книги / Статические и динамические проблемы теории упругости
..pdfрельса. Рассмотрим в качестве второго примера случай резкого изменения направления касательной к поверхности рельса и предположим, что
к] == ух = |
yvt. Тогда |
имеем cp (t) = -----= 0, но так как |
в началь- |
|
||||||
I. |
|
d (и + T I ) |
~ |
то для этого момента получим |
( du \ |
= — yv. |
||||
ныи момент---- ——= 0, |
1-^-1 |
|||||||||
Из уравнения (6) получим соответствующее выражение для колебаний |
||||||||||
— yv |
Т |
. |
2п( |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
sin - |
т |
. С помощью этого выражения легко определяется действие |
|||||||
впадины рельса угловой формы. Возьмем к примеру т] = 2fx/a при 0 < |
х <С |
|||||||||
< а/2 и |
т] = 2 / ( 1 — xla) при |
а!2 < х < а. Вследствие изменения |
угла |
|||||||
наклона в точках х = 0, |
х = |
а!2 и х = а получим такое выражение для |
||||||||
колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1^- [— sin (2яt/T) + |
2 sin(2nt/T — лТ2/Т) — sin (2лt/T — 2л;Г2/Г)], |
|
|||||||
где Го, как и раньше, означает продолжительность прохождения через рель совую впадину. Эти решения будут достаточно точны, если время Г2 больше периода Г3 собственных колебаний рельса.
Дифференциальное уравнение для поперечных колебаний рельса, ле жащего на упругом невесомом основании, имеет вид
|
E i- w - - f ^ + k !/ = o - |
° 2) |
|
В случае действия вертикальной периодической силы Р cos—=— пред- |
|||
|
|
|
11 |
полагаем, |
что у — У cos -=—, тогда из уравнения (12) получим |
|
|
|
*1 |
|
|
|
У = ^ - е |
а'х (cos агх + sina^), |
|
где kx = |
k (1 — p4n2/kgT\),ai = |
VkJAEI. |
|
Видно, что величина plk представляет собой прогиб упругого основания под действием собственного веса рельса, откуда kx= k (I — TllT\)y где Г3 — период основного тона колебаний рельса.
Поскольку Г не слишком мало по отношению к Т1Уто влияние массы рельса незначительно и можно применять формулы (3) и (4).
Если вдоль рельса перемещается со скоростью v вертикальная постоян
ная по величине сила, то можно записать у = |
\р (х + |
vt). Соответствующий |
|||
этому случаю прогиб определяется из уравнения |
|
||||
EI д*у |
^ |
v2p |
д2у |
ky = 0. |
(13) |
дх* |
g |
dt2 |
|
|
|
При v2plg = S приходим к уравнению изгиба стержня, лежащего на упругом основании и сжатого в продольном направлении силой S. Если
S = 2\rkEI, то получим явление, относящееся к случаю продольного изги-
* |
. / / |
4kEIg2 |
ба, которому соответствует критическая величина скорости vKp = |
у |
— |
В обычных условиях vKp изменяется от 450 до 600 м!сек и, следователь но, отношение v/vKp очень мало. Обозначив его через р, из уравнения (13) получим, что увеличение прогиба рельса вследствие перемещения силы со
скоростью v пропорционально 1/У1 — Р2.
Здесь рассматривался случай бесконечно длинного рельса. При наличии стыков рельса конечной длины динамический эффект носит сложный харак тер: будут иметь место толчки, вызывающие нарастание напряжения в рельсе и увеличение давления на шпалы.
О ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ БАЛОК ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
On |
the transverse vibrations of bars of uniform cross-section. Philosophi |
||||||
cal |
Magazine |
and Journal of Science, ser. 6, 1922, |
vol. |
43, |
January, |
N 253, |
|
p. |
125— 131. |
Перепечатка: T i m o s h e n k o |
S. |
P. |
The |
collected |
papers. |
New York — London — Toronto, McGraw-Hill |
Publishing Company, Ltd, 1953, |
||||||
|
|
p. 329—333. |
|
|
|
|
|
ВВЕДЕНИЕ
В недавно опубликованной работе 21 обсуждались поправки, которые должны быть введены в уравнение поперечных колебаний призматического стержня, т. е. в уравнение
дх4 g d * ( 1)
для того чтобы можно было учесть влияние инерции вращения и обуслов ленного сдвигом прогиба. В уравнении (1) E I — изгибная жесткость стерж ня, F — площадь поперечного сечения, a pig— плотность материала.
Было показано, что поправка на сдвиг для примера, рассмотренного автором в предыдущей работе, в четыре раза превышала поправку на инер цию вращения и что обе поправки несущественны, если длина волны по перечных колебаний велика по сравнению с размерами поперечного сечения.
В настоящей работе дается точное решение задачи для балки прямо угольного поперечного сечения, ширина которой велика или мала по сравне нию с высотой, поэтому задача является, в сущности, задачей о плоской деформации или задачей о плоском напряженном состоянии. Результаты
сравниваются с |
предыдущей работой |
автора и подтверждают полученные |
|||
в ней выводы. |
|
|
|
|
|
|
СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ |
|
|||
В случае задачи о плоской деформации (когда w постоянно) нужно ре |
|||||
шить уравнения3 |
2JLL) У2Д + рр2Д = |
0, pV2co + рр2(о = 0, |
(2) |
||
(к + |
|||||
где Д = |
|
— относительное |
объемное расширение; со = |
— |
|
-----— вращение, |
а |
V2 = (■ ^ -2 - + |
-] — оператор Лапласа; [Я, р— по |
||
стоянные Ляме: ^=2G v/(l—2v), р = G=E/[2(l |
+ v)]; G — модуль |
сдвига; |
|||
E—модуль Юнга; v—коэффициент Пуассона]. |
Совмещая ось х с направле- |
||||
1Представлено Р. Саутсвеллом.
2Т i m о s h е n к о S. Р. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. Philosophical Magazine and Journal of Science, ser. 6,
1921, vol. 41, May, N 245, p. 744— 746.
3 L о v e A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 3rd edition. Cambridge, University Press, 1920; C M . § 14 (d), стр. 204.
нием центральной оси балки и принимая для Д нечетную, а для со четную функцию у, запишем
Д = A sin ах sh ту cos pt\ 2со = В cos ах ch пу cos pt, |
(3) |
|
где А и В — неопределенные коэффициенты; |
|
|
' • = а ] / ' - ( т |
г ) ' |
(4) |
V = -------- скорость волн при поперечных колебаниях; |
V1== v X + |
2р. |
скорость волн расширения, a V2 = V pi/p — скорость волн сдвига.
Легко проверить, что соотношения (3) удовлетворяются, если принять
и = |
cos ах(М sh ту+ N sh пу) cos pt\ |
|
|
|
|
||||||||
v = |
sin ах |Af |
|
ch ту |
|
|
|
ch ш/j cos pt, |
|
|
|
|||
а условия того, что стороны стержня (у = |
± |
с) свободны от напряжений, |
|||||||||||
дают |
2р) т12— Ха2] М sh тс + |
2\ia2N sh пс = 0; |
|
|
|
||||||||
[(А, + |
|
|
|
||||||||||
|
2тпМ ch тс + (а2 + |
п2) N ch пс = 0. |
|
|
|
|
|||||||
Исключая отношение M/N, получаем частотное уравнение в форме1 |
