Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория функций комплексной переменной

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

28.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Г Л А В А 8

ОС Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я О П Е Р А Ц И О Н Н О Г О

ИС Ч И С Л Е Н И Я

Методы операционного исчисления представляют собой свое образный способ решения различных математических задач, в первую очередь дифференциальных уравнений, получивший до вольно широкое распространение. В основе этих методов лежит идея интегральных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции f(t) действительной пере менной, некоторой функции F(p) комплексной переменной так, что обыкновенное дифференциальное уравнение для функции f(t) переходит в алгебраическое уравнение для F(p). Аналогич но уравнению в частных производных для функции двух дей ствительных переменных может быть сопоставлено обыкновен ное дифференциальное уравнение и т.д. Это позволяет облег чить технику вычислений. Основную роль в операционном ис числении играет преобразование Лапласа, с изучения свойств которого мы и начнем изложение.

§1 . О пределение и основные свойства преобразования

Лап л аса1

1 . О пределение преобразования Л апласа. Преобразо вание Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действитель ной переменной t функцию F(p) комплексной переменной р с помощью соотношения

ОО

F(p) = fe~*f(t)d t.

Естественно, что не для всякой функции f(t) этот интеграл име ет смысл. Поэтому мы начнем с определения класса функций f(t), для которых данное преобразование заведомо реализуемо. Будем рассматривать функции /(<), определенные для всех зна-

222 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

чений действительной переменной —оо < t < оо и удовлетво ряющие следующим условиям:

1)при t < Офункция f(t) = 0;

2)при t ^ 0 функция f(t) на любом конечном участке оси t имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

3)при t —у оо f(t) имеет ограниченную степень роста, т. е. для каждой функции рассматриваемого класса существуют та кие положительные постоянные М и а, что для всех t > О

|/(<)1 < Meat.

(8.1)

Точная нижняя грань тех значений а, для которых имеет место неравенство (8.1), называется показателем степени ро

ста функции f(t). Легко, в частности, видеть, что показатель степени роста степенной функции fit) = tn равен нулю.

Отметим, что функция f(t) может быть комплексной функ цией действительной переменной t: f(t) = f\(t) + if 2(^)1 где fi{t) и / 2М — действительные функции.

Введем основное определение.

Преобразованием Лапласа заданной функции f{t) действи тельной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции f(t) функцию F{jp) комплексной пере менной р, определенную с помощью интеграла

ОО
F(p) = f e~p‘f(t) dt.	(8.2)

Заметим, что интеграл (8.2) является несобственным инте гралом, зависящим от переменной р как от параметра. Очевид но, интеграл (8.2), вообще говоря, сходится не при всех значе ниях параметра^. Действительно, если функция f(t) стремится при t 00 к отличному от нуля пределу, a Re р < 0, то интеграл заведомо расходится. Поэтому естественно поставить вопрос об области сходимости интеграла (8.2), а тем самым об области определения функции F{p).

Теорема 8 .1. Интеграл (8.2) сходится в области Re р > а, где а — показатель степени роста функции /(£), причем для любого хо > а интеграл (8.2) при Re р ^ XQ > а сходится рав номерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любого р = х + iy при х > а можно указатьг) такое е > 0, что х > а\ = а + е, причем |/(t)| < < M e°lt. Тогда, воспользовавшись признаком сравнения сходи-

х) Это позволяет рассматривать и неограниченные функции, показатель степени роста которых равен нулю.

§1 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 223

мости несобственных интегралов1), получим

оо

!*■ &>)I =	/ e-Vfit) dt	< М f e~xteait dt =	х >
!*■ &>)I =	О	J	х — а\
	О	О
			(8.3)

что и приводит к выводу о сходимости интеграла (8.2) при х > а. Если х ^ то > а, то аналогичная оценка дает

ОО	м
\|F(p)\| < М f e -t1 » -"!)1 dt =	м	(8.4)
\|F(p)\| < М f e -t1 » -"!)1 dt =	хо —ai ’	(8.4)
О

что и доказывает в силу признака Вейерштрасса равномерную

сходимость интеграла (8.2) по параметру р в области Re р ^

^ хо > а.

