книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

+2,752 -jjjJ-) cos 20 + (— 0,3691 - £ - +0,2261

~jr) cos 29

R

РАСЧЕТ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ИЗГИБАЕМЫХ БАЛКАХ

Berechnung der Schubspannungen in gebogenen Balken. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. 1922, Bd 2, Hft. 4, S. 160— 161.

Позволю себе высказать следующие замечания по статье П. Намелиг. При расчете касательных напряжений в изгибаемых балках мною уже давно применялся метод 12, которому аналогичен метод П. Намели. Если применить обозначения П. Намели, то касательные напряжения можно

представить следующим образом:

где / (х) — подлежащая определению функция только х. Принимая во вни­ мание условия совместности, получаем для функции напряжения F следую­ щее дифференциальное уравнение в частных производных:

где через D обозначается постоянная, которая определяется из условия, что соответствующий крутящий момент равен нулю.

Полагая поперечное сечение симметричным относительно оси у, нахо­ дим D = 0. Граничное условие тогда можно представить в следующей форме:

Особенно просто задача может быть решена в случае, если правая часть уравнения (3) при подходящем выборе функции f (х) обращается в нуль. Тогда на контуре F = const, и мы имеем задачу о равновесии равно­ мерно натянутой мембраны, закрепленной по контуру, на которую дей­ ствует распределенное давление, представляемое правой частью уравне­ ния (2).

(см. стр. 175— 189). Некоторые задачи решены также в моей статье, которая должна выйти в трудах Лондонского математического общества, T i m o s h e n k o S. A membrane ana­ logy to flexure. Proceedings of the London Mathematical Society, 1922 [1921], vol. 20, ser. pt. 5, p. 398— 400; pt 6, p. 401— 407. [Перепечатка: T i m o s h e n k o S . P. The c o l l e c t e d papers. N. Y .— Ld.— Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, 1953, p. 321— 328].

ложим

/(*) = (го+l)Cft*(l

Соответственно этому уравнение (2) примет вид

AF = - 2 C ( m + l ) . Jr ( ^ - + ^ r LT_ ) .

С помощью мембранной аналогии функцию F можно представить удов­ летворяющей уравнению деформированной поверхности мембраны, закреп­ ленной по контуру и подверженной действию нормального распределенного давления:

+ 1) (г2 — х2). Во всех этих случаях задача сводится к отысканию равно­ весной формы закрепленной по контуру мембраны, подверженной равномер­ ному давлению. Наиболее просто ее можно решить с помощью хорошо из­ вестного метода Релея-Ритца 2.

Примем F в форме F = а0 + a^ ± + а2фч + •••> где ф2, •••— функ­ ции, удовлетворяющие граничным условиям, а коэффициенты выбираются так, что интеграл

J \ [ т ! ( " Й + ( * й + F I— 2Сх + /' W + D]} Ш У

принимает максимальное значение. Таким образом, например, в случае прямоугольника заменяются сложные выражения для компонент напря­ жения Тхг и Туг простыми приближенными формулами. При этом показано, что известные таблицы Сен-Венана3 для компоненты напряжения ту2 в центре прямоугольного поперечного сечения содержат ошибку, которая при а!Ь = 4 составляет 16%.

1 G r a s h o f F . Theorie der Elasticitat und Festigkeit mit Bezugauf ihre Anwendungen in der Technik. Berlin, Verlag von Rudolph Gaertner, 1878 (zweite erweiterte, wesentlich

frequency of vibration of a system in its gravest mode, with an example from hydrodynamics. Philosophical Magazin, ser. 5, 1899, vol. 47, p. 556—572. [Перепечатка: R а у 1e i g h J. W. S. Scientific papers,vol. 4, Cambridge, University Press, 1903, p. 407— 412]. R a y l e i g h J . W. S.

gewisser Randwertaufgaben. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottin­

versaux et longitudinaux qui l’accompagnent lorsqu’elle ne s’opere pas uniformement ou en arc de cercle, et sur la forme courbe affectee alors par leurs sections transversales primitivement planes. Journal de mathematiques pures et appliquecs (Liouville), 1856, ser. 2, t. 1, p. 89— 189;

выражений представляет хорошее приближение для прогиба, то максималь­ ное отклонение f сжатого стержня при действии продольной и поперечной сил можно выразить в зависимости от максимального прогиба /0 стержня, несущего только поперечную нагрузку. Следовательно,

В случае растяжения необходимо изменить знак S и тогда для прогиба получим следующую приближенную формулу:

особого труда можно также написать соответствующую формулу для изги­ бающего момента. Тот же самый метод может быть применен в случае длин­ ной прямоугольной пластины, нагруженной равномерным давлением, а также в случае кривых стержней.

ОБ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯХ ИЗОГНУТЫХ ТРУБ

На основе некоторых испытаний колен С. Крокер и С. Сенфорд1 уста­ новили, что податливость, найденная в этих испытаниях, превышает по­ датливость, полученную теоретически. Следуя тому объяснению этого яв­ ления, которое было дано А. Бантлином 2, авторы объясняют большие про­ гибы образованием на сжатой стороне трубы волн или складок.

Ниже показано, что расхождение между результатами испытаний и практическими данными может быть устранено, если принять во внимание искажение формы поперечного сечения колена трубы при изгибе 3.

Рассмотрим элемент колена, заключенный между двумя соседними по­ перечными сечениями ас и bd (см. рисунок). Из рисунка легко видеть, что растягивающие силы Р, возникающие на внешней стороне колена, и сжимаю­ щие силы Q на внутренней стороне дают действующие силы Т, направлен­ ные в сторону нейтральной оси. В результате этого первоначально круговое поперечное сечение становится эллиптическим. Рассмотрим теперь, как будет влиять это искажение на деформацию продольных волокон колена. Пусть через 0 будет обозначен малый начальный угол между выбранными поперечными сечениями, через 60 — малое приращение этого угла за счет изгиба. Пусть внешнее волокно ab после изгиба займет положение

Vereines deutscher Ingenieure, 1911, Bd 55,N 45, S. 1889— 1895. [Перепечатка: K a r m a n T h . The collected works, vol. 1. Ld., Butterworths Scient. Publication, 1956, (p. 304—320).] Из его статьи взяты приведенные ниже формулы (5) и (6). Случай криволинейных труб прямоугольного поперечного сечения рассмотрен автором в его статье, представленной к ве­

The collected papers. N. Y .— Ld.— Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, 1953, p. 338—343).]