книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Таким образом, приближенный метод и здесь дает вполне достаточную точность. Решение задачи сводится к подстановке числовых данных в го­ товые формулы (29) и (30), тогда как при пользовании точным способом при­ ходится каждый раз сначала определять все произвольные постоянные ин­ тегрирования, что требует в данном случае немало труда.

Рассмотрим теперь изгиб балки с опертыми концами. Если длина бал­ ки / меньше длины полуволны L, соответствующей заданному упругому основанию, то можно, применяя приближенный метод, ограничиться пер­ вым приближением — предположить, что изгиб происходит по синусоиде:

у = f sin —j— и воспользоваться результатами, полученными ранее при ис­

следовании изгиба балок с опертыми концами. Чтобы учесть влияние упру­ гого основания, нужно в уравнение (4) подставить соответствующее значе­ ние потенциальной энергии, состоящей в данном случае из двух частей: энергии изгиба Vx и энергии деформации основания V2. Значение Vx из­ вестно, а значение V2 определится так:

о

следовательно,

V = V1+ y 2= - ^ l +

и уравнение (4) перепишется в таком виде:

откуда

2/3 V P iSin ^ -

Тот же результат для прогиба можно получить и иным путем, рассматри­ вая изгиб балки с опертыми концами под действием сосредоточенных сил Ръ Р2» и сплошной нагрузки, интенсивность которой меняется по

откуда, подставляя вместо q его значение, получаем для f найденную фор­ мулу (31).

От изгиба балки сосредоточенными силами легко перейти к сплошной нагрузке. Вместо суммы конечного числа слагаемых, входящих в формулу (31), получим интеграл, распространенный на всю длину балки, и выра­ жение для прогиба напишется так:

2/3 f q sin —у—dx

На основании этих общих выражений для изогнутой оси можно составить представление относительно погрешностей, которые допускаем, ограничи­ ваясь первым приближением.

РАСЧЕТ ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК

При расчетах инженерных сооружений нередко приходится встречаться с вопросом о прочности плоских стенок, подвергающихся действию сплош­ ной нагрузки. К таким стенкам относятся водонепроницаемые переборки в судах и шлюзовые ворота, выдерживающие давление воды. Обычно пере­ борку составляют из железных лис­ тов, подкрепленных системой связей или перекрестных балок, идущих в двух взаимно перпендикулярных на­ правлениях параллельно сторонам стенки. К расчету этих перекрестных д ^ балок и применим приближенный ме­ тод. Возьмем такую задачу (рис. 6).

Железные листы водонепроницаемой переборки прикреплены к системе одинаковых и равно удаленных друг от друга вертикальных балок. Для большей жесткости они поддержива­ ются дополнительной горизонтальной балкой АВ. Требуется рассчитать вер­ тикальные и горизонтальные балки.

Предположим, что давление воды равномерно распределяется между вер­ тикальными балками, и каждая из этих балок несет, следовательно, сплош­ ную нагрузку Q, меняющуюся по закону треугольника или трапеции. Нагрузка эта отчасти передается на опоры, отчасти на перекрестную бал­ ку АВ. Давление на перекрестную балку, очевидно, будет зависеть от ее жесткости. Если балка АВ абсолютно жесткая и не гнется под действием передающихся на нее давлений, то каждая вертикальная балка представляет собой неразрезную двухпролетную балку на неподвижных опорах. Давле­ ние на среднюю опору будет равно aQ, где а — коэффициент, зависящий от расположения перекрестной балки. Если она пересекает балки по се­ редине высоты, то для распределения нагрузки по треугольнику или тра­ пеции а = 5/8, а для каждого частного случая действия нагрузки и распо­ ложения опор может быть найдено изложенными выше способами и весь расчет балок не представит затруднений. В действительности задача зна­ чительно сложнее, так как изгибом перекрестной балки обычно пренебре­ гать нельзя, и при расчете вертикальных балок нужно принять во внимание понижение средней опоры, равное соответствующему прогибу у перекрест­ ной балки. Это понижение вызовет уменьшение средней опорной реакции на некоторую величину ууу где у — коэффициент, зависящий от жесткости вертикальной балки и от расположения средней опоры. При двух равных пролетах

Если размеры балок известны, то можно найти (5 и тогда с помощью форму­ лы (40) выяснить условия работы средней вертикальной балки. Перекрест­ ная балка становится бесполезной, когда реакция R обращается в нуль,

На практике приходится размеры перекрестной балки подбирать так, чтобы соответствующее значение (J было значительно меньше величины, определяемой по формуле (43). Возьмем в качестве примера переборку с квадратным контуром, составленную из девяти равноудаленных верти­ кальных балок, разделенных пополам перекрестной балкой. Для вы­ числения коэффициента (5 придется пользоваться формулой (42), положив

реакция средней стойки уменьшилась по сравнению с предыдущим случаем примерно на 40%. Взяв перекрестную балку того же сечения, что и стойки, получим для промежуточной реакции средней стойки отрицательное зна­ чение. При таких условиях перекрестная балка становится вредной.

