книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

колеса как одиночного и потом действия этих давлений суммировать так же, как и в случае системы статически приложенных грузов. Если период

вынуждающей колебания силы вдвое меньше 7\, отношение Т2/Т2\должно быть заменено отношением 4Т2!Т\.

Таким же образом можно исследовать колебания любой системы колес, но так как на движение одного колеса существенное влияние оказывают лишь ближайшие колеса системы, то практически можно при исследовании ограничиваться системой, состоящей из двух или трех колес.

О ВИБРАЦИЯХ РЕЛЬСА

При определении динамических напряжений пренебрегали массой рельса, следовательно, и теми вибрациями, которые в рельсах возникают при действии переменных изгибающих сил. Предполагалось, что в случае переменных давлений колеса на рельс зависимость между прогибами и дей­ ствующими силами будет та­ кая же, как и при статичес­ кой нагрузке. Погрешности, обусловленные этими допу­ щениями, будут тем меньши­ ми, чем медленнее меняются силы, чем больше их период по сравнению с периодом соб­ ственных колебаний рельса.

Поэтому для оценки погрешности, обусловленной сделанным выше допущением, весьма важно исследовать колебания рельса. Особенно

для колебаний получим в том случае, когда концы стержня, лежащего на упругом основании, опираются на совершенно жесткие опоры, и так как отсюда легко перейти к основному тону для собственных колебаний рельса бесконечно большой длины, то пока ограничимся этой простейшей задачей. Если через I (рис. 5) обозначим длину рельса и расположим начало коорди­ нат у левой опоры, то искривленная ось рельса в самом общем случае может быть представлена рядом

При вибрациях рельса коэффициенты fl9 представятся некоторыми функциями от времени. Эти функции найдутся из соответствующих уравне­ ний движения и скорее всего их можно получить, рассматривая рельс на упругом основании, как систему с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае величины fl9 /2» будут играть роль координат системы. Выразим потенциальную и кинетическую энергию системы через эти коор­ динаты.

Потенциальная энергия системы составится из двух частей: энергии, соответствующей изгибу рельса, и энергии деформации упругого основания. Для первой части можно воспользоваться известным выражением энергии

/

о

Вычислим теперь энергию деформации основания. Сохраняя для жест­ кости основания прежнее обозначение k, находим, что на каждую единицу длины изогнувшегося рельса приходится реакция основания, равная ky. Потенциальную энергию, накопляющуюся в упругом основании при де­ формации, можно представить так:

/

о

Составим выражение для кинетической энергии системы. Обозначим через р вес, приходящийся на единицу длины рельса, тогда живая сила, отнесенная

1 р I dy \2

к единице длины, представится как: - у * — ( - у J , и полное выражение

для кинетической энергии системы будет таким:

Дифференциальное уравнение, определяющее какую-либо координату напишется так:

откуда

fn = A cos yt + В sin yt,

где

Получив общее выражение для /п, без всяких затруднений можно бы­ ло бы исследовать вопрос о свободных и вынужденных колебаниях стержня, лежащего на сплошном упругом основании.

Полагая k = 0, получаем колебания свободного стержня с опертыми концами. Наличие упругого основания повышает основной тон колебаний и для соответствующего периода получаем выражение

Т = 2л 1 f ё . 1— г------- .

у

Наконец, считая длину стержня весьма большой, получаем для основ­ ного тона такой период:

т=2*УЦг- <»>

Этому периоду соответствует такой тип колебаний, когда рельс, не изги­ баясь, совершает вертикальные поступательные перемещения. К тому же результату можно прийти, если рассматривать рельс как стержень со сво­

ние 100 кг/см2, найдем из формулы (20), что период основного тона будет

примерно равен 1/50 сек. При такой частоте основного тона деформации, вызываемые периодическими силами с периодом больше 1/6 сек, будут весьма близки к статическим деформациям, и потому, пренебрегая массой рельса, с достаточной точностью учитываем динамические напряжения, вы­ зываемые избыточными противовесами и силами инерции, обусловленными несовпадением центра тяжести колеса с осью вращения. Значительно мень­ шую степень достоверности имеют результаты исследования влияния раз­ личного рода впадин на колесе и рельсе. Если края впадин имеют плавное сопряжение с правильной поверхностью колеса и рельса и длина впадин такова, что время их пробега Тг велико по сравнению с периодом основных колебаний рельса, то и в этом случае влияние массы рельса незначительно. Но при коротких впадинах с неплавными сопряжениями колебания, возни­ кающие в рельсе при прохождении колесом впадины, могут иметь весьма существенное значение. Здесь движение будет сопровождаться ударами, которые вызовут весьма значительные местные напряжения в точках каса­ ния колеса и рельса.