|||||||||||||
4ра2 тп th пс = (а2 + п2) [(А, + |
2\х) т2— Ха2] th тс, |
откуда, |
обозначая |
||||||||||
через Iдлину волны и полагая |
V!VX= |
/, V/V2 = |
h, имеем |
|
|
|
|||||||
4 К (1 — /2)(1 — /г2) |
th |
|
|
1— A*J = |
(2 — A*)* th ( ^ |
- V 1 — f ) |
. (5) |
||||||
Если 1/ задано, то |
соответствующее |
значение отношения |
//2с |
может |
|||||||||
быть вычислено из этого уравнения. Некоторые результаты 2 |
приведены |
||||||||||||
ниже: |
/г |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
|
0,9165 |
0,9192 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ц2с 4,8 |
2,5 |
0,75 |
|
0,47 |
|
0,30 |
|
|
|
|
||
|
|
АНАЛИЗ СКОРОСТЕЙ |
|
|
|
|
|||||||
В случае длинных волн скорость V обратно пропорциональна |
длине /, |
||||||||||||
но когда I уменьшается, то, как видно из уравнения (5), скорость |
V дости |
||||||||||||
гает предела, который |
меньше |
V2 и может быть найден из соотношения |
|||||||||||
4 У (1 — / 2) (1 — /г)2 = |
(2 — |
/г2)2. Этот |
предел есть скорость волн Релея 3. |
||||||||||
Если положить X = |
jut, то в пределе получим |
V = 0,91941/2- |
гиперболи |
||||||||||
По мере того как длина волны / увеличивается, аргументы |
|||||||||||||
ческих функций в уравнении (5) уменьшаются и при этом можно использо вать степенные ряды. Если ограничиться тремя первыми членами, то урав нение (5) можно записать в форме
а (ас)4 + Ь (ас)2+ d = 0, |
(6) |
где |
|
а = -fg- [4( 1- /I2)3 - (2 - ft2)2 (1—f 2)2]; |
|
6 = -----g—[4 (1 — /i2)2 — (2 — /i2)2 (1 — /*)]; d. = — h*. |
(7) |
1Это частотное уравнение было найдено нами совместно с проф. П. Эренфестом. Реше ние, приведенное в работе, принадлежит автору.
2В указанных вычислениях коэффициент Пуассона v был принят равным 0,25.
3См. § 214 работы A. Love, указанной в сноске на стр. 62.
Если ас очень мало, можно получить первое приближение, пренебрегая первым членом в уравнении (6). Тогда имеем
(ас)2= — d/b. |
|
|||
Это приближение дает |
3 |
/г2 (X -f- 2ц) |
|
|
(*с)2 = |
|
|||
4 |
X+ |
Ц |
|
|
откуда |
|
и> |
+ |
м>) |
|
|
|||
и |
|
р (^ + 2ц) |
||
|
4р (А, + |
р) |
||
Р2 = а2У2 = |
|
|||
|
а4с2 Зр (А, + |
2р) |
||
Заменяя А, величиной |
|
|
|
|
и/ _ |
2Хц |
|
|
|
(8)
(9)
( 10)
( 11)
( 12)
получаем соответствующее приближенное решение для случая плоского напряженного состояния. Легко проверить, что оно эквивалентно решению уравнения (1).
Приступая к вычислению следующего приближения для случая пло ской деформации, замечаем, что величина d в уравнении (6) мала по сравне нию с а и ft, и поэтому решение этого уравнения может быть записано сле
дующим образом: |
|
'“ •’ - - т Н ' + т г - т ) - |
<|3> |
Второй член в скобках правой части есть малая поправка. При вычислении ее можно принять для d/b первое приближение (8), а в выражении для а/Ь сохранить только члены порядка h2 и f2. Тогда имеем
а |
(14) |
|
~Ь |
||
|
Первый член в правой части (13) может быть вычислен более точно. Сохра няя в выражении для b члены порядка /4 и /г4, подставляя вместо V соот ветствующее выражение первого приближения (10), имеем
d _ |
3 |
»2 XН~ 2ц |
_________ 1 |
ЗХ-|- 2JJ, |
(15) |
|
Ь “ |
4 |
Х+ ц |
I---- У (ас)а |
|||
|
||||||
|
|
|
Х-\-2ц |
|
Подставляя выражения (14) и (15) в уравнение (13) и пренебрегая малыми величинами высшего порядка, получаем
