книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

КРУЧЕНИЕ КОЛЕНЧАТЫХ ВАЛОВ

ВВЕДЕНИЕ

Для того чтобы можно было применять теорию динамики упругих систем к проектированию двигателей, необходимо определить крутильные свойства коленчатого вала. В настоящей статье рассматривается случай вала с одним коленом и для этого случая устанавливаются математические соотношения. В статье исследуются следующие три варианта опирания та­ кого вала: а) отсутствует защемление, что соответствует наличию достаточ­ ного зазора в подшипниках; б) полное защемление, что соответствует от­ сутствию зазоров в подшипниках; в) частичное защемление, что соответству­ ет наличию достаточного зазора в тех половинах подшипников, которые расположены ближе к щекам, и отсутствию его в остальных частях под­ шипника.

Прошло время, когда при конструировании двигателей исходили только из статических соображений. Теперь все больше внимания обращается на тот факт, что в различных типах двигателей даже приближенно не соблю­ даются статические условия. Если существуют изменения в крутящем мо­ менте и в величине силы, то, следовательно, они имеют циклический ха­ рактер и соответственно вызывают циклические изменения в характере дви­ жения и деформаций узлов. Задача уже не является более задачей статики, а относится к динамике упругих систем. .

Изменение характера движения связано с инерционными силами, по­ этому напряжения в различных узлах двигателя теперь возникают не только вследствие лишь действия приложенных сил. Очевидно, что расчеты, кото­ рые построены на рассмотрении только приложенных сил, должны привести к ошибочным результатам, вследствие чего часто возникают поломки, хотя конструктору и казалось, что был выбран достаточный запас прочности. Кроме того, циклические изменения деформирования составного коленча­ того вала вызывают, например, циклическое изменение в ориентации раз­ личных кривошипов. Поэтому балансировка узлов с возвратно-поступа­ тельным движением может быть полностью расстроена.

В поршневых двигателях циклические изменения в характере движе­ ния вызывают, главным образом, изменение скорости движения. Для того чтобы применить теорию динамики упругих систем к упомянутому типу двигателя, необходимо определить крутильные характеристики коленчатого вала. Это и является темой настоящей статьи. Статья касается только

простейших случаев и будет иметь продолжение в дальнейшем. Кроме вы­ вода различных формул, будет показано, как влияет степень защемления на свойства вала при кручении.

Ввиду большой сложности конструкции поршневых двигателей, расчет крутильных колебаний коленчатых валов невозможен без введения неко­ торых упрощающих допущений, а именно: некоторые узлы, такие, как валы, рассматриваются как упругие, а другие, такие, как маховик, якорь генера­ тора и т. п., рассматриваются как абсолютно жесткие тела. В рамках таких допущений двигатель можно свести к схеме, включающей в себя систему маховиков, установленных на валу с постоянным диаметром. Этот вал на­ зывается эквивалентным, его диаметр может быть выбран произвольно, но его длина между каждой парой маховиков должна быть такова, чтобы в слу­ чае кручения он был эквивалентен действительному валу между двумя соответствующими частями реального двигателя. Иначе говоря, данный крутящий момент М должен в обоих валах вызывать одинаковые крутиль­ ные деформации.

Длина эквивалентного вала называется приведенной длиной /0. Если обозначить через С жесткость вала на кручение, представляющую собою произведение модуля сдвига G на величину, которая характеризует сопро­ тивление кручению, то из элементарной механики можно получить для угла закручивания б прямого вала длиной I произвольного поперечного сечения (постоянного по длине) такую формулу:

Как будет показано в дальнейшем, подсчет приведенных длин экви­ валентных валов не составляет труда для прямых участков вала в реальном двигателе. Если же действительный вал является коленчатым, то ситуация значительно затрудняется, так как возникает необходимость определить угловую деформацию б при крутящем моменте М. Из-за сложности геомет­ рической формы коленчатого вала эти расчеты могут быть выполнены только приближенно. Будут сделаны различные допущения, некоторые из которых являются достаточно грубыми. Предполагается, что колено составлено из таких частей, деформации которых совершенно не зависят друг от друга. Далее необходимо сделать определенные допущения относительно природы и величины защемления в опорах. В настоящей статье будет рассмотрен только одноколенчатый вал, поэтому весьма значительное влияние сосед­ них колен игнорируется. Расчеты проведены для трех видов закрепления.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

На рис. 1 изображен одноцилиндровый двухопорный вал обычного типа. В дополнении к размерам, показанным на нем, предлагается следую­ щий перечень определений и основных обозначений, используемых в статье.

