающей силы примет вид

представляет собой начальный прогиб стержня, а

— прогиб, вызванный внешними силами. Для потенциальной энергии и для работы поперечных сил можем применить полученные выше формулы. Работа сжимающих или растягивающих сил вычисляется следующим обра­ зом. Пусть 80 — первоначальная разность между длиной искривленной оси

стержня и расстоянием АВ между концевыми точками, а б — та же самая разность после деформации. Тогда

о п—1

ОНАПРЯЖЕНИЯХ В ПЛАСТИНЕ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ

The collected papers New York — London — Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, 1953, p. 385—392.

Проблема распределения напряжений в непосредственной близости от отверстия в тонкой растянутой пластине полностью решена для несколь­ ких форм отверстий, например в случае кругового1 и эллиптического2 от­ верстий. Эти решения показывают, что большие местные напряжения возни­ кают на контуре отверстия. Для того чтобы уменьшить эти напряжения,

вбольшинстве случаев на практике отверстие подкрепляют.

Вэтой статье предлагается метод для приближенного определения влия­

ния упомянутых выше подкреплений на местные напряжения.

Сначала рассмотрим простейший случай, т. е. пластину (рис. 1) с не­ большим круговым отверстием. К самой пластине по ее нижней и вер­ хней границе приложена равномерно распределенная нагрузка интенсив­ ностью р.

Известно, что отверстие вызывает перераспределение напряжения вбли­ зи контура таким образом, что распределение напряжения в сечении тп будет таким, как показано кривыми s—t и и— v. Величина напряжения в точ­ ках а—а равна Зр3.

Известно также, что в круге диаметром D напряжения в контурных точках фактически не зависят от наличия отверстия при условии, что D намного больше диаметра отверстия d.

Следовательно, рассматривая часть пластины, ограниченной цилиндри­ ческой поверхностью диаметрами D и d, можно предположить, что напря­ жения в любой точке обусловлены силами, соответствующими напряжению р, как показано, например, на рис. 2.

Нетрудно заметить, что сила на единицу длины в любой точке т внешней границы будет бр sin ф. Таким образом, задача сводится к круговому кольцу, нагруженному по внешнему контуру заданными силами. Максимальные напряжения ртах в точках а —а, обусловленные этими силами, можно вычис-

1 К i г s с h [G. ]. Die theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre.

значения отношения ртах1р (для различных значений Did):

значительно, т. е. напряжения вблизи отверстия носят локальный характер. Принимая во внимание изложенное, в дальнейшем ограничимся вычисления­ ми только для случая Did = 5.

Обозначая через Fx уменьшение площади поперечного сечения полосы, обусловленное отверстием, и через F2— площадь поперечного сечения под­

уменьшается, когда F2 увеличивается. Полученные результаты можно использовать в случае других форм попе­ речного сечения подкрепления только при условии, что размер а под­ крепления в радиальном направлении можно считать малым по сравнению

сдиаметром d отверстия (приложение 2).

Вкачестве примера возьмем растянутую пластину толщиной 1 см с кру­ говым отверстием диаметром 1 м. Пусть контур отверстия подкреплен двумя

Более детальные расчеты для этого случая, когда во внимание принима­ ется форма поперечного сечения, дают ртах!р = 1,73.

Как видно из табл. 1, погрешность составляет только 2%. Приближенный метод, развитый здесь, можно обобщить также на дру­

гие формы отверстия, например для случая эллиптического отверстия. Таким же образом могут быть рассмотрены тонкие пластины, которые нахо­ дятся в напряженном состоянии, отличном от простого растяжения. Напри­ мер, можно рассмотреть случай пластины, подверженной действию сдвига или изгиба в своей плоскости. Необходимо только вычислить соответствую­ щее распределение сил вдоль внешней границы кольца.

Приложение 1. При рассмотрении кольца, вырезанного из растянутой полосы (рис. 2), учтем симметрию и ограничимся только одним квадрантом (рис. 4). Максимальное значение напряжения имеет место в точке п горизонтального поперечного сечения тп. Из уравнения равновесия непосредственно можно заключить, что продольная сила в поперечном сечении

через N — продольную силу в том же сечении и через у — расстояние от центра сечения до нейтральной оси, когда кривой брус изгибается только концевыми парами, можно запи-

я

Т

^ Md(p — у ^ Ndiр = О, (а)

Dгде первый член слева пропорционален повороту се­ чения тп относительно сечения stt обусловленного изгибающим моментом М, и второй член пропорци­ онален повороту, обусловленному продольной си­ лой N.

Принимая во внимание все силы, действую­ щие на часть (тп — II) кольца, найдем, что для сечения I— I продольная сила равна

где 5 соответствует моменту инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; т— расстояние от центра кольца до нейтральной оси (рис. 4); z — расстояние от рассматри­ ваемой точки до нейтральной оси, г считается положительным, если отсчитывается по на­ правлению к центру кривизны.

Подставляя это в (I), получаем

Pi = М0 ydd

Суммируя полученное напряжение с растягивающим напряжением plt вызванным продольной силой, получаем суммарное напряжение в точке п, которое представляет собой максимальное напряжение Pmax= Pi + Рг-

Результаты расчетов, полученных таким образом для различных значений отношения Did, представлены в табл. 2.

Приложение 2. В случае, когда отверстие подкреплено кольцом (рис. 3 и 4), исполь­ зуем то же самое уравнение (а). Для этого необходимо только в уравнении (с) положить вместоЛ/2 размер сг, соответствующий расстоянию от центральной линии до внешней кромки

I

Напряжение р2 в точке п, вызванное изгибом, вычисленное согласно формуле (f), рав-