Приведенное доказательство существенно опиралось на условия 2 и 3 определения рассматриваемого класса функций /(£) действительной пе ременной t. Однако можно расширить класс функций /(£), допускающих преобразование Лапласа. Для этого предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть функция f(t) действительной переменной t определе на для всех t ^ 0, и пусть существует такое комплексное число ро, что сходится интеграл

со

f e~potf(t) dt.

(8.5)

Тогда для всех р, удовлетворяющих условию Re р > Re ро, сходится

интеграл

оо

J* e~ptf(t) dt.

(8.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначение <p(t) = е Potf(t) и

ОО

вспомогательную функцию F(t) = — f ip{r)dt. Заметим, что F'(t) = <p(t).

Кроме того, в силу сходимости интеграла (8.5), очевидно, для заданного ё1> 0 можно указать такое То, что |F(£)| < е' при t ^ То.

т2

Рассмотрим теперь интеграл / e~ptf(t) dt, где Ti и Тг — произвольные

действительные числа, удовлетворяющие условию Тг > Ti, и представим его в виде

		■^2
J e~ptf(t) dt =	f e	b - po)i<p(t)dt= f e~(p- po)tF'(t)dt.
Ti	Ti	Ti

*) См. вып. 2.

224 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

Вычисляя последний интеграл по частям, получаем

Т2

Г e~(p~po)tF'(t)dt =

Ti	т2
	= e"(p' po)T2F(T2) - e “ (p" po)TlF(Ti) + ( p - p 0) f	e~(p~po)tF(t)dt.
	Ti
	Отсюда при Ti, T2 > To и Re (jp—po) > 0 получим
T2
f	e~ptf(t) dt ^ ^g- Re (p~Po)T2 _j_ e~ Re (p-po)Ti
Ti	+ c> IP ~ Pol (c- Re (p-Po)Ti _ g- Re (р-Ро)Т2ч <
	+ c> IP ~ Pol (c- Re (p-Po)Ti _ g- Re (р-Ро)Т2ч <
	Re {p - po)K
	< e 2 + IP - pol	—Re (p—ро)Го
	Re (p -p o).

Очевидно, всегда можно так выбрать значение То, чтобы полученное вы ражение было меньше любого наперед заданного е > 0. Это на основании

признака Коши*) и доказывает сходимость интеграла (8.6).

Можно доказать и равномерную по параметру р сходимость интеграла (8-6) при Re р ^ Re pi > Re po.

На основании доказанной леммы можно в качестве основного класса функций /(<) действительной переменной £, для которых строится преоб разование Лапласа (8.2), рассматривать функции, удовлетворяющие усло вию (8.5). Функции, удовлетворяющие данному условию, будем называть принадлежащими классу А(ро).

Итак, с помощью преобразования (8.2) функция F(p) комп лексной переменной р определена в полуплоскости комплексной плоскости р правее прямой Re р = а, параллельной мнимой оси.

Заметим, что из формулы (8.3) следует, что |.Р(р)| —> 0 при Re р оо.

Функция F(p), определенная через функцию f(t) с помощью преобразования (8.2), называется изображением Лапласа функ ции f(t). Функция f(t) называется оригиналом функции F(p). Связь функций f(t) и F(p) будем символически обозначать сле

дующим образом*2):
f{t) = F(p) или F(p) = /(*).	(8.7)
Отметим, что в практических приложениях часто пользуют
ся так называемым преобразованием Хевисайда:
ОО
F(p) = р f e~ptf (t) dt,	(8.8)
о

x) Признак Коши сходимости несобственных интегралов см. вып. 2.

2) В литературе встречаются и другие символические обозначения, на пример: F(p) -¥ /(t), F(p) r+ f(t), F(p) |f{t) и т.д.

§1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

225

отличающимся от преобразования Лапласа дополнительным множителем р. Очевидно, область определения функции F(p) та же, что и для функции F(p). В дальнейшем мы будем рассма тривать только преобразование Лапласа (8.2). Свойства преоб разования Хевисайда (8.8) легко могут быть получены на осно вании рассматриваемых ниже свойств преобразования Лапласа.

