202 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
1S2 трубки тока, остается постоянным. Таким образом, разность значений постоянных С\ и С2 определяет расход жидкости в данной трубке тока.
Из условий Коши-Римана и формул (7.33) следует, что ком поненты скорости могут быть выражены через частные произ водные от функции тока:
|
_ |
ди _ |
dv |
_ |
ди _ |
_ d v |
(7.35) |
|
VT |
дх |
ду ’ |
Vy |
ду |
д х' |
|
|
Как было отмечено в гл. 1, комплексное число w = vx + ivy можно интерпретировать как плоский вектор с компонентами vx и vy. Имеет место очевидное соотношение
|
ди |
ди _ |
.dv |
(7.36) |
|
ду |
дх |
1 дх |
|
|
которое связывает вектор скорости и производную от комплекс ного потенциала течения.
В гидродинамике существенную роль играют понятия цир куляции и потока вектора скорости. Дадим выражение этих ве личин через комплексный потенциал течения.
Рассмотрим кусочно-гладкую плоскую кривую С (разомкну тую или замкнутую) и введем на ней векторы дифференциалов дуги ds и нормали dn с помощью соотношений
ds = idx+jdy, |
(7.37) |
dn = i dy —j dx. |
(7.38) |
Имеет место очевидное соотношение nds = |
dn, где n — единич |
ная нормаль к кривой С, a ds - дифференциал длины дуги этой кривой.
При положительном обходе замкнутой кривой С формула (7.38) дает направление внешней нормали.
Потоком вектора скорости v через кривую С (разомкнутую или замкнутую) называется криволинейный интеграл от нор
мальной составляющей скорости |
|
Nc = f (v • n) ds. |
(7.39) |
c
Очевидно, этот интеграл определяет количество жидкости, про текающей через кривую С за единицу времени. Интеграл (7.39) запишем в виде
Nc=Jvdtl |
= Jv x d y -v yd x = J ^ d y - ^ d x = j | d x + | | d y . |
c |
c |
c |
c |
(7.40) При определении подъемной силы, действующей со сторо ны потока жидкости на обтекаемое им тело, большое значение имеет степень завихренности потока, которая характеризуется значением циркуляции. Циркуляцией вектора скорости вдоль
§2 |
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ |
203 |
кривой С называется криволинейный интеграл от касательной составляющей вектора скорости:
Выражая скорость v через комплексный потенциал, получим
Г ° —J v d s = J \ xdx+Vydy = J ° g d x + ^ d y = J ^ d x - ^ d y .
Рассмотрим на комплексной плоскости интеграл вдоль кривой С от производной комплексного потенциала:
/ |
/ ' ( г ) й г = / |
f z d x - T x dy + i j lTxdX + f x dy- |
( 7 4 3 ) |
С |
С |
С |
|
Сравнение (7.40), (7.42) и (7.43) приводит к формуле |
|
f j'{z) dz = Vc + iNc ■ |
(7.44) |
С |
|
Эта формула, дающая выражение циркуляции и потока вектора скорости через производную комплексного потенциала, находит многочисленные применения в гидродинамике. Заметим, что ес ли область Q, в которой рассматривается движение, является односвязной, то интеграл (7.44) по любой замкнутой кривой С, целиком лежащей в Q, равен нулю в силу теоремы Коши. В слу чае движения в многосвязной области Qинтеграл по замкнутой кривой С, целиком лежащей в Q, может быть отличен от ну ля. Это будет иметь место, когда внутри кривой С содержится область Q\ не принадлежащая Q, в которой находятся источни ки и вихревые точки рассматриваемого течения. В этой обла сти, очевидно, нарушаются уравнения (7.30) и (7.31). В частном случае область Qf может состоять из отдельных точек, которые при этом являются изолированными особыми точками аналити ческой функции f(z) — комплексного потенциала течения.
Итак, всякое плоское потенциальное течение в области, в которой отсутствуют источники и вихревые точки, может быть описано с помощью комплексного потенциала, являюще гося аналитической функцией комплексной переменной. Тем са мым для изучения данного класса течений может быть исполь зован весь аппарат теории аналитических функций.