(ас)2 = -j- h2 А + |
2ц |
1 + 4 - (ас)2 |
ЗА.4- 2ц |
|
|
или |
А + |
ц |
|
X—[- 2ц |
|
|
|
|
ЗХ-|- 2ц |
(16) |
|
а4с2 |
4jLt (X + |
ц) |
|
||
3 |
(Х-\- 2|х) |
|
X-|- 2ц |
|
|
ПОПРАВКИ НА СДВИГ И ИНЕРЦИЮ ВРАЩЕНИЯ
Квадратные скобки выражения (16) содержат искомые поправки к фор муле (11). Они в основном соответствуют влиянию инерции вращения и по перечных сил и могут быть получены с достаточной точностью из уравнения
поперечных колебаний стержней, если эти уравнения дополнить так, как это было сделано в нашей предыдущей работе, где были даны поправки к ча стоте р в виде множителя1
< и >
В этом выражении Jt/L эквивалентно а, принятому в настоящей работе, a k2 = с2/3. Величина X— постоянная, связывающая поперечную силу с углом сдвига в рассматриваемом сечении. Ее величина для прямоуголь ного сечения (если использовать экспериментальные результаты Л. Файлона 2) равна 8/9. Отношение E/G для сравнения с рассматриваемой задачей о плоской деформации должно быть заменено величиной 4 (X + р)/(А, + 2р) (в системе обозначений данной работы). Тогда из (17) в принятых обозначе ниях в качестве необходимого поправочного коэффициента в выражении для квадрата частоты имеем
1— г ( “с)а(1 + 4 т й г ) *
При а = 0,25 или X = \i поправка |
к р2, определяемая выражением |
(17), |
равна |
|
|
1----- g-(01C)2, |
(18) |
|
в то время как (16) дает |
|
|
1 - - g |
(ох)\ |
(19) |
СЛУЧАИ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Хорошее совпадение результатов дает некоторую уверенность в приме нении приближенного решения нашей более ранней работы к случаю дру гих форм поперечного сечения. Возьмем, например, случай круглого сече ния 3. Точное решение может быть записано в форме
где с — радиус поперечного сечения, тогда как методы нашей более ранней работы дали бы
где |
k — постоянная |
сдвига, обозначенная ранее через X. Если положим |
|
X = |
р,; l/k = 3/4 X |
1,40 = 1,05, то поправочный |
коэффициент будет ра |
вен |
1,87я2с2//2 при использовании формулы (20) и |
1,81 л 2с2//2 по формуле |
|
(21). |
Таким образом, |
приближенная формула (17) снова позволяет полу |
|
чить весьма удовлетворительные результаты.
В данном исследовании поперечных колебаний для Д и со было принято выражение (3). Принимая для Д четную функцию у, а для со — нечетную, можно получить решение задачи о продольных колебаниях.
1 Сравни с уравнением (13) предыдущей статьи автора, указанной в сноске на стр. 62.
2 |
См. § 245 работы A. Love, указанной в сноске на стр. 62. |
3 |
P o c h h a m m e r L. Ober die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwin- |
gungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiszylinder. Zeitschrift fur die reine und angewandte Mathematik. 1876, Bd 81, Hft 4, S. 324—336.
О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ МОСТОВ 1
On the forced vibrations of bridges. Philosophical Magazine and Journal of Science, ser. 6, 1922, vol. 43, N 257, p. 1018— 1019.
В настоящее время общепринято, что главным источником динамиче ских явлений в мостах с большими пролетами является недостаточная ба лансировка ведущих колес локомотива. Законы, описывающие это явление, окончательно еще не сформулированы, так что необходимо еще много ин формации экспериментального характера 2*.