Как мы видели, наиболее важным классом функций комп лексной переменной являются аналитические функции. Выяс ним, является ли функция F(p) аналитической.

Теорема 8 .2. Изображение Лапласа (8.2) функции f(t) яв ляется аналитической функцией комплексной переменной р в области Re р > а, где а — показатель степени роста функ ции f(t).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 8.1 несобственный

интеграл (8.2) сходится в области Re р > а. Разобьем интервал интегрирования на отрезки [ti,t{+i\ произвольной конечной дли ны, причем to = 0, tn оо при п —> оо. Тогда функция F(p) при Re р > а представляет собой сумму сходящегося ряда

оо in+1

оо

F (P ) = X )

n=0

I	e~ptf(t) dt = '5 2 un(p)'	(8-9)
tn	n=0

Заметим, что поскольку n-й остаток сходящегося ряда (8.9) ра-

ОО

вен f e~ptf(t)dt, то согласно теореме 8.1 ряд (8.9) сходится

^п+1

равномерно в области Re р ^ хо > а. Каждая из функций

^п+1

Un(p) = f e~ptf(t)dt tn

определена как интеграл, зависящий от параметра р, по отрез ку конечной длины на комплексной плоскости t. На основании общих свойств интегралов от функций двух комплексных пере

менных, зависящих от параметра1), функции ип{р) являются целыми функциями р. Из проведенных рассуждений следует, что ряд (8.9) в области R ер > а удовлетворяет всем услови

ям теоремы Вейерштрасса2), а значит, функция F(p) является аналитической в области Re р > а и ее производные можно вы числять, дифференцируя подынтегральную функцию в (8.2) по параметру р.

*) См. гл. 1 с. 56. 2) См. гл. 2 с. 62.

8 А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов

226	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
2.	Изображение элементарных ф ункций. Пользуясь

определением (8.2), найдем изображение ряда элементарных

функций действительной переменной.
а) Е д и н и ч н а я ф у н к ц и я	Х е в и с а й д а . Пусть

f(t) = <j0(t) = < 0,	t < О,	(8.10)
1,	t ^ 0 .

Тогда

ОО

f(t) = F(p) = J e~ptdt = i , o p

причем функция F(p), очевидно, определена в области Re р > 0. Итак,

	0, * < 0	1	Re р > 0.	(8.11)
<7о(<) = <	1,	v)	Re р > 0.	(8.11)

Отметим, что если вместо преобразования Лапласа (8.2) пользо ваться преобразованием Хевисайда (8.8), то изображением еди

ничной функции сто (t) будет функция F(p) = 1. Этим объясняет ся достаточно широкое применение преобразования Хевисайда. Однако в случае преобразования Хевисайда (8.8) усложняется ряд других формул, в частности формула обратного преобразо вания, формула изображения свертки (см. ниже с. 232).

Условимся всюду в дальнейшем, если это не оговорено осо бо, под функцией f(t) понимать произведение f(t) • <то (i), т. е. функцию, тождественно равную нулю при t < 0, не отмечая это специально в соответствующих формулах,

б) П о к а з а т е л ь н а я ф у н к ц и я

		f(t) =	eat.		(8.12)
Вычисляя интеграл (8.2), получаем
	ОО
F(p) = J e ~ pteatdt =			Re р > Re а;
	eat =	1	Re p > Re a.		(8.13)
		p —a
в) С т е п е н н а я ф у н к ц и я
	f(t) = tw,		v > —1.		(8.14)
В этом случае интеграл (8.2) имеет вид
ОО		ОО
F(p) = J	e~ptf{t) dt= f e~p4 v dt,			Re p > 0.	(8.15)
о		о

§1 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 227

Заметим, что при v < О функция (8.14) уже не удовлетворяет условию 2 с. 222 (точка t = 0 является точкой разрыва второ го рода этой функции) и тем самым не принадлежит основному рассматриваемому классу функций действительной переменной, для которых существует изображение Лапласа. Однако, как лег ко видеть, при v > — 1 эта функция принадлежит расширенно му классу, введенному на с. 223 (интеграл (8.15) сходится при

R e p > 0 n i / > —1). Поэтому и в случае — 1 <	v < 0 изображе
ние Лапласа функции (8.14) в области R ep >	0 существует и
определяется формулой (8.15).