воспользовавшись формулой (21) и вставив в нее вместо q интенсивность нагрузки, определяемую формулой (39), найдем величину прогиба f по середине пролета. После простых преобразований найдем

Формула для определения промежуточной опорной реакции средней стойки напишется так:

Весь ход расчета такой же, как и в предыдущем случае. Если система вер­ тикальных стоек поддерживается двумя перекрестными балками, то,

обозначая прогибы их через уг и у2у легко найдем для промежуточных опорных реакций стоек выражения R± = axQ — угуг — у\у2\ R2 = a2Q —

— У2У1 — У2У*-

Постоянные коэффициенты а1у у2 могут быть найдены из рассмот­

рения изгиба балки на четырех опорах и влияния на этот изгиб осадки промежуточных опор. Заменив, как и в предыдущем случае, сосредоточен­ ные силы непрерывно распределенной нагрузкой, найдем, что каждая из перекрестных балок несет сплошную нагрузку, меняющуюся по закону

определения прогибов Д и /2 воспользу­ емся формулой (32). В нее нужно вместо q подставить записанные вы­ ше значения для интенсивности сплош­ ной нагрузки. Выполняя интегриро­ вание, получаем для определения и /2 такие уравнения:

ных балок и определению R1 и R2.

Если имеется много перекрестных балок (рис. 8), то указанный выше способ расчета становится неудобным и для получения приближенного решения поступим так. Сплошную нагрузку, действующую на непроницае­ мую переборку, сосредоточим в точках пересечения горизонтальных и вер­ тикальных балок. Этим устраним местный изгиб балок на протяжении между двумя узлами, но общий характер изогнутой поверхности переборки останется прежним. Если контур переборки не очень отличается от квад­ рата, то в качестве первого приближения можно допустить, что сечения изогнутой поверхности переборки горизонтальной и вертикальной плоскос­ тями представляют собой синусоиды. Обозначив прогиб переборки через до, можно аналитически представить изогнутую поверхность таким образом:

Полагая x = const = cy находим сечение поверхности вертикальной плоскостью. Уравнение соответствующей кривой будет

Г . лс . яу

ДО= / sin —р- Sin —р- .

Точно так же можно найти любое сечение горизонтальной плоскостью. Таким образом, изгиб всех балок системы определяем одной величиной f — получаем систему с одной степенью свободы. Выберем f за координату и найдем соответствующее значение обобщенной силы. Приращению коор­ динаты б/ соответствует дополнительный прогиб переборки

бдо = б/ sin I sin Li .

При этом изменении прогиба сплошная нагрузка интенсивности q совершит работу

Остается только найти выражение для потенциальной энергии V в виде функции от /, что не представит никаких затруднений, так как каждая из балок гнется по вполне определенной синусоиде. Определив из уравнения (47) величину / и найдя таким образом первое приближение для изогнутой поверхности переборки, можно перейти к вычислению дополнительных напряжений от местного изгиба балок, что легко сделать, воспользовавшись теорией неразрезных балок. Подсчеты показывают, что полученное таким образом первое приближение дает вполне удовлетворительные результаты. Если нужна большая точность, то, конечно, можно воспользоваться и даль­ нейшими приближениями. В случае гидростатического давления для вто­ рого приближения можно принять выражение

и этим учесть влияние неравномерности распределения давления по вы­ соте стенки.

ОДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ

ВРЕЛЬСАХ

О ДИНАМИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯХ КАТЯЩЕГОСЯ КОЛЕСА НА РЕЛЬС

Исследователи, изучавшие вопрос о деформациях рельсов под дей­ ствием катящихся колес, отмечают, что при больших скоростях движения прогибы рельсов под колесами получаются часто значительно большими, чем соответствующие прогибы при статическом действии тех же колес. Такое увеличение прогибов нужно приписать действию целого ряда при­ чин динамического характера, которые будут перечислены здесь.

