книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

для конструкторов и должен приниматься во внимание при вычислении допустимой нагрузки на зуб. Для того чтобы получить коэффициент концен­ трации напряжения для зубьев различных размеров, была проведена неко­

торая экспериментальная работа, в которой применялся метод фотоупру­ гости.

Этот хорошо известный метод состоит в том, что из подходящего материа­ ла — в данном случае целлулоида — изготовляется модель зубчатого коле­ са и в нем создается напряженное состояние таким образом, чтобы можно было наблюдать любое из­ менение в оптическом поведении материала. По этому изменению, сопровождающемуся цветовыми эф­ фектами, можно вычислить величи­ ну напряжения.

Модели, использовавшиеся в исследованиях автора, показаны на рис. 3, 4 и 5. Первая модель (рис. 3) была спроектирована с широко используемыми пропорциями раз­ меров. От основной окружности зубчатого колеса до окружности впадин ножка зуба содержит ради­ альный прямой участок CD и две круговые дуги, имеющие радиусы соответственно 12,7 и 2,54 см.

Вторая модель (рис. 4) была спроектирована с прямым радиаль­

ным участком CD и галтелем DE с радиусом, равным 0,952 см. Этот радиус равен одной десятой толщины зуба по начальной окружности и, в соответ­ ствии с отчетом Комитета по форме зуба Американской ассоциации промыш­ ленников зубчатых передач и приводов, считается минимально возможным галтелем.

Третья модель (рис. 5) имеет ту же схему, что и первая. Однако вместо двух дуг различных радиусов берется одна дуга DD, радиус которой при­ мерно равен 3,81 см. Число зубьев N = 13; модуль зацепления т = 59,8 мм; участок А — С проведен по эвольвенте; угол зацепления а = 20°. Остальные размеры были взяты по табл. 2, соответствующей в основном рис. 3. Эти

Т а б л и ц а 2

модели изготовлены из материала толщиной 0,635 см. Напряжения, распреде­ ленные по галтелям, находились путем проведения серий испытаний. Метод нагружения показан на рис. 6 и 7.

Любую наклонно приложенную нагрузку Р можно заменить двумя составляющими нагрузками Рг и Р2» а соответствующие напряжения можно исследовать отдельно для каждой из

для случая, показанного на рис. 6, а, мо­ гут быть легко определены путем нало­ жения напряжений, вызываемых состав­ ляющими нагрузками Рг и Р2.

Результаты, полученные для случая изгиба (рис. 6, в) и для случая распре­ деления напряжения вдоль галтели, приведены на рис. 3, 4 и 5. Ка­

сательное напряжение в произвольной точке изображается вектором, сов­ падающим по направлению с нормалью к краю, а величина напряжения изображается в определенном масштабе длиной вектора.

Для того чтобы составить базис для вычисления напряжения, в качестве единичного напряжения было взято напряжение, вычисленное для попереч­ ного сечения 1 N — N с помощью балочной формулы (1). Это единичное напря­ жение также показано на рис. 3, 4 и 5, так что коэффициент концентрации напряжения для всех трех случаев может быть легко вычислен. В результате

1 В качестве этого сечения взято сечение, перпендикулярное оси зуба и касательное к окружности, проведенной на уровне рабочей высоты ножки. Ширина зуба в этом сечении в дальнейшем обозначается через с.

Тогда для обычных размеров галтели (см. рис. 3) коэффициент (J приблизи­ тельно равен 1,0. Для случая малого радиуса (см. рис. 4) коэффициент (J будет меньше единицы, и в случае большого радиуса галтели (см. рис. 5)

званные горячей посадкой, были проведены некоторые эксперименты с моде­ лями, показанными на рис. 8.

Изменение касательного напряжения вдоль галтели, полученное из экспериментов, показано на рис. 8. Для сравнения на рисунке также по­ казано принятое за единицу напряжение, соответствующее простому растя­ жению. Коэффициент концентрации напряжения, полученный для этого случая, равен 1,45. Было также обнаружено, что влияние напряжений, вы­ зываемых давлением от горячей посадки, на максимальные напряжения, обусловленные изгибом зуба, несущественно, так что формулы (36) и (Зв) можно всегда использовать при изучении прочности зубчатых колес.

МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ КОНТАКТА

В предыдущих разделах обсуждался вопрос о напряжениях в основании зуба. Однако в применении к зубчатым колесам задача о местных напря­ жениях на поверхности контакта двух зубьев, находящихся в зацеплении,

также важна для практики, особенно тогда, когда рассматриваются случаи износа.

Допустим, что поверхность контакта зубьев является совершенной и что давление равномерно распределено вдоль линии контакта. Тогда площадка контакта будет представлять собой полосу одинаковой ширины

где Р — нагрузка на 1 см длины головки зуба; Е — модуль упругости ма* териала; г1у г2— радиусы ножки зуба в точках контакта.