Жесткость на кручение, обычно обозначаемая через С, есть произве­

дение модуля сдвига G на величину, соответствующую сопротивлению кру­ чению, которая для кругового поперечного сечения является полярным мо­ ментом инерции поперечного сечения относительно оси кручения. Для по­ перечного сечения прямоугольной формы соответствующая величина более сложная. Обычно используемая формула является приближенной.

Аналогично изгибная жесткость есть произведение модуля Юнга на величину /, соответствующую сопротивлению поперечного сечения изгибу. Последний всегда представляет собою момент инерции поперечного сечения

относительно оси изгиба. Пусть 1) С0 = G0O= JidoG/32 — жесткость на кручение эквивалентного вала; d0—

его диаметр; /0— длина; 2) Сг =

= G01=ttd?G/32—жесткость на кру­ чение опорной шейки; 3) C2=G02=

площадь сечения щеки, лежащего в плоскости, проведенной через ось О — О перпендикулярно плоскости чертежа; 8) F3 = гс — площадь сечения щеки, лежащего в плоскости, содержащей линию р — /?, и проведенной перпен­ дикулярно плоскости чертежа. Эта величина используется при расчете де­ формаций от сдвига в плоскости, проходящей через р — р перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 1).

Аналогично тому, как это было в случае кручения вокруг оси О — О, поперечное сечение нельзя определить с достаточной точностью, поэтому произведение гс используется для нахождения напряжений в месте при­ соединения шатунных и опорных шеек к щеке.

СЛУЧАИ 1. ОТСУТСТВУЕТ ЗАЩЕМЛЕНИЕ, ЧТО СООТВЕТСТВУЕТ НАЛИЧИЮ ДОСТАТОЧНОГО ЗАЗОРА В ПОДШИПНИКАХ

На рис. 2, а показано схематичное изображение колена до деформиро­ вания крутящим моментом М, приложенным в срединных поперечных се­ чениях опорных шеек. На рис. 2, б дан вид сбоку деформированного

коленчатого вала. Кручение состоит из суммы углов закручивания участка b

Изгиб щеки вызывает угловое пе­ ремещение 64, равное углу между ка­

сательными к кривым изогнутых осей. Так как изгибающий момент равен крутящему моменту М и является постоянным, то кривая изогнутой оси щеки представляет собой окружность. Рассматривая ее как балку длиной г, имеем

СЛУЧАИ 2.

ПОЛНОЕ ЗАЩЕМЛЕНИЕ В ПОДШИПНИКАХ, ЧТО СООТВЕТСТВУЕТ ОТСУТСТВИЮ ЗАЗОРА

Деформированное колено схематично изображено на рис. 3. Защемле­ ние приводит к увеличению силы А и момента в каждой опорной шейке, изображенного вектором Мх, Силы А и моменты Мг действуют в плоскости, проходящей через ось опорных шеек перпендикулярно плоскости колена, изображенного на рис. 3, а.

Если ввести допущение о том, что деформации малы, из теоремы о вза­ имности можно получить, что в плоскости колена не будет сил. Поэтому си­ лы, действующие в плоскости колена, не могут вызвать угловых перемещений,

соответствующих крутящему моменту М, и соответственно момент М не может вызвать перемещение без того, чтобы не возникли силы, расположен­ ные в упомянутой выше плоскости.

Из условия симметрии заключаем, что срединная точка О шатунной шейки становится точкой перегиба, а если так, то в этом поперечном сече­ нии возникают только касательные напряжения. Следовательно, если убрать половину колена, как это показано на рис. 3, б, то влияние отсеченной половины на оставшуюся можно заменить одной силой. Так как оставшаяся часть находится в равновесии, то эта сила должна быть равна и противопо­ ложна по направлению силе Л, а ее точка приложения находится на рас­ стоянии k от оси х — х.