Р а с с м о т р и м р я д п р и м е р о в п р о с т е й ш и х т е ч е н и й , о п и с ы в а е м ы х э л е м е н т а р н ы м и ф у н к ц и я м и к о м п л е к с н о й п е р е ме н н о й ,
а) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид |
|
/(г) = az, |
(7.45) |
204 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
где а = а\ + iai — заданное комплексное число. Тогда и(х, у) = CL\X —022/» V (T , У) = а2® + О!?/
и линии тока v(x, у) = С представляют собой прямые, угол на клона которых к оси х определяется выражением tg a = —— . Формула (7.36) дает
w = vx + ivy = f'(z) = а = oi — m2, |
(7.46) |
откуда следует, что скорость течения постоянна и направление вектора скорости совпадает с прямыми v(x, у) = С. Итак функ
ция (7.45) определяет плоскопараллельное течение. |
|
б) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид |
|
f(z) = aIn z, |
(7.47) |
где а —действительное число. Тогда, перейдя к показательной форме записи z = гег(р, получим выражение потенциала и функ ции тока в полярных координатах:
и(г, (р) = a Inг, и(г, (р) = aip.
Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, вы ходящие из начала координат, а эквипотенциальные линии — окружности с центром в начале координат. Абсолютная величи на скорости при этом равна
а вектор скорости направлен по лучу (р= const. Из (7.48) следу ет, что в начале координат скорость обращается в бесконечность. Точка z = 0, особая точка функции f(z), в этом случае является источником течения (положительным источником при а > 0, ко гда скорость направлена от начала координат, и отрицательным источником или стоком при а < 0, когда скорость направлена к началу координат). Взяв произвольный замкнутый контур (7, содержащий точку z —0 внутри, по формуле (7.44) получим
J f(z )dz = |
J -dz = i- 2тa = Tc 4-iNc- |
c |
c z |
Отсюда Nc —27га. Тем самым в рассматриваемом случае поток жидкости через любой замкнутый контур, содержащий внутри источник, постоянен и равен 27га. Эту величину называют мощ ностью источника.
в) Пусть комплексный потенциал имеет вид |
|
/ ( z ) = m l n z , |
(7.49) |
где а- действительное число. В этом случае линии тока предста вляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Из формулы (7.44), так же как и в предыдущем слу чае, получим Nc = 0, Го = —27Га. Точка z = 0 в этом случае называется вихревой точкой течения.
§2 |
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ |
205 |
|
г) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид |
|
|
f(z) = a In (z + h) —a\n(z — h), |
(7.50) |
где а - положительное действительное число, a h - некоторая комплексная постоянная. Согласно предыдущему этот потенци ал определяет течение с положительным источником в точке z = —h и стоком в точке z = +h, причем мощность источника и стока одинакова и равна 2яа. Перепишем (7.50) в виде
f(z) = а • 2 hb(z + h)-b(z-h) £fl
и перейдем к пределу при h -> 0, полагая, что мощность источ ника и стока при этом возрастает так, что величина т = а • 2 h остается постоянной. В результате получаем
Л М =
Функция (7.51) представляет собой комплексный потенциал ди поля мощности т , находящегося в начале координат. Линии то ка диполя, очевидно, определяются уравнениями
т у |
_ Q |
|
х2 + у 2 |
|
|
или |
|
|
С(х2 + у2) + |
ту = 0, |
(7.52) |
т. е. представляют собой окружности с центрами на оси у, касаю щиеся оси х в начале координат. При этом абсолютная величина скорости, равная
стремится к нулю на бесконечности.
д) Рассмотрим течение, комплексный потенциал которого
имеет вид |
|
/(*) = vooz + р |
(7.54) |
где Vo© и т — положительные действительные числа. Очевид но, это течение представляет собой суперпозицию плоскопарал лельного течения со скоростью, параллельной оси х и равной v,*,, и течения, создаваемого диполем мощности т , находящимся в начале координат. Линии тока этого течения определяются уравнениями
v°°y - 7 * 7 7 ? = С- |
(7.55) |
Значению С = 0 соответствует линия тока, уравнение которой имеет вид
у(v- - Sif?) = 0.
Она распадается на прямую у = 0 и окружность х2 + у2 = а2,
206 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
где а2 = |
— . Так как |
2 |
|
|
V°o |
|
|
/'(г) = ▼ » - = = voo ( l - |
, |
(7.56) |
то на бесконечности скорость течения равна VQO и направлена вдоль оси х. В точках окружности х2 + у 2 —а2, являющейся ли нией тока, скорость направлена по касательной к этой окружно сти. Для абсолютной величины скорости в точках окружности z —aettpиз формул (7.36) и (7.56) получим
M |w=0 = |77М 1|и=а = Voo|l - e2vp\= 2Voo| sin И- |
(7-57) |
В рассмотренных примерах мы по заданному комплексно му потенциалу определяли гидродинамические характеристики течения. Перейдем теперь к решению в определенном смысле обратной задачи, задачи об определении комплексного потен циала течения по его гидродинамическим характеристикам.