Выяснение величины этих напряжений потребует не только дальней­ шей теоретической разработки вопроса, но также и ряда экспериментальных исследований. Ниже наметим несколько вопросов, которые следовало бы подвергнуть экспериментальному изучению. Здесь же перечислим главней­ шие полученные нами результаты, которые могут иметь некоторое практи­ ческое значение.

Пренебрегая массой рельса, приводим задачу об определении дина­ мических напряжений, вызываемых катящимся колесом, к задаче об иссле­ довании колебаний системы с одной степенью свободы. Приходится разли­ чать два рода динамических напряжений: напряжения, вызываемые неров­ ностями по окружности колеса или поверхности рельса, и напряжения, вызываемые избыточными противовесами и несовпадением центра тяжести колеса с осью вращения.

Динамические напряжения первого рода зависят от глубины впадин и их формы, но не зависят от скорости движения (конечно, пока мы прене­ брегаем массой рельса), так как в окончательные формулы войдет лишь время, потребное для пробега впадины. Меняя длину впадины пропорцио­ нально скорости движения, можем получить один и тот же динамический эффект при различных скоростях. Динамические напряжения, вызываемые избыточными противовесами, возрастают с увеличением скорости движе­ ния, и это возрастание идет быстрее квадрата скорости. Особенно большое значение динамический коэффициент может получить для сил инерции дви­ жущихся назад и вперед частей, так как период этих сил вдвое меньше времени полного оборота колеса. При выяснении вопроса о возможности увеличения скорости движения в связи с прочностью пути приходится учи­ тывать главным образом динамические напряжения второго рода.

Здесь нет никаких заключений относительно допускаемых напряжений в рельсах, так как для вывода таких заключений вопрос должен быть рас­ смотрен более детально. Например, при оценке влияния впадин следовало бы подробно изучить наиболее часто встречающиеся формы впадин и точно выяснить их глубину. Нужно было бы также подробнее выяснить вопрос о тех ударах, которые обычно должны иметь место при входе колеса на впа­ дину. В вопросе о напряжениях, вызываемых избыточными противовесами, ограничиваемся лишь указанием метода расчета и показываем, как этот прием может быть распространен на случай системы движущихся колес. Величина напряжений, вызываемых избыточными противовесами, в боль­ шой степени будет зависеть от конструкции паровоза, и поэтому оценить

эти напряжения каким-либо общим динамическим коэффициентом пред­ ставляется совершенно невозможным — необходимо детальное изучение каждого нового типа паровозов.

Для дальнейшего исследования вопроса о прочности рельс представляет большой интерес экспериментальное изучение некоторых явлений. Пола­ гаем, что экспериментальное исследование не должно ограничиваться на­ блюдениями над деформациями пути при прохождении поездов. Эти дефор­ мации представляют собой явление весьма сложное, а условия их наблю­ дения в пути далеко не благоприятны для обеспечения надлежащей точности работы. Полагаем, что с пользой для дела некоторые элементарные явления могли бы быть подвергнуты экспериментальному исследованию в лабора­ торной обстановке, более благоприятной для точных наблюдений. Так, мог бы быть изучен вопрос об общей деформации колесных скатов под действием приходящихся на них усилий. Большой интерес представляет вопрос о вдав­ ливании колеса в рельс и связанных с этим явлением местных напряжениях. Эти напряжения могут оказывать влияние на износ рельса. Статические деформации рельсов и упругие свойства различных балластов также могут быть изучены в лабораторной обстановке. При изучении динамических на­ пряжений особенно существенно замерить вертикальные перемещения ко­ леса. Для этой цели можно было бы воспользоваться прибором типа палло­ графов, служащих для записывания вибраций в корпусе судов.

К ЗАДАЧЕ О СЖАТИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

К problemu pritiska па pravokutni paralelepiped. Glasnik Hrvatskoga drustva, Zagreb, 1920, godina 32, N 2, str. 57— 60.