Один из методов изучения вынужденных колебаний, индуцированных таким путем, состоит в рассмотрении моста как балки постоянного попереч ного сечения со свободно опертыми концами (см. рисунок). Прогиб колеб лющейся балки может быть представлен следующим образом:
у = ц>! sm — 4- ф2 sin — -----f- ф8—J---- ь • - •, |
(1) |
где cp1? ср2, ... и т. д.— функции только t. Тогда, если EI означает изгибную жесткость балки, a w— вес на единицу ее длины, то выражения для потен циальной и кинетической энергий будут
V = |
|
£ / J I 4 |
2 [я4ф«]; |
(2) |
|
/3 |
|||
|
|
|
п=\ |
|
Т |
W Г о 1 1 |
VI |
г ‘ 2, |
|
|
|
п = 1 |
|
|
Предположим, что только одна переменная сила Р cos 2я//т движется вдоль балки с постоянной скоростью V. Соответствующее дифференциальное уравнение может быть записано в форме
wl |
Е1л4 |
/г4Фл = Р cos |
2яt |
sin |
nnvt |
|
Фп + |
2/з |
т |
~ ~ г |
( 3 ) |
1 Представлено |
Р. Саутсвеллом. |
|
2 |
F e r e d a y |
Н. J. Impact tests and allowances. Engineering, 1921, vol. 112, |
N 2897, |
p. 80. |
|
Тогда, принимая для момента / = 0, <р„ = срп = 0 и обозначая а2 = gEI/w, получаем
|
|
l2 |
|
2g Г D |
2п1г |
|
|
nnvt-, . |
п2п2а |
(/t - t j |
,, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
— /,) |
(4) |
||||||||
|
|
|
|
- - ^ J P c o s - ^ s i n —p is m |
------ k |
|
|
||||||||
и выражение (1) может быть записано следующим образом: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. / /ти |
, |
2л \ , |
. |
/ яли |
2л \ . |
|
|||
_ |
р/3 |
V |
|
ппх |
5Ш(— |
+ — |
) ' |
s,n( - i ---------г ) ' |
+ |
||||||
|
|
я4 — (Р + |
яа)2 |
|
я4 — (р — яа)2 |
||||||||||
у ~ |
л4£/ |
2d |
sin • |
|
|
||||||||||
|
|
п = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ■я2л2а/ |
|
|
я2л2а/ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ -?- |
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
I я2а2 — (я2 — Р)2 |
|
я2а2 — (я2 + |
Р)2 |
|
|
||||||||
|
|
я |
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
а = |
|
vl/an\ |
|
Р = |
2/2/лат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если период т силы совпадает с периодом тх = |
2/2/яа главной |
формы |
|||||||||||||
колебаний балки, то наступает резонанс и амплитуда вынужденных колеба ний будет увеличиваться с ростом
t. При этих |
условиях |
Р = |
1, а |
|||
в момент, |
когда |
периодическая |
||||
сила |
перестает действовать |
на |
||||
мост, |
t = |
l/v, так |
что а = тх/2 1 |
|||
обычно величина |
малая. |
(для |
||||
Тогда |
первый |
член |
||||
п = |
1) ряда |
правой |
части |
(5), |
||
являющийся наиболее значительной частью г/, может быть приведен к виду
2Р/3 |
ях |
а sin |
2л/ |
|
я4£/ |
sin т~ |
т |
|
|
и максимальное значение прогиба определяется формулой |
|
|||
|
f |
2я/3 |
|
(6) |
|
fmax — |
а л 4 Е / |
• |
|
Так как а обычно величина малая, то из формулы (6) можно сделать вывод о том, что вынужденные колебания, вызванные недостаточной балансиров кой локомотивов, могут иметь значение для практики.
Подобный метод может быть использован и в других случаях, когда необходимы более сложные выражения для описания усилий, вызывающих вибрацию, а также в случаях, когда на балку действуют переменные гори зонтальные силы.
11 декабря 1921 а.
О КРУЧЕНИИ ПРИЗМЫ, ОДНО ИЗ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ КОТОРОЙ
ОСТАЕТСЯ ПЛОСКИМ
On the torsion of a prism, one of cross-sections of which remains plane. Pro ceedings of the London Mathematical Society, 1922 [1921], vol. 20, ser. 2, pt 5,
p. 389—397. Перепечатка: T i m o s h e n k o |
S. P. The collected papers. |
New York — London — Toronto, McGraw-Hill |
Publishing Company, Ltd, 1953, |
p.314—320.
