книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

Рассмотрим те колебания, которые могут быть вызваны избыточными противовесами или обусловлены несовпадением центра тяжести колеса с осью вращения. Пусть q0— величина центробежной силы, соответствую­ щей рассматриваемой скорости движения, со — угловая скорость вращения колеса. Если условимся отсчитывать время от того момента, когда центро­ бежная сила направлена вертикально вниз, то колебательное движение, вызываемое этой силой, определится уравнением

Амплитуда этих колебаний отличается от статического прогиба Xq0/q, вызываемого центробежной силой, лишь множителем 1/(1 — Xa2/g).

Этот множитель, всегда больший единицы, является динамическим коэффициентом для центробежной силы. Величина его зависит лишь от частоты собственных колебаний системы и угловой скорости вращения колеса. Введя значение периода собственных колебаний [формула (3)] и время 7\ полного оборота колеса, найдем для динамического коэффи­ циента такое выражение: 1 /[ 1 — (777\)2].

Мы показали, что период собственных колебаний при обычно встречаю­ щихся жесткостях пути колеблется в пределах 1/20— 1/25 сек. Если при­ нять, что время 7\ одного оборота колеса в четыре раза больше 7\ то зна­ чение динамического коэффициента будет 1 /[ 1 — (0,25)2 ] » 1,07.

С возрастанием скорости движения центробежная сила избыточных про­ тивовесов растет как квадрат скорости, но если принять во внимание воз­ растание динамического коэффициента, то придем к заключению, что напряжения, вызываемые в рельсе рассматриваемым динамическим эф­ фектом, растут быстрее квадрата скорости. Приняв, например, в рассмо­ тренном случае вдвое большую скорость, получим для динамического коэффициента вместо 1,07 величину 1,33. Соответствующие динамические напряжения возрастут в отношении (4 1,33)/1,07 = 4,97.

Особое значение приобретает динамический эффект в том случае, когда период вынуждающих колебаний сил приближается к периоду собственных колебаний колеса на рельсе. Конечно, при рассмотрении лишь сил, период которых совпадает с временем оборота колеса, указанного выше сближе­ ния периодов при встречающихся скоростях движения ожидать нельзя, но есть силы с более короткими периодами. Например, ведущей оси паро­ воза передаются силы инерции от движущихся назад и вперед частей. Для вертикальной составляющей этих сил можно принять выражение c^cos 2со/, и соответствующий динамический коэффициент представится так: 1 /[ 1 —

— (2Т/Тг)2 ]. Этот коэффициент может иметь значительные размеры и при скоростях, встречающихся на практике.

Пользуясь предыдущими результатами, можно перейти к общему вы­ ражению для вынуждающей колебания силы Q, входящей в уравнение (1). В самом общем случае можно представить эту силу в виде тригонометри­ ческого ряда1

Подставляя его в уравнение (1), получаем общее решение его в таком виде:

Отсюда динамический коэффициент для любого члена силы Q может быть без затруднения вычислен.

ВЛИЯНИЕ НЕПРАВИЛЬНОСТЕЙ КОЛЕСА И РЕЛЬСА

НА НАПРЯЖЕНИЯ В РЕЛЬСАХ

При совершенно правильной форме колеса и рельса, пренебрегая мест­ ными вдавливаниями в точках касания колеса и некоторой общей деформа­ цией колеса, можно было бы считать вертикальные перемещения центра тяжести колеса равными соответствующему прогибу рельса. Если на ко­ лесе или рельсе имеются какие-либо неправильности, то указанного ра1венства не будет, и тогда придется несколько видоизменить уравнение (1). Обозначим через т] глубину впадины на рельсе или на колесе, отсчитывая ее от уровня правильного рельса или окружности правильного колеса. В таком случае вертикальному прогибу рельса у будет соответствовать опускание колеса, равное у + т], где г\— ордината впадины рельса или колеса, соответствующая точке касания. Если вид впадины известен, то при заданной скорости движения т] представится вполне определенной функцией от времени /. Дифференциальное уравнение для вертикальных перемещений колеса напишется так:

1 Если изменение Q за оборот колеса представлено кривой, то разложение в тригоно­ метрический ряд проще всего может быть выполнено анализатором или по ординатам спо­ собом Рунге. См.: R u n g е С. Theorie und Praxis der Reihen. Leipzig. G. J. G5schen'sche Verlagshandlung, 1904, 266 S. См. также: S a n d e n H. Praktische analysis. Leipzig— Berlin, B. G. Teubner, 1914, 185 S. Последняя книга представляет прекрасное краткое изложение приближенных методов вычисления.