При решении задачи о распределении напряжения в сжатом прямоуголь­ ном параллелепипеде (см. рисунок) обычно предполагается, что плоскости тп и pq являются абсолютно жесткими и, кроме того, в любой точке контак­ та между плоскостями и параллелепипедом отсутствует отрыв. Даже при этих упрощающих предпосылках отсутствует точное решение и обычно ис­ пользуется тот путь, когда вводится предположение о распределении на­ пряжения, приближенно представляющее точное решение задачи. Эта за­ дача обычно рассматривается как плоская, т. е. параллелепипед имеет при этом в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, или очень боль­ шой, или очень малый размер. В этом случае напряженное состояние опре­ деляется одной функцией напряжения. Используем метод, аналогичный при­ мененному ранее1 к указанной выше задаче, где функция напряжений была получена в следующем виде:

Обратим внимание, что каждый член этих выражений удовлетворяет условиям на поверхности параллелепипеда. Для того чтобы выбрать коэф­ фициенты наиболее удобным путем, возьмем выражение для потенциальной энергии V системы и используем уравнения такого вида2:

т е н к о С. П. Курс теории упругости. Киев, «Наукова думка», 1972, стр. 117]. 2 Эти уравнения можно получить с помощью теоремы Кастилиано.

Этих уравнений получаем столько же, сколько и коэффициентов аъ аъ

+Ь

Определив коэффициенты и использовав уравнение статики £ Xxdy = Р,

—ь

где Р — сжимающая сила, получим выражения для напряжений (2), соот­ ветствующих силе Р. Расчеты, проведенные для случая а = 6, показали, что нормальные напряжения распределены на контактной поверхности не­ равномерно. Наименьшее значение имеет место в середине (у = 0). Наи­

Эти формулы представляют собою выражения для напряжений в верхней половине прямоугольного параллелепипеда в случае, когда координатные оси лежат в центре верхнего основания ВС.

Формулы (4) содержат две постоянные С и а, истинное значение которых определялось указанным выше методом при решении плоской задачи.

Для того чтобы иметь возможность судить о том, насколько точны эти результаты в случае использования двух постоянных, применим формулы

Ф ё п п л ь А . , Ф ё п п л ь Л . Сила и деформация. Прикладная теория упругости, том 1. М.— Л., Гостехиздат, 1938, 420 стр.; см. стр. 138].

Выражение для потенциальной энергии верхней половины параллеле­ пипеда имеет вид

Для соответствующего выбора постоянных С и а используем тот же метод, что и при выводе уравнений (3). Приравнивая правую часть этих уравнений нулю, получаем

чениях постоянных из выражений (5) получим следующие формулы для

Из этих формул видно, что максимальное и минимальное значения нормаль­ ного напряжения отличаются от равномерно распределенного напряжения, определяемого величиной P/F, приблизительно на 13,6%. Максимальное касательное напряжение, возникающее в точке у = — 6/2, составляет при­ мерно 17,6% величины P/F. Эти результаты незначительно отличаются от приведенных в указанной выше книге, которые были получены на основе более трудоемких расчетов с учетом пяти констант. Отсюда можно сделать вывод, что решение (4) дает достаточно точное распределение напряжений в сплошном параллелепипеде.

РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛАСТИН, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЕМ

При расчетах металлических конструкций часто встречаются задачи о пластинах, ослабленных отверстием различной формы. В случае круговых или эллиптических отверстий имеются достаточно точные решения, которые позволяют определить дополнительные напряжения, обусловленные нали­ чием отверстия. Для отверстия другой формы, а также в тех случаях, когда пластина ослаблена отверстием, подкрепленным по контуру более или ме­ нее прочным кольцом, вопрос о распределении напряжений не ясен.

В настоящей работе будет дано приближенное решение этой задачи, которое может быть применено как для случая отверстий различной формы, так и для случая подкрепления контура отверстия более или менее прочным кольцом.

Применение метода будет рассмотрено на простом примере растяжения пластины, ослабленной круговым отверстием малого диаметра (рис. 1, а), когда отсутствует подкрепляющее кольцо. Поскольку для этого случая имеется точное решение, то существует возможность оценить точность при­ ближенного расчета.

Для нагруженной растягивающими усилиями пластины полагаем, что кольцо имеет внешний диаметр D такой величины, при которой без суще­ ственной ошибки можно представить распределение напряжений по внешне­ му контуру кольца в таком виде, какое имеет распределение напряжения пластины без отверстия равномерно распределенной нагрузкой. В этом случае задача об определении напряжения на крае отверстия сводится к рас­ чету кольца, которое растягивается вертикальными усилиями, равномерно распределенными в горизонтальном направлении (рис. 1, б, б).

Если бы было необходимо получить точное решение, то надо было бы воспользоваться точным решением для кольца с бесконечно большим внеш­ ним диаметром D. Приближенный же метод расчета основывается на том, что для изолированного кольца применяются известные формулы, полу­ ченные элементарным путем на основе гипотезы о плоских нормальных сечениях. Эти формулы могут применяться для расчетов криволинейных стержней произвольной формы и, кроме того, для случая произвольного отверстия с произвольным подкреплением.