Втеории кручения стержней Сен-Венана предполагается, что крутя щий момент создается с помощью касательных сил, приложенных к кон цевым поперечным сечениям. Эти силы, как предполагается, распределены
всечениях по определенным законам.
Внекоторых случаях возникает необходимость решить задачу о кру чении призмы, одно поперечное сечение которой остается плоским, с по мощью соответствующих сил. Например, в случае, изображенном на рис. 1, вследствие симметрии срединное поперечное сечение (г = 0) должно оста ваться плоским. В подобных случаях около стесненного поперечного сече ния должна возникнуть местная нерегулярность. Ее влиянием на величину угла закручивания можно пренебречь, если линейные размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной призмы, но иногда это влияние может представить практический интерес.
Такая задача встречалась при изучении устойчивости плоской формы двутавровой балки в случае действия изгибающих нагрузок и было дано при ближенное решение этого вопроса путем установления влияния изгиба по лок, которым сопровождается кручение1. В недавно опубликованной статье
А.Фёппля2 дается другой метод для приближенного решения той же зада чи. А. Фёппль применяет такие выражения для составляющих напряжения, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и гра ничным условиям. Количество постоянных, которые входят в эти выраже ния, должно быть вычислено таким образом, чтобы обратить потенциаль ную энергию закручивания призмы в минимум.
Этим методом А. Фёппль решает задачу для случая контура эллиптиче ской формы и результаты использует для очень вытянутого эллипса с тем, чтобы установить влияние стеснения при кручении призмы узкого прямо угольного поперечного сечения.
Последняя задача может представить интерес в связи с исследованием
1T i m o s h e n k o S. Р. Einige Stabilitatsprobleme der Elastizitatstheorie. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1910, Bd 58, Hft 4, S. 337—385 (см. стр. 361). Отд. оттиск: Leipzig, В. G. Teubner, 1910, 49S.
2 F о p p 1 A. Die Beanspruchung eines Stabes von elliptische Querschnitt auf Drillen bei behinderter Querschnittswolbungen. Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bayerischen Academie der Wissenschaften zu Miinchen, 1920, Hft 2, S. 261— 273.
устойчивости плоского листа, изгибаемого в своей плоскости. По этой при чине здесь будет приведено подробное решение задачи как методом А. Фёппля, так и методом, где будут задаваться выражения для перемещений. Оказывается, что последний метод является более удобным для случая кру чения плоского листа.
Точное решение задачи Сен-Венана для случая граничного контура пря моугольной формы включает в себя применение бесконечных рядов. В даль нейшем более удобно использовать простое приближенное решение, которое
можно получить, |
используя |
мембранную анало |
|||||
гию. Уравнения |
равновесия в напряжениях бу |
||||||
дут удовлетворены, |
если взять выражения |
для |
|||||
составляющих |
напряжения в поперечном |
сече |
|||||
нии в следующем виде: |
д\|) |
|
|
||||
7 — |
|
|
Zy = |
|
( 1) |
||
ду |
|
~дГ ’ |
|
||||
|
|
|
|
||||
В случае точного решения |
функция |
напряже- |
|||||
ния ф (х, у) удовлетворяет уравнению |
|
|
|||||
d2i|i |
, |
д2\э |
2|хт = О |
|
(2) |
||
дх2 |
|
ду2 + |
|
||||
и имеет постоянное значение на границе попереч |
|||||||
ного сечения. Здесь через р обозначена жесткость |
|||||||