Перейдем к вычислению интеграла (8.15). Начнем со случая, когда переменная р принимает действительное значение р = х > 0. Сделав в интеграле (8.15) замену переменной интегрирования xt = 5, получим

оо	со
F(x) = /	е ~ * е d t = ^ f е ' V ds = М	,	(8.16)

где Г (*/+ 1) — гамма-функциях) Эйлера. Так как функция F(p), определенная формулой (8.15), является аналитической в обла сти Re р > 0, имеющей на положительной части действительной оси х > 0 значение (8.16), то в силу единственности аналитиче ского продолжения для функции F(p) в области Re р > 0 полу чим выражение

ОО

F (p )= f e - * r d t = 'y % ± p :		(8.17)
о	р

При этом в случае дробных и следует выбирать ту ветвь мно

гозначной функции которая является непосредственным

аналитическим продолжением в область Re р > 0 действитель

ной функции	действительной переменной х > 0. Итак,
**'•-		v > - l >	R e p > 0 .	(8.18)
Для целых v = п из формулы (8.18) получим
4.П_• Г(П + 1) _		П\	Re р > 0.	(8.19)
1 ~	Рп+1	Рп+1 »

Вычисляя интеграл (8.2), можно получить изображение еще ря да функций действительной переменной, однако во многих слу чаях для вычисления изображения заданной функции удобнее, оказывается, пользоваться общими свойствами изображения Ла пласа, к рассмотрению которых мы и перейдем.

*) Определение и свойства гамма-функции см. вып. 2.

228 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

3.Свойства изображения.

а) Л и н е й н о с т ь и з о б р а ж е н и я .			В силу известных
свойств определенных интегралов, имеет место
С в о й с т в о	1. Если Fi(p) ==	Re р > ot* (i = 1,..., n),
то	n
n	n
F(p) = ^ 2 aiFi(p) = ^ 2 aifiC0>		Re p >	m axait	(8.20)
t=i	i=i

где a t- — заданные постоянные числа (действительные или ком плексные), сц — показатели степени роста функций

Данное свойство позволяет по найденным изображениям функций (8.13), (8.18), (8.19) найти изображения многочлена, тригонометрических и гиперболических функций.

Например, с помощью (8.13) получим

cos ut = -(е iut			+ —		)	р2	2 »
		2 \ p -iw		р + ш )		р2	2 »	(8.21)
					Re р >\|Im w\|.			(8.21)
Аналогично	ш
	ш
sincot == p2 + U)2»			R e p >		\|Imcu\|.			(8.22)
б) С в о й с т в о 2.	Пусть F(p) =			f(t), R e p >			а, тогда
\ F ( ” ) •-			a > 0,		Re p > a.			(8.23)
Действительно,
OO	00
f e~plf(at)dt= z	f	exP {~ a T)			dT = z F { z ) -
о	0
в) С в о й с т в о 3 ( т е о р е м а з а п а з д ы в а н и я ) .
Пусть F(p) = f(t), Re p > а и задана функция
		0 , t < т,		т> О,				(8.24)
		/ ( * - т ) ,		О	т .			(8.24)
		/ ( * - т ) ,		О	т .
Тогда
fr(t) .= FT(p) =		e~pTF(p),			Re p > a.			(8.25)
Действительно,

§1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

229

Сделаем в последнем интеграле замену переменной, положив

t -т — t'. Тогда

ОО

FT{p) = / e-*(('+ r>/(t') dt' = e~^F(p),

0 что и доказывает свойство 3.