Заметим, что поскольку физическая скорость течения выража ется через производную комплексного потенциала (см. форму лу (7.36)), то сам комплексный потенциал для заданного тече ния определяется неоднозначно. Однако его производная явля ется однозначной аналитической функцией. Это означает, что в окрестности любой правильной точки течения имеет место раз ложение
|
ОО |
|
f'(z) = ^ 2 an {z - zo)n, |
(7.58) |
|
71= 1 |
|
а в окрестности изолированной особой точки — разложение |
|
ОО |
|
f ( z) = |
bn(z ~ *°)п* |
(7 -59) |
|
71= — ОО |
|
Из (7.59) для комплексного потенциала в окрестности особой точки zo получим разложение
|
ОО |
|
f{z) = & _ i l n ( z - 2 0) + |
Cn(z-zQ)n. |
(7.60) |
71= — ОО
В частности, если бесконечно удаленная точка ZQQпринадлежит области течения и комплексная скорость
гУоо = W o o + i(vy)оо
течения в этой точке ограничена, то разложение комплексного
потенциала в окрестности точки Z o o имеет вид
оо
f(z) = W o o Z + b-i\nz + y ] |
(7.61) |
§2 |
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ |
207 |
Отсюда получаем |
|
|
f f'(z)dz = 2mb-u |
(7.62) |
Сд
где CR — окружность \z\ = R достаточно большого радиуса R, вне которой нет особых точек функции f(z)} за исключением точки Zoo. С другой стороны, в силу формулы (7.44) интеграл (7.62) определяет поток и циркуляцию вектора скорости через кривую CR . Так как скорость в точке ZQQ ограничена, то эта точка не является источником, поэтому поток вектора скорости через кривую CR равен нулю, и формула (7.62) дает
2тгг'6_1 = Гоо.
Выпишем окончательное разложение комплексного потенциала в окрестности бесконечно удаленной точки, являющейся пра вильной точкой течения:
СЮ |
|
/(г) = ®o o Z + ^ l n z + ^ ^ . |
(7.63) |
71=0 |
|
Рассмотрим теперь задачу обтекания замкнутого контура плоскопараллельным потоком. Пусть поток, имеющий на бес конечности заданную скорость Woo и циркуляцию Гоо, обтекает тело 5 , ограниченное замкнутым контуром С. Требуется опре делить скорость в любой точке потока по заданным гидродина мическим характеристикам на бесконечности при условии, что в точках контура С скорость течения направлена по касательной к контуру С. Последнее условие означает, что кривая С предста вляет собой линию тока рассматриваемого течения, т.е. мнимая часть комплексного потенциала, описывающего данное течение, должна сохранять постоянное значение на кривой С
Задача сводится к определению вне контура С на комплексной плоскости аналитической функции /(-г), в разложении (7.63) ко торой заданы значения Woo и Гоо, а на контуре С выполняет ся условие (7.64). Так как комплексный потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого, то значение постоянной в условии (7.64) можно положить равным нулю.
Начнем с задачи обтекания кругового цилиндра радиуса R с центром в начале координат. Пусть скорость потока на бесконеч ности равна VQO и направлена параллельно оси х, а циркуляция отсутствует, Г ^ = 0. Мы должны найти комплексный потенци ал, разложение которого в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид
|
ОО |
|
f(z) = VooZ + |
£ |
(7.65) |
208 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
и мнимая часть которого обращается в нуль при \z\ = R. Комп лексный потенциал такого типа был нами уже рассмотрен выше в примере д). Поэтому решение данной задачи имеет вид
/ M = V o o ( * + — ) • |
(7.66) |
При этом скорость в точках, лежащих на обтекаемом цилиндре, определяется формулой (7.57), откуда следует, что она обраща ется в нуль в двух критических точках: в точке z = —JR, в ко торой линия тока у = 0 разветвляется на две линии тока, сов падающие с верхней и нижней полуокружностями \z\ = Л, и в точке z = R, в которой эти линии тока сходятся опять в прямую у = 0. Эти точки называются точкой разветвления и точкой схо да соответственно. Заметим, что если скорость потока на беско
нечности не параллельна оси х, а имеет вид |
—Vooelv?0, то с |
помощью преобразования £ = ze~ltp° мы приходим к уже рас смотренной задаче на плоскости (. Тогда для решения исходной задачи получим выражение
f(z) = Wooz + ^°°Д . |
(7.67) |
Z |
|
Пусть теперь циркуляция Гоо не равна нулю. Как мы виде ли выше (см. пример в) ), линии тока у течения с комплексным потенциалом ia In z (а — действительное число) представляют собой концентрические окружности с центром в начале коор динат. Поэтому комплексный потенциал течения, обтекающего круговой цилиндр радиуса R с заданной скоростью на бесконеч- НОСТИ V QO и заданной циркуляцией Г ^ , имеет вид
/ ( * ) = * » ( * + ? ) + § * In*. |
(7.68) |
Найдем критические точки течения, в которых скорость течения обращается в нуль. Согласно формуле (7.36) имеем
" = Я * ) = * » ( 1 - £ ) + |
б £ |
= о . |
Отсюда |
|
|
22 + „ Г “ Z - R 2 = |
0 |
(7.69) |
2mvoo |
|
|
и |
|
|
R Гоо
При ^
47TVOO
Поэтому
|
~ |
— 1 Г °° |
4- . / » 2 ____ Г ~ |
(7.70) |
|
Кр |
47TVOO |
V |
167T2V§Q " |
|
|
подкоренное выражение в (7.70) положительно.
