книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

При конструировании балок без боковых опор на практике инженеры используют различные приближенные формулы*1, которые получены упро­ щенным путем на основании рассмотрения устойчивости верхней сжатой полки балки. В результате найденное таким образом допускаемое напряже­ ние зависит только от отношения длины пролета к ширине полки балки. Более точное решение2 показывает, что устойчивость зависит также от от­ ношения длины пролета к высоте балки и от расположения нагрузок как на верхней, так и на нижней полках. Повышение точки приложения нагрузки всегда связано с уменьшением устойчивости двутавровой балки и требуется соответственное понижение допускаемого напряжения.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Значение нагрузки, при которой плоская форма изгиба двутавровой балки становится неустойчивой и происходит выпучивание в боковом на­

относительно оси, проходящей через центр тяжести в плоскости стенки;

полке; ркр — критическое напряжение для нагрузки, приложенной к ниж­ ней полке.

Используются также следующие обозначения:

ЭЛЕМЕНТЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ

Во всех рассматриваемых случаях критическая нагрузка может быть представлена формулой (см. приложение 1)

N 14, p. 648-649.

2Т и м о ш е н к о С. П. Об устойчивости упругих систем. Применение новой методы

кисследованию устойчивости некоторых мостовых конструкций. Изв. Киевского политех­ нического института, 1910, год 10, Отдел инженерной механики, кн. 4, стр. 375— 560. Отд.

оттиск, Киев, тип. С. В. Кульженко, 1910, 188 стр. То же, 1911. [Перепечатка: Т и м о ш е н ­ к о С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., Физматгиз, 1971, стр. 208 — 383]. См. французский перевод этой статьи: Sur la stabilite des systemes elastiques. Applica­ tion d une nouvelle methode a la recherche de la stabilite de certaines parties constitutives des ponts. Annales des ponts et chaussees, 9 series, 1913, t. 15, vol. 3, N 24, p. 496—566; t. 16, vol. 4, N 39, p. 73— 132; t. 17, vol. 5, N 50, p. 372—412; P., A. Dumas. 1914, 174р. [Перепечатка: T i m о s h e n k о S. P. The collected papers. McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, N. Y .— Ld. — Toronto, 1953, p. 92—224].

в которой k — числовой коэффициент, зависящий от величины параметра а, определяемого формулой (1), распределения нагрузки и от способа за­ крепления концов балки.

Величина В2может быть легко вычислена для поперечного сечения бал­ ки. Например, в случае поперечного сечения, показанного на рис. 1, можно

в которой G обозначает модуль сдвига2. Эта формула получена в предположении, что жесткость на кручение поперечного сечения в виде двутавра (см. рис. 1) приблизительно равна сумме жесткостей на кручение двух узких прямо­ угольников 6 х 6 и узкого прямоугольника

Рис. 1.

6Х х h. Крутильную жесткость узкого прямоугольника можно брать равной

663G/3.

Для поперечных сечений более сложной формы С можно вычислять с использованием приближенного соотношения Сен-Венана

40/р G ’

вкотором F — площадь поперечного сечения, а 1Р— полярный момент инерции поперечного сечения, т. е. / р = (Вх + В2)1Е.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Сначала рассмотрим балку, свободно опертую по концам и несущую нагрузку, равномерно распределенную вдоль оси. Здесь фраза «свободно опертая» означает, что концы балки могут свободно поворачиваться вокруг осей у, z (см. рис. 4), а вокруг оси х поворот запрещен.

Если нагрузка превосходит определенный предел, то плоская форма изгиба двутавровой балки становится неустойчивой и происходит выпучи­

1 При этом считается очень малым и членом (h — 26) 6^/12 пренебрегают. 2 В расчетах G принимается равным 0,4 Е.

вание балки в боковом направлении. Форма потери устойчивости балки такая, как показана на рис. 4, а отклонение средней линии такое, как на

рис. 2, а.

Необходимо отметить, что вследствие данного типа закрепления концов потеря устойчивости плоской формы изгиба балки сопровождается круче­ нием. Этим объясняется тот факт, что устойчивость балки зависит не только от жесткости В2в боковом направлении, но также от крутильной жесткости

С, как следует из формулы (3).

Критическое значение нагрузки можно определить, если известна ве­ личина коэффициентов k в формуле (3). Этот коэффициент может быть вы­

Третий столбец в табл. 1 дает значения ркр, вычисленные из уравнения

(6) в предположении, что р = 0,0001 и Е = 2,1 10® кг/см2. Из табл. 1 мо­ гут быть легко получены критические напряжения для балки с любыми другими значениями р и Ег. Как видно из формулы (6), для этого необхо­ димо только умножить соответствующее число в табл. 1 на 104*рЕх/Е. Ис­ пользование этого метода будет проиллюстрировано на числовых примерах.

ПРИМЕРЫ

а === 3,24, а из уравнения (2) Р = 205 10~6. Из табл. 1 интерполированием для а = 3,24 найдем Р кр = 895 кг/см1. Это есть критическое напряжение для Р = 0,0001. Критические

напряжения в рассматриваемом примере будут 895 X Р X 104 = 1830 кг\см12. Нагруз­ ка, соответствующая этим напряжениям, должна рассматриваться как предельная для балки.

