книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

имеет значение существенно большее, чем это следует из формулы авторов. При вычислении максимальных напряжений по расчетным кривым необ­ ходимо учесть тот факт, что из-за увеличения податливости силы и изгибаю­ щие моменты уменьшаются в отношении k 1. Поэтому действительные значения максимального напряжения получаются путем умножения вели­ чин, полученных из расчетных кривых, на ky. Для труб диаметром 25,4 и 15,24 см, рассмотренных выше, соответственно получаем ky = 0,607 и ky = 0,658, т. е. действительное значение максимального напряжения при­ мерно на 40 и 35% меньше, чем это получается по расчетным кривым.

ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ МНОГОКОЛЕНЧАТЫХ ВАЛОВ НА МНОГИХ ОПОРАХ

The bending and torsion of multy - throw crankshafts on many supports. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers (Atlanta meeting; New York meeting, December, 3— 6, 1923), 1923, vol. 45, Paper N 1907, p. 449— 469. Discussion; p. 469— 470. Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The col­ lected papers. New York — London — Toronto, McGraw-Hill Publishing Com­

pany, Ltd, 1953, p. 344—362.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей статье автор рассматривает изгиб и кручение многоколен­ чатых валов на многих опорах. Для упрощения задачи сделаны следующие допущения: 1) коленчатый вал шарнирно оперт по срединным сечениям опорных шеек; 2) каждое колено рассматривается как стержень, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. На основе допу­ щений получена система уравнений для определения изгибающих моментов в опорах. Подробно рассматривается применение этих уравнений для слу­ чая кручения и изгиба трехколенного вала, расположенного на четырех опорах, и получена эпюра изгибающих моментов для числовых расчетов.

В работе «Кручение коленчатых валов»1, которую автор представил в 1922 г. на ежегодном съезде Американского общества инженеров-механи- ков, рассматривался вал с одним коленом и, следовательно, весьма суще­ ственным влиянием соседних кривошипов на колено пренебрегалось. В на­ стоящей статье приводятся уравнения для кручения и изгиба многоколен­ чатых валов, расположенных на многих опорах. При применении этих уравнений к случаю кручения трехколенного вала найдено, что влияние защемления на приведенную длину первого и третьего колен мало (при­ близительно 3%). То же влияние на второе колено составляет почти поло­ вину значения, полученного в предыдущей статье, где принималось допу­ щение о защемлении в срединных сечениях опорных шеек. Кроме того, рассматривается изгиб трехколенного вала, при этом даны эпюры изгибаю­ щих моментов для числовых расчетов.

Для упрощения задачи принимаются допущения: а) коленчатый вал свободно оперт в срединных сечениях опорных шеек и б) каждое колено рассматривается как стержень mnpqst (рис. 1), размеры поперечного се­ чения которого малы по сравнению с длинами г, е и /. Будет показано, что расчеты, сделанные на основе последних допущений, хорошо соответ­ ствуют результатам, полученным автором в предыдущей статье на основе

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Определения, используемые здесь, те же, что и в предыдущей статье автора. Размеры указаны на рис. 1. Основные обозначения следующие: С — жесткость на кручение; В — изгибная жесткость; G— модуль сдвига;

колена.

Изгиб и кручение многоколенчатого вала рассчитывались как и в слу­ чае неразрезной балки. Сначала анализируются деформации единичного колена при действии различных сил и моментов. Затем определяются из­ гибающие моменты в опорах путем использования условия неразрывности упругой линии. Оси координат для каждого колена выбираются, как это показано на рис. 2. Плоскость х — у всегда совпадает с плоскостью колена,

аось г направлена таким образом, что при вращении правого винта от оси у

коси z происходит движение в положительном направлении оси л*.

Рассматриваются следующие внешние силы, действующие на колено: а) сила в месте соединения шатуна с шатунной шейкой вала, она, действуя в плоскости, перпендикулярной оси х, раскладывается на две составляющие Р и S, параллельные, соответственно, осям у и z (см. рис. 2); б) центробеж­ ные силы от щеки и шатунной шейки; они изображены двумя равными силами Q, параллельными оси у (рис. 2); в) действие со стороны соседних колен в срединном сечении опорной шейки, это действие представляется сдвигающей силой и моментом, который обычно раскладывается на три со­ ставляющие, а именно: т — изгибающий момент в плоскости колена, М — изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной плоскости колена, Т — крутящий момент.