мальное давление в середине поверхности контакта будет найдено по формуле

Для числового примера, рассмотренного выше, имеем

Ртах = 1,5 0>0874- = 6130 кг/см2.

При получении формулы (5) предполагалось, что две поверхности, находя­ щиеся в контакте, являются выпуклыми. Если имеет место контакт между вогнутой и выпуклой поверхностями (как в случае циклоидальных зубча­ тых колес), в формулу (5) надо подставить вместо суммы разницу между ра­ диусами гх и г2. Легко видеть, что такое условие приводит к большому зна­ чению для ширины b поверхности контакта. Поэтому в таком случае надо ожидать более низкие местные напряжения. Сжимающие напряжения в вер­ тикальном направлении (рис. 9) сопровождаются сжимающими напряжения­ ми в двух главных боковых направлениях. Если за основу в данных расчетах взять теорию максимальных касательных напряжений, то определяющим оказывается разница между максимальным и минимальным главными на­ пряжениями. На рис. 9 в виде кривой MN представлено изменение этой раз­ ницы по высоте. Из этого рисунка видно, что максимальные касательные напряжения возникают на определенной глубине, а не на самой поверх­ ности контакта. Этот факт может дать некоторое объяснение явлению Питтинга. Если принять во внимание тот факт, что максимальное касательное на­ пряжение имеет место на определенной глубине, то можно себе представить,1

1883, Bd 28, Hft 2, S. 125— 128; H e г t z H. Gesammelte Werke, Bd 1. Schriften vermischten

что трещина разрушения зарождается на некоторой глубине, постепенно развивается и, наконец, обнаруживается в виде питтинга.

( Из сказанного следует, что для различных материалов, используемых в зубчатых колесах, надо установить некоторые ограничения для сжимаю­ щих напряжений, особенно если толщина упрочненного материала ^мала^. Известно, например, что в случае азотирования, когда упрочненный слой

материала имеет толщину примерно мм, максимальное давление, как

это следует из формулы (1), не должно превышать 7030 кг/см2.

ПРОГИБЫ ЗУБЬЕВ

При исследовании этой задачи будут рассмотрены следующие три типа прогибов: 1) прогиб из-за сплющивания выступающих мест; 2) прогиб вслед­ ствие проседания поверхности контакта и 3) прогиб зуба как консольной балки.

Прогиб, обусловленный сплющиванием выступающих мест, зависит от условия поверхностной обработки. Эксперименты, проведенные с различ­ ными участками, показали, что этим типом прогиба можно прене­ бречь по сравнению с прогибом, обусловленным проседанием по­

верхности контакта.

Прогиб, вызванный проседа­ нием поверхности контакта, может быть вычислен по следующей фор­ муле 1:

коэффициент Пуассона материала; Е = 2,11 X 106 кг/см2— модуль упру­ гости; ги г2— радиусы цилиндрических поверхностей, находящихся в кон­ такте; b — ширина полосы контакта между двумя цилиндрическими по­ верхностями; Р — сжимающая сила на единицу толщины головки зуба. Для вычисления ширины полосы контакта между двумя цилиндрическими поверхностями используется формула (5). Для числового примера, рассмот­ ренного выше, по формуле (7) получим бг = 0,00132 см.

Для вычисления прогиба зуба как консольной балки рассмотрим балку

Первый член, стоящий справа в формуле (8), представляет собой прогиб, обусловленный изгибающим моментом, а второй член представляет собой1

1 См.: F 6 р р 1A. Vorlesungen iiber technische Mechanik, Bd 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Elastizitatstheorie. 4 Auflage. Leipzig, B. G. Teubner, 1907, S. 346. Эта формула была получена для расчета сжатия цилиндров. Она будет достаточно точна для рассматрива­ емого случая, поскольку проседание возникает главным образом благодаря местным дефор­ мациям.

Методом фотоупругости исследовались напргжения у основания зуба, вызванные горячей посадкой; показано, что эти напряжения незначитель­ но изменяют максимальное напряжение, вызываемое нагрузкой на зуб.

Местные напряжения на поверхности контакта двух зубьев, находящих­ ся в зацеплении, можно вычислить с помощью формулы Герца. Эти местные напряжения должны быть приняты во внимание при изучении износа зуб­ чатых колес. Показано, что наиболее неблагоприятное напряженное состоя­ ние имеет место на определенной глубине ниже поверхности контакта. Этот факт может дать некоторое объяснение явлению питтинга.

Прогиб зубьев, можно разбить на прогиб, вызванный проседанием по­ верхности контакта, и прогиб зуба как консольной балки. Первую со­ ставляющую прогиба можно вычислить по формуле (7). При вычислении второй составляющей следует использовать формулы, аналогичные формуле

(8) и зависящие от формы зуба. Прогибы, полученные таким образом, очень малы, но их следует принимать во внимание, когда рассматривается удар между зубьями, обусловленный различными неточностями в изготовлении зубьев.