Следовательно, наличие на колесе впадины, определяемой функцией т), равносильно приложению к колесу добавочной переменной силы, равной

(glq) Ф (^1) dti. Такой скорости, сообщенной в момент tl9 через промежуток времени t — tx будет соответствовать перемещение

V stof’j / ' X (< — *1) dtv

Этот результат может быть сразу написан, если воспользоваться фор­ мулой второго члена в выражении (2). Зная, как сказывается на величине перемещения в момент t действие силы ф (/х) за промежуток времени dtly находим полное вертикальное перемещение колеса за промежуток времени t

Это перемещение представляет собой тот дополнительный прогиб рель­ са, который обусловлен впадиной на колесе или рельсе. Выясним значение этого прогиба в нескольких частных случаях.

В качестве первого примера рассмотрим впадину такого очертания, когда поверхность впадины на концах является касательной к правильной поверхности рельса.

При таком плавном сопряжении очертания впадины с соседними пра­

производной по времени. Этому условию будет, например, удовлетворять

Здесь f — наибольшая глубина впадины, / — длина впадины. Начало координат совпадает с началом впадины. Отсчитывая t от начала впадины,

колебаний растет пропорционально времени, и если бы впадины рассматри­ ваемой формы располагались одна за другой, то имелось бы явление резо­ нанса: при малых сопротивлениях можно было бы в рассматриваемом слу­ чае ожидать большого возрастания амплитуды колебаний.

Во всех рассматриваемых случаях соприкасание колеса и рельса предполагаем постоянным. Если благодаря колебаниям, вызванным впа­ диной, у становится отрицательным, то полагаем, что это отрицательное значение меньше того начального прогиба рельса, который вызван стати­

Относительно формулы (9) можно сделать два замечания, имеющие важное практическое значение. Во-первых, можно заключить, что при заданной жесткости пути и заданном значении f напряжения, вызываемые впадиной рассмотренной формы, зависят лишь от 7\. Меняя длину впадины I про­ порционально vy всегда будем получать один и тот же динамический эф­ фект. Следовательно, при разных значениях I рассматриваемые динамиче­ ские напряжения не зависят от скорости движения колеса по рельсу.

Во-вторых, по формуле (9) можно для заданной формы впадины найти наибольшее значение прогиба, выраженное через /, но при переходе от прогиба к усилиям приходится принимать во внимание жесткость пути. Одному и тому же прогибу соответствует тем большее значение усилия, чем больше жесткость пути, т. е. одна и та же впадина на колесе или рельсе будет вызывать в случае жесткого пути большие дополнительные напря­ жения, чем в случае гибкого пути, т. е. с малыми значениями / и D.

В качестве второго примера рассмотрим колебания, возникающие при переходе колеса с горизонтального пути на уклон (рис. 3). В этом случае имеем 1] = ах = avt, где а — величина уклона. Вертикальные перемеще­

ки О. Если правильное колесо, находящееся под действием постоянных сил, катится по горизонтальному правильному рельсу, то вертикальная скорость его равна нулю и при изучении влияния уклона следует положить для начального момента (время отсчитываем от точки О) d (у + r|)/dt = 0. Так как при заданной форме неровности dr\/dt = av, то, следовательно,

вначальный момент (dy/dt)t=о= — av.

Вмомент перехода колеса на уклон возникают свободные колебания, соответствующие найденной начальной скорости. Дополнительные проги­

бы, вызываемые переходом колеса на уклон, представятся в таком случае формулой

При а = 0,002, v = 22,2 м/сек и X = 0,072 см найдем1, что амплитуда вынужденных колебаний равна 0,0382 см.

Если вес колеса составляет 0,125 полного статического давления на рельс, то динамические напряжения, соответствующие найденным колеба­ ниям, составят приблизительно 6,6% статических напряжений.