на кручение |
и |
через |
т — относительный |
угол |
|||
закручивания призмы. |
мембрана растягивается |
||||||
Пусть однородная |
|||||||
равномерным усилием, равным -Г, и закрепляет |
|||||||
ся по своим краям, |
контур |
которых |
совпадает |
||||
с кривой, ограничивающей |
поперечное сечение |
||||||
скручиваемой призмы. Если мембрану нагру |
|||||||
зить равномерным давлением величиной р на |
|||||||
единицу поверхности, |
то это вызовет малое пе |
||||||
ремещение z. |
|
что р/Т = 2рт, то |
уравне |
|
|
|
||
Если |
принять, |
Рис. |
1. |
|
||||
ние равновесия мембраны совпадает с |
уравне |
|
||||||
уравнением |
вида |
|||||||
нием (2), |
а форма |
поверхности мембраны выразится |
||||||
г = ф (х, |
у). Для того чтобы получить эту поверхность, используем вари |
|||||||
ационный метод. На малых вариациях перемещения |
z = ф (х, у) |
рав |
||||||
номерное растягивающее усилие Т произведет работу, равную |
|
|
||||||
|
|
|
— М Ц ( ^ ) 2+ ( 4 г ) 2] ^ - |
|
|
|
||
Соответствующая |
работа равномерного давления р |
будет |
p&^tydxdy. |
|||||
Из выражения |
р!Т = 2рт следует, что условие равновесия мембраны можно |
|||||||
представить в |
виде |
|
|
|
|
|||
|
6 {т - И [ ( т ) ’ + ( ж ) 1 |
Я |
= °- |
|
|
|||
Таким образом, решение задачи о кручении свелось к нахождению минимума интеграла
s = j j {4 - [(-4т)2+ ( 4 г ) 2] - 2^ } |
йхЛУ' |
(3) |
|
где функция ф должна быть постоянной на границе. Этот метод особенно удобен, когда отыскиваются приближенные решения. В случае прямоуголь ного поперечного сечения (рис. 1) общее выражение для функции напряже ний будет
Ч>= 2 |
2 |
Атп c o s ^ c o s ^ f . |
т=1,3,5.... л=1,3,5,... |
|
|
Коэффициенты Атп находятся из уравнения dS/dAmn= 0. Таким путем можно получить решение Сен-Венана.
В случае узкого прямоугольника1 приближенное решение можно на
йти, если |
взять за |
поверхность |
мембраны |
цилиндрическую |
поверхность |
||
вида ф = |
[хт (b2 — у2). Тогда имеем |
|
|
|
|
||
|
|
Zx = — 2\1ту, |
Zy = 0. |
|
(4) |
||
Соответствующие перемещения примут такие выражения: |
|
||||||
|
|
и = — тzy, |
v = T Z X , |
w = тzy. |
(5) |
||
Для того чтобы получить более точное решение и |
учесть поправку на влия |
||||||
ние краев х = ± а , |
можно взять (для х > |
0): |
|
|
|||
|
|
Zx = — 2|гп/(1 — ё~к |
|
|
(6) |
||
|
|
Zg = iiTk(b2- y * ) e - k{a- x) |
) |
|
|||
Величина k выбирается таким образом, чтобы она обеспечивала минималь ное значение интеграла, выраженного соотношением (3), что дает
Это решение позволяет получить для крутящего момента следующую при ближенную формулу:
а-^-Ь |
|
|
М = 4 ^ ^tydxdy = |
JLITаЬг f 1 — 0,632 |
(8) |
о—Ь |
' |
|
или для случая очень узкого прямоугольника такое выражение: |
||
М = |
и \хтаЬ3. |
(8') |
Используем эти результаты, чтобы получить приближенное решение |
||
для случая, изображенного на рис. |
1. Вследствие симметрии |
поперечное |
сечение z = 0 остается плоским, а соответствующее ему перемещение w будет равно нулю.
В соответствии с зависимостями (5) можно предположить, что напряже
ние Z2 в этом поперечном сечении выражается следующим образом: |
|
Zz = Еуте~угху, |
(9) |
где у — постоянная величина, которую следует определить. Предположим также, что
X x = Yy = 0. |
( 10) |
Тогда уравнения равновесия в напряжениях и условие того, что цилиндри ческая поверхность, ограничивающая призму, свободна от усилий, можно
1 Здесь предполагается, что а велико по сравнению с Ь.