Влияние этих различных систем сил будет анализироваться порознь, а их суммарный эффект получится методом наложения.

ИЗГИБ В ПЛОСКОСТИ КОЛЕНА

В соответствии с рис. 3, а рассмотрим изгиб колена, который вызы­ вается силами Р, Q и моментом т , действующим около левой опоры в пло­ скости ху. Отношение между положительным направлением момента пг и положительным направлением оси г то же самое, что и отношение между

Поворот концов их сечений, вызванный изгибом щек и кручением ша­ тунной шейки, можно найти согласно рис. 5, а, где показана соответствую­ щая деформация коленчатого вала. Видно, что каждый из углов равен d/(2e + /), где d — перемещение, показанное на рис. 5, б. Это перемещение состоит из удвоенного прогиба щеки и перемещения, обусловленного кру­ чением шатунной шейки. Прогиб щеки, рассматриваемой как консоль, равен Mr3/(2e + f) 3В2. Перемещение вследствие кручения получается умножением угла закручивания на длину г и равняется Mr2fl(2e + f) Сг. Таким образом, имеем

Суммарные углы поворота равны сумме выражений (I), (II) и (III):

Имеются еще углы поворота концевых поперечных сечений относитель­ но оси, параллельной оси у, вызываемые силами и моментами, изображен­ ными на рис. 4, а. Что касается поворота относительно оси z, вызываемого этими силами, то соответствующий вывод можно сделать сразу из сравнения со случаями, представленными на рис. 3 и 4, и используя хорошо известную тео­ рему взаимности. Легко видеть, что силы, изображенные на рис. 3, т. е. дей­ ствующие в плоскости ху колена, вызывают перемещения только в плоскости ху. Тогда по принципу взаимности силы, действующие в плоскости xz, не будут вызывать перемещений в плоскости ху и, следовательно, не возник­ нут повороты от этих сил относительно оси z. Повороты относительно оси ху вызываемые силами, изображенными на рис. 4, а, будут рассматривать­ ся ниже.

КРУЧЕНИЕ СВОБОДНО ОПЕРТОГО КОЛЕНА

На рис. 6 представлена схема колена, скручиваемого моментами Т, приложенными в срединных сечениях опорных шеек. Как и прежде, штриховые линии изображают деформированный коленчатый вал. Сум­

углу между касательными к кривой изогнутой оси, проведенными на ее концах. Изгибающий момент равен крутящему моменту Т. Так как момент в каждом поперечном сечении постоянен, то кривая изогнутой оси щеки будет представлять собой окружность. Если рассмотрим ее как балку длиной г, то найдем б3 = Тг1В2. Суммарное относительное угловое переме­ щение б, измеренное в срединных сечениях опорных шеек, будет иметь вид

Моменты Т вызывают не только кручение б, но и поворот ф концевых поперечных сечений относительно осей у я у'. Этот поворот, возникающий от изгиба щек и кручения шатунной шейки (рис. 6, б), подсчитывается со­ гласно выражению (III). Тогда ty=d/(2e + f)• Изгиб щеки вызывает прогиб, равный у = Тг212В2, тогда перемещение, обусловленное кручением шатун­ ной шейки, равно уг = б2r = Tfr/C^ В этом случае

Теперь можно легко найти закручивание колена, вызываемое силами, изображенными на рис. 4, а. Обозначая угол закручивания через б0 и при­ меняя теорему взаимности к случаям, изображенным на рис. 4, а и 6, а, находим Мф = Тб0 или, используя формулы (13) и (14), получаем

Это закручивание происходит в направлении крутящего момента Т (рис. 6, а). Когда имеются два изгибающих момента Мх и М2 по одному на каждой

опоре, соответствующий угол закручивания получается аналогичным спо­ собом и равен

Если в случае, изображенном на рис. 4, а, М приравнять нулю, а на рис. 6, а момент Т + (Sr/2) заменить на Т, то комбинация этих двух случаев ласт картину, изображенную на рис. 7. Для дальнейшего исследования