Из этого числового результата следует, что потеря устойчивости плоской формы изгиба происходит при напряжениях, намного меньших, чем предельные напряжения для материа­ ла при чистом сжатии, и даже меньших, чем предел упругости. Этот факт должен приниматься во внимание и допускаемые напряжения соответственно должны быть понижены. Предпо­ ложим, например, что коэффициент безопасности равен 3, тогда допускаемые напряжения будут равны 1830/3 = 610 кг!см2.

При вычислении крутильной жесткости формула (4) дает С = 169G. Тогда а = 3,80. Из табл. 1 следует ркр = 943 кг!см2.

Поэтому критические напряжения в этом случае будут 943 Р • 104 = 1928 кг!см2, они примерно на 5,5% выше напряжений, полученных ранее. Необходимо отметить, что зна­

чительная ошибка при определении величины С имеет сравнительно небольшое влияние на критические напряжения. Следовательно, в расчетах с достаточной степенью точности мо­ гут быть использованы приближенные формулы (4), (5а) и (5Ь).

Далее определим величину критических напряжений, применяя приближенный ме­ тод расчета к верхнему сжатому поясу балки, рассматриваемому как стержень. Из-за того факта, что сжимающая сила в полке пропорциональна изгибающему моменту и следует параболическому закону, в формулу для критической силы стержня вместо длины 21 необ­

2 Pocket Campanion, Carnegie Steel Co., Pittsburg (1920), p. 274.

в середине трети пролета могут быть использованы табл. 6—8. Если сосредо­ точенные силы распределены по всему пролету, то должны использоваться табл. 1—5. После расчета критических напряжений необходимо соответству­ ющим образом уменьшить допускаемые напряжения.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВЫВОД ОБЩИХ ФОРМУЛ

Метод, используемый для получения общей формулы, определяющей критическую на­ грузку QKp = k Y В2С/(21)2> будет проиллюстрирован на простом примере. Предположим,

что полоса АВ рис. 4, а, имеющая узкое прямоугольное поперечное сечение, изгибается вертикальной сосредоточенной силой Р, действующей в вертикальной плоскости симметрии, проходящей через ось полосы. Если эта сила мала, то смещения балки будут находиться в той же самой вертикальной плоскости и устойчивой будет только эта плоская форма изгиба,

Рис. 4.

т. е. если случайная сила приведет к боковым отклонениям, то такие отклонения будут ис­ чезать при удалении боковой силы, перпендикулярной плоскости изгиба, и полоса возвра­ тится к плоской форме изгиба.

С увеличением Р эта сила достигает предельного значения, при котором плоская форма изгиба становится неустойчивой. Затем полоса выпучивается из плоскости изгиба и при этом могут возникнуть большие боковые прогибы, перпендикулярные плоскости изгиба, без дальнейшего увеличения силы Р. Это предельное значение нагрузки называется крити­ ческой нагрузкой. Для ее определения предлагается метод, основанный на рассмотрении потенциальной энергии системы. Любое боковое смещение полосы сопровождается увели­ чением потенциальной энергии деформации. К потенциальной энергии изгиба в плоскости полосы1 необходимо присоединить потенциальную энергию изгиба в плоскости, перпенди­ кулярной плоскости полосы, и потенциальную энергию кручения, обе эти энергии являются функциями бокового прогиба. В то же время сила Р совершает некоторую работу, так как потеря устойчивости плоской формы изгиба сопровождается увеличением прогиба в направ­ лении действия силы. Пусть Т обозначает эту дополнительную работу силы Р, a Vx и V2 — соответственно потенциальные энергии, обусловленные изгибом и кручением в плоскости, перпендикулярной плоскости полосы.

Если Уг + V2 > Т, то боковое смещение сопровождается увеличением потенциальной энергии системы, т. е. только плоская форма изгиба, является устойчивой. Если Vx + V2 < < Туто плоская форма изгиба неустойчива. Критическое значение силы будет определяться уравнением

1 Когда упругая жесткость Вг больше В2, то можно предположить, что потенциальная энергия изгиба в плоскости стенки остается при выпучивании неизменной.

Из рис. 4 можно найти, что изгибающий момент около оси Z\равен 1/2Рхф, где ф обо­ значает небольшой переменный угол кручения (рис. 4, в). Дифференциальное уравнение для бокового прогиба имеет вид

Если ф есть известная функция х, то боковое смещение полосы может быть получено из уравнения (8). Соответствующее выражение для потенциальной энергии будет

Потенциальная энергия кручения будет определяться выражением

о

Рассмотрим далее смещение нагрузки Р, обусловленное потерей устойчивости пло­ ской формы изгиба. Сначала выделим из полосы на рис. 4, б два симметрично расположен­ ных элемента 6х и рассмотрим изгиб в плоскости ху только этих двух элементов. Углы, соот­

клоненной к горизонтали под углом ф, то он вызывает смещение силы Р, равное хц>6xd2y/dx2. Принимая во внимание изгиб всех элементов выпученной полосы, найдем дополнительное смещение в направлении силы Р:

о

или, используя уравнение (8), получаем

I

f = ~ M r jx2<f4x-

Соответствующая работа силы Р будет определяться выражением

L

Подставив выражения (9) — (11) в уравнение (7), найдем

i

^ Х*Ц)2с1х

о

Подставляя в соотношение (12) вместо ф подходящим образом выбранную функцию

х, удовлетворяющую концевым условиям, можно вычислить приближенное значение кри­ тической силы.

1 Если угол <р предполагается малым, то кривизна в плоскости ху может быть взята равной кривизне в плоскости хух.