Первый вопрос, который возникает при попытке произвести прибли­ женный расчет, связан с выбором произвольного диаметра рассматриваемого

кольца. Если выбранный диаметр D достаточно велик, то, очевидно, будет точным и предположение, что на внешнем контуре возникают напряжения, соответствующие случаю растяжения равномерно распределенными уси­ лиями.

С увеличением отношения Did растут ошибки при определении напря­ жений элементарным методом криволинейных стержней. Задавая отношению Did произвольные значения, можно получить (см. приложение) соответ­ ствующие этому отношению напряжения. Ниже даны различные значения отношения Did и соответствующие им значения максимального напряже­ ния Отах, отнесенного к напряжению сг в неослабленной пластине:

пользуемый приближенный метод дает полное совпадение результатов при выборе подходящей величины отношения

Did. Отсюда следует, что подобный рас­ чет может быть применен и в тех слу­ чаях, где не имеется точных решений.

Пусть для примера требуется сни­ зить напряжение на контуре кругового отверстия, подкрепленного таким об­ разом, что его сечение по диаметру имеет не прямоугольную, а Т-образную форму. Такой характер подкрепления контура должен снизить влияние от­ верстия на распределение напряжений, поэтому в данном случае можно с боль­ шей вероятностью ожидать, что при до­ статочно большой величине D напряже­ ние, возникающее на внешнем контуре,

будет соответствовать растяжению равномерно распределенными усилиями.

Можно видеть, что величина максимального напряжения атах, полу­ ченная элементарным путем, постоянна и не меняется даже при значитель­ ных изменениях отношения Did. Следовательно, этим результатом можно пользоваться и при дальнейших расчетах, принимая величину Did постоян­ ной, т. е. Did = 5. Таким образом, можно составить таблицу для определе­ ния величины напряжения атах, соответствующего различным размерам Т-образной формы поперечного сечения подкрепляющего кольца. С ростом величины Ь растет и жесткость подкрепляющего кольца, в результате чего получаем для напряжения атах значения, менее соответствующие действи­ тельности. Ниже даны результаты расчетов для нескольких вариантов раз­ меров поперечного сечения Т-образной формы:

Заметим, что числа в первом ряду есть отношения величины площади поперечного сечения кольца к величине 6d, они характеризуют степень ослабления в процентах.

В работе определено влияние подкрепления на величину напряжения Ощах» возникающего на главной поверхности поперечного сечения подкреп­ ляющего кольца для тех случаев, когда размер а подкрепляющего кольца мал по сравнению с диаметром отверстия d (см. приложение). Поэтому при­ веденные значения можно использовать и для приближенного определения dmax в тех случаях, когда форма поперечного сечения подкрепляющего кольца отличается от рассмотренных выше.

Пусть, например, стальная пластина толщиной б = 1 см, ослабленная отверстием диаметром d = 100 см, нагружена растягивающими усилиями. Контур отверстия подкреплен по краям уголковым профилем сечением 10 X 10 X 1 см. Если площадь поперечного сечения уголкового профиля равна 40 см2, т. е. 40% площади диаметрального сечения отверстия (ослаб­ ление), то из указанных значений получаем omaJo = 1,69. Подробный рас­ чет, в котором принимается во внимание точная форма поперечного сечения подкрепляющего кольца, дает в рассматриваемом случае величину отно­ шения cjmax/d, только на 2% отличающуюся от приведенной выше величины 1,69. Это различие так мало, что его можно не учитывать, т. е. во всех слу­ чаях можно использовать приведенные значения, составленные для по­ стоянного сечения Т-образной формы.

Выше рассматривался случай равномерно ослабленной пластины. Из­ ложенный расчет можно применять и для других пластин, если только можно определить напряжения на внешнем контуре рассматриваемого кольца.

Не вызывает особого затруднения и расчет отверстий, форма которых отличается от формы разобранного. Например, можно рассмотреть отвер­ стие в форме эллипса; из сравнения приближенного расчета с точным можно и в этом случае определить необходимый размер внешнего контура кольца, на основе чего и строить дальнейший расчет.

Приложение. При расчете вырезанного кольца используем условие симметрии и рас­ смотрим одну четверть кольца (рис. 2). Наибольшее напряжение возникает на правой кром­ ке горизонтального сечения. Растягивающая сила для этого сечения находится из условий

р — радиус средней линии кольца; h — ширина кольца, h == (D — d)/2; у — удаленность произвольного волокна в поперечном сечении кольца от нейтральной линии в случае изгиба бруса парой сил. Величина у для поперечного сечения прямоугольной формы равна