|
R2 - |
р 2 |
р 2 |
|
= д , |
|
1 ОО_____ I |
* оо |
|
167T2V|O |
167Г2 |
у|о |
|
|
|
. 47TVL_ .
§2 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 209
т. е. обе критические точки находятся на окружности \z\ = R
обтекаемого цилиндра, причем |
при Гоо > |
0 (VQQ > 0) обе точки |
лежат на верхней, а при |
< |
0 (VQQ > |
0) — на нижней полу |
окружности. Тем самым наличие циркуляции сближает точки
разветвления и схода линий тока (рис. 7.1). При |
оо |
= R обе |
47ГУоо |
критические точки совпадают (с точкой z = %Rпри |
> 0 или |
р |
> R в обла- |
точкой z = —iR при Гоо < 0). Наконец, при ■ - |
сти \z\ > R остается лишь одна критическая точка, лежащая на мнимой оси у. (Как следует из уравнения (7.69), произведение
корней этого уравнения равно —R2, поэтому вторая критическая точка лежит внутри окружности \z\ —R.) Через эту точку про ходит линия тока, отделяющая замкнутые линии тока течения от незамкнутых (рис. 7.2).
Полученные результаты позволяют в принципе решить за дачу обтекания произвольного замкнутого контура С. Действи тельно, пусть функция С = 4>{z) осуществляет конформное ото бражение области Qкомплексной плоскости z, внешней контуру С, на область Q1 плоскости £, внешнюю единичной окружности |£| = 1, так что (р(оо) = оо. Тогда, очевидно, рассматриваемая задача оказывается эквивалентной задаче обтекания кругового цилиндра единичного радиуса. При этом скорость потока на бес конечности, которая, вообще говоря, изменится, может быть лег ко определена. Комплексный потенциал f(z) исходного течения при данном конформном преобразовании перейдет в функцию
210 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
F(Q = /[2 (C)]. Поэтому по формуле (7.36) найдем
W —— |
= й . |
И'оо- dC С=0О cte |
И
Woo = Wooжdz С=00
В силу формул (7.67) и (7.68) решение преобразованной за дачи имеет вид
Отсюда для решения исходной задачи получим выражение
f^ ) = F[C(z)\ = w „ ^ |
<p(z)+ |
dz |
W” T< |
|
|
C= 0 0 | Г oo |
“s С—00 |
|
2nijin Ф ) - (7-71) |
В качестве примера рассмотрим бесциркуляционное обтека ние бесконечной пластинки плоским потоком жидкости. Пусть плоскость ху пересекает пластинку по отрезку —а ^ х ^ а, а вектор скорости потока лежит в плоскости ху и на бесконечно сти имеет заданное значение w^. Как следует из рассмотрения свойств функции Жуковского (см. гл. 6, с. 181), функция
^ = § (С + | ) = Ф(О |
(7-72) |
осуществляет конформное отображение внешности единичного круга плоскости ( на плоскость z, разрезанную по отрезку —
—а ^ х ^ а . При этом ^(оо) = оо и ^ |
Поэтому рас- |
“СС—°° |
2 |
сматриваемая задача эквивалентна задаче обтекания без цир куляции кругового цилиндра единичного радиуса на плоскости С потоком, имеющим на бесконечности комплексную скорость
Woo = х^ооКомплексный потенциал последней задачи имеет вид
*■(0 = I (®ооС + = ? ) |
• |
Подставим сюда вместо ( и i |
найденные из (7.72) величины |
z + sjz%—а2 |
1 _ z —у/z2 —а2 |
|
С ~ |
а |
Здесь s/z2 —а2 > 0 при z — x > а. Разобьем Шоо на действитель ную и мнимую части:
Woo = ( v * ) o o + t ( v „ ) o o .