Так как система находится в равновесии, то сумма моментов должна быть равна нулю. Удовлетворяя этому требованию, подсчитаем момент от­

угла закручивания щек при кручении вокруг оси О — О (рис. 1)

(76)

2б3 =

углового перемещения, возникающего от изгиба щек. В данном случае щека представляет собой защемленную в опорной шейке консоль, на которую действует сила А, приложенная на расстоянии k. Принимая длину щеки

равной г, получаем, что угол поворота 83 между касательными к кривой изогнутой оси, проведенными на ее концах, равен

Для эквивалентного вала имеем 6 = М/0/С0. Тогда, приравнивая это вы­ ражение правой части зависимости (7г), получаем

Из изложенного выше видно, что приведенная длина колена полностью определена, если известно значение rlk. Случай А = О или k = оо должен соответствовать отсутствию защемления, и, положив k = оо в выражении (8), получим формулу (5). Следовательно, влияние защемления определяе­ тся величиной k. В частном случае, когда 2Ь = а и Сг = С2, можно непо­ средственно сравнить полное защемление со случаем отсутствия стеснения и найти, что защемление уменьшает приведенную длину в отношении 1 к ве­ личине 1 — г/2k.

Вычисление k проводится следующим образом: представим себе, что половина колена (рис. 3, б) перед деформацией была повернута вокруг оси х — х на половину угла б, определяемого по формуле (7г), а поперечное се­ чение II — II будет защемлено. При этом предположении точка О будет перемещаться перпендикулярно к первоначальной плоскости колена на расстояние гб/2. Если затем приложить силу А и момент М, то указанное перемещение должно обратиться в нуль, так как точка О, согласно указан­ ному выше, не имеет перемещения, перпендикулярного начальной плос­ кости коленчатого вала.

Далее проводится вычисление перемещений точки О, которые вызы­ ваются различными силами, и сумма их приравнивается гб/2. Этими пере­

и обусловленный изгибом шатунной шейки в плоскости, перпендикулярной начальной плоскости колена. Можно заметить, что здесь имеет место случай консоли длиной а!2, нагруженной силой А на конце.

и обусловленный поперечной силой А в шатунной шейке; здесь у — коэф­

приложенной на плече (а + h)/2 . Здесь длина щеки, подвергнутой кручению, была взята равной г. Это верно только с некоторым приближением для того случая, когда имеется значительный свободный участок щеки между ме­ стами присоединения опорной и шатунной шеек, иначе говоря, когда (dx + + d2)l2 мало по сравнению с г. Для мощных короткоходовых двигателей это допущение далеко от истины.

вследствие изгиба щеки в плоскости относительно р — р и перпендикулярно плоскости чертежа рис. 1.

обусловленное сдвигом в щеке, вызываемым поперечной силой А.

6. Перемещение в точке О, равное

Подставляя сюда выражение для б из формулы (7г) и полагая А = M/k, получаем

k =

ar r2 hr

"2С7 + *2В7" + 2C3

(10a)

Эта формула позволяет вычислить kyпосле чего, подставив это значение в выражение (8), можно найти /0. Она не совпадает с формулой, полученной Дж. Гейгером1. По этой причине, а также и для проверки полученных выше результатов вывод формул для k и I был повторен с помощью теоремы Кастильяно (см. приложение). Этот метод представляет практическую цен­ ность и в более сложных случаях, когда деформацию колена не так легко себе представить, как в предыдущем случае.

СЛУЧАИ 3. ЧАСТИЧНОЕ ЗАЩЕМЛЕНИЕ

Теперь предположим, что на той половине длины опорной шейки, ко­ торая примыкает к щеке, в подшипнике имеется достаточный зазор, а на другой половине этот зазор полностью отсутствует. В такой ситуации будем иметь как изгиб, так и кручение в тех частях опорной шейки, которые

В следующей статье предполагается обсудить случай двух- и трехцилиндровых двух­ опорных многоколенчатых валов и влияние зазоров в подшипниках.