При скорости v = 2 9,6 м/сек и X = 0,0574 амплитуда вынужденных колебаний будет равна 0,0453 см и соответствующие динамические напря­ жения составят примерно 10% статических напряжений2.3 Вообще, дина­ мические прогибы в этом случае

мера впадину (рис. 4), глубина которой сначала увеличивается по линей­ ному закону, а потом по тому же закону убывает3.

При глубине впадины / и длине ее I уклон, на который колесо всту­ пает в точке О, равен 2/7/, и возникающие в этот момент колебания опре­ деляются формулой

2fv

( 12)

V T S1TI V - T U

Выражение это остается в силе, пока 0 < t < TJ2. В середине впа­ дины вновь происходит изменение уклона, возникают новые колебания, которые складываются с только что найденными. Если принять во вни­ мание, что изменение уклона равно 4/7/ и направлено в сторону, обратную той, что была при уклоне в точке О, то для колебаний на второй половине впадины легко написать выражение

справедливое в пределах TJ2 < t < Тг.

В конце впадины произойдет еще одно изменение уклона, и получается новое колебательное движение. Суммируя все эти колебания и пользуясь выражениями для Т и 7\, получаем для вертикальных перемещений колеса после прохождения впадины такое значение:

где

г] = е-в* (cos аа + sin аа).

Из написанных выражений для прогибов легко находим:

Р* = a ( l - V ) - т ) -

Пользуясь этими формулами, можно по прогибам рельса под каждым из двух грузов найти соответствующие давления на рельс и равные им реакции, оказываемые рельсом на колеса.

Обозначим через qx и q2 веса колес и через Qx HQ2 суммы всех верти­ кальных сил, приложенных к колесам, например давление рессор, верти­ кальные составляющие центробежных сил от избыточных противовесов и т. д.

Дифференциальные уравнения для вертикальных перемещений колес напишутся таким образом:

Задача сводится к исследованию колебаний системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим предварительно свободные колебания этой системы. Полагая Qx = Q2 = 0 и пользуясь для прогибов, вызываемых действием веса каждого колеса в отдельности, обозначениями Хг = XqJ2k, Х2 = = aqJ2ky представим систему полученных выше дифференциальных урав­ нений в таком виде:

Определив из первого уравнения у2 и подставив его в уравнение вто­ рое, придем к такому дифференциальному уравнению четвертого порядка:

Периоды соответствующих типов собственных колебаний системы бу­ дут иметь значения тх = 2л/у и т2 = 2л/у2. В том случае, когда веса колес одинаковы, имеем Хг = Х2 = X. Следовательно,

Один из полученных периодов меньше, а другой больше, чем период колебаний одиночного колеса на рельсе. Разность между периодами воз­ растает с увеличением т]. При т] = 0 оба периода одинаковы и равны тому, который получен для одиночного колеса.

Обратимся теперь к вынужденным колебаниям системы. Предполо­ жим, что к первому колесу приложена переменная сила Qv Повторив прежние выкладки, найдем для определения прогиба ухтакое дифференци­ альное уравнение:

Присоединяя к частному решению этого уравнения общий интеграл уравнения (15), получаем общее выражение для уг. Произвольные постоян­ ные в этом решении должны быть найдены из начальных условий.

Рассмотрим в качестве примера колебания, вызываемые избыточными противовесами. Положим Qx = Q0 cos Ы. Частное решение уравнения (17), представляющее собой вынужденные колебания системы, напишется в этом случае так:

Первый множитель в полученном решении есть не что иное, как ста­ тический прогиб, вызываемый силою QiВторой множитель представляет собою динамический коэффициент для рассматриваемого случая. Поль­

зуясь обозначениями Т = 2л V'h/g, Т — 2я/со, представим динамический коэффициент в таком виде:

При Т < Т г этот коэффициент больше единицы и больше того коэф­ фициента, который был при действии одиночного колеса. Если угловая

в выражении для динамического коэффициента обращается в нуль, и можно ожидать сильного возрастания амплитуды вынужденных колебаний си­ стемы.

При обычных условиях величины л2 и Т2/Т\ представляют собой ма­ лые дроби, поэтому можно определять динамическое давление каждого