Представим себе идеально правильное колесо, катящееся по гладкому невесомому рельсу, опирающемуся на упругие опоры. Вследствие неоди­ наковости статического прогиба рельса при расположении колеса над опорой и расположении его по середине пролета между опорами траекто­ рия точки касания колеса с рельсом представится волнообразной линией. В таком случае движение колеса будет сопровождаться вертикальными перемещениями его центра тяжести и давление колеса на рельс будет за­ висеть не только от статической нагрузки, но также и от вертикальной силы инерции. Прогиб рельса в силу указанной причины будет иным, чем в случае статического действия нагрузки.

Второй причиной, видоизменяющей прогибы рельса, являются колеба­ ния рельса и связанных с ним шпал и основания. Наконец, третьей причи­ ной, играющей самую существенную роль, являются различного рода не­ правильности в очертании колеса и рельса, неправильности в положении центра тяжести колеса и изменения сил, действующих на колесо, например изменение давления рессоры, изменение сил инерции, соответствующих противовесам и т. д. Влияние кривизны траектории точки касания колеса изучено в настоящее время с достаточной полнотой. Первая попытка реше­ ния такого рода задачи принадлежит Р. Виллису1. Полное решение за­ дачи для случая стержня, лежащего на двух абсолютно жестких опорах,

Изложение его решения см. в книге С 1 е b s с h A. Theorie de Pelasticite des corps solides. Traduite par Saint-Venant et Flamant. Paris, Dunod, 1883, 900 p. Note finale du § 61,

for determining the effects produced by causing weights to travel over bars with different velocites, made in Portsmouth Dockyard and at Cambridge by the Rev. Robert Willis, F. R. S.,

принадлежит Дж. Стоксу1 . Дальнейшее развитие того >же вопроса при­ надлежит Н. П. Петрову. Ему пришла счастливая мысль заменить диффе­ ренциальное уравнение уравнением в конечных разностях2 и воспользо­ ваться приближенным решением. Таким путем удалось получить решения для балки, расположенной на двух, четырех и шести упругих опорах. Эти решения с полной ясностью показали, что при совершенно правиль­ ных колесах и рельсах кривизна траектории точки касания колеса и рельса не имеет никакого практического значения3. Следовательно, при опреде­ лении динамических напряжений не внесем существенных погрешностей, если от рельса на упругих опорах переходим к рельсу, прикрепленному к сплошному упругому основанию. При такой замене траектория точки касания правильного колеса представится прямой линией.

Вопрос о колебаниях балки, возникающих под действием катящегося колеса, давно интересовал инженеров. Приближенную формулу для учета влияния собственного веса балки находим у Б. Сен-Венана 4. Подобный приближенный прием был применен Н. П. Петровым для оценки влияния массы рельса и шпалы на величину динамического прогиба. Дальнейшее исследование колебаний балки под действием катящегося груза принадле­ жит А. Н. Крылову5. Вопрос о колебаниях, возникающих в рельсах, рас­ сматривает А. Фламах 6. Он исследует колебания участка рельса между двумя колесами. Принимая этот участок за балку с заделанными концами, А. Фламах показывает, что основной тон для колебаний этой балки имеет весьма малый период, но не останавливается на выяснении влияния этих колебаний на величину напряжений. Ниже исследуем вопрос о колебаниях рельса как стержня, лежащего на сплошном упругом основании. Сравне­ ние периода основного тона собственных колебаний рельса с периодом вы­ нуждающих колебания сил позволяет заключить, что вибрации рельса существенно не влияют на величину динамических напряжений, вызывае­ мых избыточными противовесами.

Важное влияние неправильностей колеса и рельса, а также влияние противовесов на величину динамических напряжений выяснил в ряде ра­ бот Н. П. Петров. Пользуясь своим методом, Н. П. Петров изучал влияние

1 S t о k е s G. G. Mathematical and physikal papers, vol. II. Cambridge, University press, 1883, 3G6 p.; CM.: Discussion of a differential equation relating to the breaking of railway bridges, p. 178— 220. Иногда результаты Дж. Стокса ошибочно приписывают Г Циммерма­ ну. Здесь уместно еще раз повторить, что Г. Циммерман в этой области никаких новых результатов не получил и вообще ничего не сделал для выяснения вопроса о динамических напряжениях в рельсах.

се при отступлениях колеса от круглой формы и рельса, лежащего на шести опорах, от пря­ молинейного вида. Записки русского технического общества, 1905, год издания 39, N° I, стр. 1—50; см. стр. 2; П е т р о в Н. П. Напряжения в рельсах от вертикальных давлений катящихся колес. Влияние скорости и неправильного вида колес. С.-Петербург, типография