В качестве первого примера рассмотрим изображение ступенчатой

функции
№ =			t < г,					(8.26)
№ =	(	0'	пт ^ t < (п + 1)т,		п =			(8.26)
	(	и/о,	пт ^ t < (п + 1)т,		п =		1, 2, ...
Представим /(£) с помощью единичной функции Хевисайда его:
	fit)	= /о[сг0(t -		т) 4- co{t - 2 т) +		...].
Использовав свойство линейности и теорему запаздывания, получим
	= /ое-рт I + /ое-2рт i +... =				/о		>-РТ
m = m	= /ое-рт I + /ое-2рт i +... =				/о	1	_	(8.27)
			р	р	р	1	—е	рг

Аналогично легко показать, что изображением периодической функции

/о,	2 n r ^ t <	(2п + 1 )т,		_	•j	(8.28)
fit) = <	(2n + l)r ^ t <	(2n +	2)r,	7Ъ— Uj JLj	•j	(8.28)
- /0 ,	(2n + l)r ^ t <	(2n +	2)r,
является функция	m •= F(P) = ^th^.
	m •= F(P) = ^th^.					(8.29)
		P	1

Теорема запаздывания позволяет получить и довольно общую формулу для изображения периодической функции. Предварительно рассмотрим тот случай, когда функция f(t ) действительной переменной t имеет вид

	(fit)) 0 ^ t < т,
/(*) =	О,	(8.30)
/(*) =

Обозначим изображения функций (pit) = Ф(р) и у>(£4-т) = Фг(р). Пере
пишем (8.30) в виде
/(*) = <p(t) + I	°'	0 < t < т,
/(*) = <p(t) + I	°'	£ ^ Т.
1	-(рЦ + т-т),	£ ^ Т.

Воспользовавшись линейностью изображения и теоремой запаздывания,

получим	(8.31)
f i t ) .— F(p) = $(р) _ е ртФт(р).

Пусть теперь функция (p{t) является периодической функцией t с периодом

(pit + т) =

(8.32)

Тогда Фт(р) = Ф(р), и формула (8.31) позволяет выразить изображение Ф(р) периодической функции (pit) через изображение F(p) функции fit), равной функции (pit) на первом периоде О ^ ^ т и нулю вне его при t ^ т:

Ф(Р)=_ Ш _ .	(8.33)
1 - е~Рг

230 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

В качестве примера найдем изображение функции
			ip(t) = \|sino>t\|,		ш >		0.		(8.34)
Эта функция является периодической при t >								7Г
Эта функция является периодической при t >							Ос периодом —. Предвари-
тельно найдем изображение функции								ш
тельно найдем изображение функции							7Г
				sinwt,	о <t £		7Г
			/(*) =	sinwt,	о <t £		U)1		(8.35)
			/(*) =		7Г				(8.35)
				0,	-U) <	t.
С помощью формул (8.31), (8.22) и равенства sina; (t -h ^									= —sineat
получим
/(<) =	F (p) =		+ exp	( - p - )				(l + exp ( - - p ) ) .
		p 2 + u > 2		V ш / р 2 + ш 2			p 2 + a > 2 V		ш /
Отсюда по формуле (8.33) получим
	\|sincut\|=		1+ e x P ( ~ p )				u,	c th E .	(8.36)
	\|sincut\|=		P2+ “ 2 1	- exp ( - I p )		P2 + " S		c th E .	(8.36)
			P2+ “ 2 1	- exp ( - I p )		P2 + " S		2w
г)	И з о б р а ж е н и е п р о и з в о д н о й .								Сейчас

будет доказано одно из основных свойств изображения, позво ляющее заменить дифференцирование оригинала умножением

изображения на независимую переменную.
С в о й с т в о 4.	Если f ( t ) удовлетворяет условиям суще
ствования изображения при R е р >			а и f(t) = jF(p), Re р > a,
то	pF(p) - /(0),			Re p > a.
f'(t) =	pF(p) - /(0),			Re p > a.	(8.37)
Действительно, интегрируя по частям, получаем
СО			оо
/'(*).=• / e - p‘/'W <ft =		e -pt/ W ir + P	J	e~ptf(t)dt =	pF(p)—f(0 ),
о			о
что и доказывает данное свойство.
Аналогично может быть доказано
С в о й с т в о	4'.	Если f^n\t)		удовлетворяет условиям

существования изображения при Re р > а и f(t) = F(p),Re р > >- а, то

f in)(t)=p n i

(8.38) Формула (8.38) особенно упрощается в том случае, когда

/(0) = /'(0) = ... = /("-1>(0) = 0:

/(»> (< ) = pnF(p).

(8.39)

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги